《数学竞赛》-第五章-几何省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第五章几何§5.2

几个主要定理第1页9/13/20231§5.2

几个主要定理第2页9/13/20232§5.2

几个主要定理第3页9/13/20233§5.2

几个主要定理例1：证实：在三角形中，（1）三条中线交于一点（重心）；（2）三条角平分线交于一点（内心）；（3）三条边中垂线交于一点（外心）；（4）三条高交于一点（垂心）第4页9/13/20234§5.2

几个主要定理例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形内切圆相切于X、Y、Z，证实：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).第5页9/13/20235§5.2

几个主要定理例3：如图5.2.2，过△ABC三个顶点A，B，C作它外接圆切线，分别和BC、CA、AB延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).见书本P191.例1第6页9/13/20236§5.2

几个主要定理例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形内切圆相切于X、Y、Z，证实：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).例3：如图5.2.2，过△ABC三个顶点A，B，C作它外接圆切线，分别和BC、CA、AB延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).笛沙格（Desargues）定理

第7页9/13/20237例4：设AD是△ABC高，P为AD上一点，BP、CP延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。证实：AD平分∠EDF．§5.2

几个主要定理见书本P195.例5NM证法1：利用Ceva定理第8页9/13/20238例4：设AD是△ABC高，P为AD上一点，BP、CP延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。证实：AD平分∠EDF．§5.2

几个主要定理见书本P195.例5证法2：Q完全四边形调和性第9页9/13/20239§5.2

几个主要定理第10页10例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点连线中，最长等于其余两线和.即：证实AP=BP+PC§5.2

几个主要定理D证法1：延长BP至D使PD=PC，连CD.然后证实AP=BD.证实△ACP≌△BCD.第11页9/13/202311例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点连线中，最长等于其余两线和.即：证实AP=BP+PC§5.2

几个主要定理C’证实△ABC’≌△CBP.证法2：在AP上取一点C’，使PC’=BP，连BC’.然后证实AC’=PC.第12页9/13/202312例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点连线中，最长等于其余两线和.即：证实AP=BP+PC§5.2

几个主要定理证法3(托勒密定理)：BC·AP=AC·BP+AB·PC，所以AP=BP+PC第13页9/13/202313§5.2

几个主要定理=222一第14页9/13/202314§5.2

几个主要定理五、西姆松（Simson

）定理三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上射影共线.12证法一：只需证∠1+∠2=180°证法二：应用Menelaus定理第15页9/13/202315第16页9/13/202316Menelaus定理第17页9/13/202317

改述为：如图，△ABC中，E、F分别是AC、AB上点，且EF∥BC．BE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.第18页9/13/202318

改述为：如图，△ABC中，E、F分别是AC、AB上点，且EF∥BC．BE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.P∞。(BC,DP∞)=-1BD=DC第19页9/13/202319§5.3

几个经典几何问题一、共圆点问题证实四点共圆，通惯用以下方法：（1）证诸点到一定点距离相等（圆定义）（2）证实ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段视角相等，当然这两点要在这线段同侧）（3）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤ=O，证实ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣ·ＯＤ（4）直径所对圆周角是直角：假如其中某两点连线段为直径，可证实其余点对这线段视角均为直角．第20页9/13/202320§5.3

几个经典几何问题一、共圆点问题例１．经过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，证实这四圆共点．设O是四边形外心，则OM⊥AB，ON⊥AD,所以，A、M、O、N共圆。第21页9/13/202321§5.3

几个经典几何问题一、共圆点问题例2．密克（Miquel

）定理：在△ＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ三点，则⊙ＡＹＺ，⊙ＢＺＸ，⊙ＣＸＹ三个圆共点.ＡＢＣＸＹＺＭ123第22页9/13/202322例3见书本P204.例1第23页9/13/202323第24页24§5.3

几个经典几何问题一、共圆点问题例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段中点，这九点共圆，称为这三角形九点圆．如图：Ｌ，Ｍ，Ｎ设是△ＡＢＣ三边中点，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，Ｐ，Ｑ，Ｒ是ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ中点则Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒ九点共圆九点圆定理第25页9/13/202325§5.3

几个经典几何问题一、共圆点问题九点圆定理九点圆性质三角形九点圆半径是三角形外接圆半径二分之一；三角形九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）；三角形外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2︰1︰３第26页9/13/202326§5.3

几个经典几何问题一、共圆点问题三角形外心、重心、九点圆圆心、垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2︰1︰３第27页9/13/202327见书本P205.例3第28页9/13/202328§5.3

几个经典几何问题二、共线点问题证实三点（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共线方法：1.利用平角：证实∠XYZ=180°（或0°）2.证实ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线；证实Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上；证实ＸＺ和某定直线交点就是Ｙ3.利用已知共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）4.应用Menelaus定理5.利用位似形性质——对应点连线过位似中心6.利用射影几何相关定理：德萨格（Desargues）定理、帕普斯（Pappus）定理、帕斯卡（Pascal）定理等☆第29页9/13/202329见书本P207第30页9/13/202330证法二：利用二次曲线极与极线.N例6：在△ＡＢＣ中以ＢＣ为直径圆交ＡＢ，ＡＣ于Ｆ，Ｅ，求证：圆在Ｅ，Ｆ切线与高线ＡＤ共点．分析一：设过E点切线交AD于M，易证图中三个角相等，则ME=MH=MA.连FM，须证FM是圆切线作F点半径FO，只需证FO⊥FMO123结论为三线共点，注意到E、F切线就是

E、F极线.AD又是谁极线？假如找到AD极，可利用“共线点极线共点”证实之.第31页9/13/202331NHFDEABCPQ“共线点极线共点”“共点线极共线”PQH——AP极——AQ极——AN极第32页9/13/202332NHFDEABCPQNPQHFEABC条件“BC为直径、H是垂心”有用么？D第33页9/13/202333NHFDEABCPQNHFDEABCPQ圆也能够换.第34页9/13/202334§5.3

几个经典几何问题三、共点线问题证实三线共点方法：1.转化为共线点问题来证实2.利用已知共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）3.应用Ceva定理4.利用位似形性质——对应点连线过位似中心5.利用射影几何相关定理：德萨格（Desargues）定理、布利安双（Brianchon）定理等6.解析法☆第35页9/13/202335例（牛顿定理）.求证:圆外切四边形对边切点连线与对角线四线交于一点.第36页9/13/202336习题5.34.三圆两两相交，则三条公共弦所在直线平行或交于一点.O1O2O3PF2F1第37页9/13/202337习题5.38.AB是半圆O直径，过A、B引弦AC、BD，并过C、D引圆O切线交于点P.过P作PE⊥AB于E，则A