微分方程的基本概念省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件

第十章微分方程第1页1微分方程第十章—积分问题—微分方程问题

推广第2页2引例1.

一曲线经过点(1,2),在该曲线上任意点处解:设所求曲线方程为y=y(x),则有以下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,所以所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线方程.一、引例第3页3引例2.列车在平直路上以速度行驶,制动时取得加速度求制动后列车运动规律.解:设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,由已知得由前一式两次积分,可得利用后两式可得所以所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少旅程.即求

s

=s(t).第4页41.微分方程：含未知函数及其导数方程叫做微分方程.二、微分方程基本概念实质：联络自变量，未知函数及其导数式子.区分：与以往学习代数方程区分是：代数方程是含未知数等式，微分方程是含未知函数及其导数等式.常微分方程：所含未知函数是一元函数.偏微分方程注：本章只讨论常微分方程分类2.微分方程阶：方程中所含未知函数导数最高阶数叫做微分方程阶.第5页5三、微分方程主要问题-----求方程解—使方程成为恒等式函数.通解—解中所含独立任意常数个数与方程阶数相同.特解1.微分方程解

—通解中任意常数被确定后解.引例2引例1通解:特解:第6页6—确定通解中任意常数条件.n阶方程初始条件(或初值条件):2.定解条件

过定点积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点切线斜率为定值积分曲线.初值问题:

求微分方程满足初始条件解问题.第7页73.解几何意义解:

积分曲线.特解:

微分方程一条积分曲线.通解:

积分曲线族.引例2引例1通解:特解:第8页8例1.验证函数是微分方程解,特解.解:

这说明是方程解.是两个独立任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程通解.并求满足初始条件第9页9第二节一阶微分方程1.可分离变量微分方程两边积分,得第10页10(2)解法：为微分方程解.这种解法叫分离变量法1.分离变量:2.两边积分分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.第11页11例1.求微分方程通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,所以可能增、减解.(此式含分离变量时丢失解y=0)第12页12注意:例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为第13页13求所满足微分方程.例3.已知曲线上点P(x,y)处法线与x轴交点为Q解:

如图所表示,设所求曲线方程为y=f(x).令Y=0,得Q点横坐标即则点P(x,y)处法线方程为且线段PQ被y轴平分,第14页14练习:解法1

分离变量即(C<0

)解法2故有两边积分(C为任意常数)所求通解:两边积分得第15页152.齐次微分方程(1)定义：形如方程叫做齐次方程.(2)解法:-----变量代换法令代入原方程得：即则即求此可分离变量方程解，并回代第16页16例1求解微分方程故微分方程解为解原方程可变为：即则即第17页17例1求解微分方程微分方程解为另解原方程可变为：即即则即第18页18例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.第19页19例3求解微分方程解则于是即分离变量得积分得将代入上面式子得：注意：方程可用将其化为可分离变量方程.代换，形如第20页20例4已知曲线积分与路径无关,其中求由确定隐函数解:因积分与路径无关,故有即所以有第21页21内容小结1.微分方程概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程求解方法:说明:通解不一定是方程全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.比如,方程解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.第22页22微分方程解法