安徽省六安市寿县一中高三上学期第二次月考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年安徽省六安市寿县一中高三（上)第二次月考数学试卷（文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={0，l,3}，B={x｜x2﹣3x=0}，则A∩B=（)A．{0｝ B．{0，1｝ C．｛0,3｝ D．{0,1,3}2．已知z=（i为虚数单位），则复数z=（）A．﹣1 B．l C．i D．﹣i3．sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°等于（）A． B． C． D．4．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=2,则a=()A．2 B． C．3 D．6．已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=156,a2+a4+a6=147，｛an｝的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大值时n是（）A．19 B．20 C．21 D．227．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值为（)A．0 B．1 C．2 D．38．如图,在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为(）A．2 B．3 C．4 D．59．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θ B．φ=π﹣θ C．φ=θ﹣π D．φ=θ﹣2π10．对于使不等式f(x）≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫做函数f（x)的上确界．若a，b∈R+，a+b=1，则的上确界为（）A． B． C． D．﹣411．直线x=t分别与函数f(x)=ex+1的图象及g（x）=2x﹣1的图象相交于点A和点B,则｜AB|的最小值为（）A．2 B．3 C．4﹣2ln2 D．3﹣2ln212．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为()A．2 B．3 C．6 D．7二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式≤1的解集是．14．已知正方形ABCD边长为1，，则=．15．若等比数列｛an｝的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．16．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3)ex+4﹣3a＞0,则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x)=2cosx（sinx﹣cosx）+1．（1）求函数f（x)的最小正周期和单调增区间;（2）△ABC中,锐角A满足f（A）=1，b=，c=3，求a的值．18．设数列｛an}满足a1=2，an+1=2an﹣n+1，n∈N＊．（1）证明：数列{an﹣n}为等比数列,并求{an｝的通项公式；（2）若数列bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．19．解关于x的不等式ax2﹣(a+1)x+1＞0（a为常数且a≠0）．20．某化工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位,50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P(x)的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位)的函数关系为Q（x)=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．已知函数f（x)=xlnx﹣ax2﹣x．(1）当a=时，证明：f（x）在定义域上为减函数；（2）若a∈R，讨论函数f（x）的零点情况．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC．(Ⅰ)求证：BE=2AD；(Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．[选修4—4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数）,在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin（θ+)=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ)求直线l被曲线C截得的弦长．［选修4—5：不等式选讲]24．已知函数f(x）=｜2x+1|﹣｜x｜﹣2（Ⅰ）解不等式f(x）≥0(Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤｜x|+a，求实数a的取值范围．

2016—2017学年安徽省六安市寿县一中高三(上)第二次月考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A=｛0，l，3｝，B=｛x｜x2﹣3x=0｝，则A∩B=（）A．{0} B．｛0,1} C．｛0，3} D．{0，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3｝,∵A=｛0，1，3},∴A∩B=｛0,3｝，故选：C．2．已知z=(i为虚数单位），则复数z=(）A．﹣1 B．l C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：z==．故选：C．3．sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°等于（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案．【解答】解:sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°=sin18°•cos12°+cos18°•sin12°=sin30°=，故选：D．4．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2,或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．5．△ABC的角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=2，则a=()A．2 B． C．3 D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2=22+（a+2）2﹣2×2×（a+2)×，解得a=2,故选:A．6．已知｛an｝为等差数列，a1+a3+a5=156,a2+a4+a6=147，｛an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n是（)A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意求出首项与公差，写出通项公式，再求前n项和取得最大值时n的值．【解答】解：设｛an}的公差为d，由题意得：a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=156，即a1+2d=52，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=147,即a1+3d=49,②由①②联立得a1=58,d=﹣3,∴通项公式为an=58﹣3（n﹣1）=61﹣3n，n∈N*；当n≤20时,an＞0，n＞20时，an＜0，∴当n=20时,Sn达到最大值．故选：B．7．若变量x,y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】简单线性规划．【分析】首先由约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：已知得到可行域如图:z==1+2×的几何意义是表示区域内的点与原点连接直线的斜率的2倍加上1,由图可知，直线OA的斜率最小，所以z=的最小值为1+2×=2；故选C．8．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状,并求出面积,相加可得答案．【解答】解:三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1,高为2的三角形，面积为：1；三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A9．已知向量，若向量的夹角为φ,则有（）A．φ=θ B．φ=π﹣θ C．φ=θ﹣π D．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴｜｜==1，｜｜=1，=﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos(π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π)，∵θ∈(π,2π）,∴θ﹣π∈(0,π），∴φ=θ﹣π,故选：C．10．对于使不等式f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做函数f(x）的上确界．若a，b∈R+，a+b=1，则的上确界为（）A． B． C． D．﹣4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可知，当a，b∈R+，a+b=1时，求出的最大值即可，利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：则=﹣（=﹣（）=﹣(）≤﹣．（当且仅当a：b=时取到等号）故选：A．11．直线x=t分别与函数f(x）=ex+1的图象及g（x）=2x﹣1的图象相交于点A和点B，则｜AB|的最小值为（）A．2 B．3 C．4﹣2ln2 D．3﹣2ln2【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设函数y=f(x)﹣g（x)，利用导数y′判定函数的单调性与最小值，即可求出|AB|的最小值．【解答】解:设函数y=f(x）﹣g（x）=ex+1﹣(2x﹣1)，则y′=ex﹣2，由y′＞0，得x＞ln2，由y′＜0，得x＜ln2，∴当x=ln2时，y=f（x）﹣g（x）ex+1﹣（2x﹣1）取得最小值,为eln2+1﹣（2ln2﹣1）=4﹣2ln2；∴|AB｜的最小值为4﹣2ln2．故选：C．12．已知函数f（x)=,则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x)+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的值，根据f（x）的函数图象判断根的个数．【解答】解：∵f2(x）﹣5（f（x）+4=0,∴f（x）=4或f（x）=1．做出f（x）的函数图象如下：由图象可知方程f（x）=4有3个根,方程f（x）=4有4个根，∴方程f2(x）﹣5（f（x)+4=0的实数根共有7个．故选D．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式≤1的解集是（﹣∞，2）∪［3,+∞)．【考点】其他不等式的解法．【分析】首先通过移项通分将不等式等价转化为整式不等式，然后求整式不等式的解集．【解答】解：原式等价于即所以不等式的解集为(﹣∞，2）∪[3,+∞)；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）;14．已知正方形ABCD边长为1，，则=2．【考点】向量的模．【分析】由题意可得=0，＜，＞=＜，＞=135°，||=||=1，||=，根据=，利用两个向量的数量积的定义运算求得结果．【解答】解：由题意可得，＜，＞=135°=＜,＞，即=0，＜，＞=＜，＞=135°．再由｜|=||=1，||=可得====2,故答案为2．15．若等比数列｛an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．【考点】等比数列的性质．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5,然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列｛an｝为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln(e5)10=lne50=50．故答案为：50．16．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）ex+4﹣3a＞0,则实数a的取值范围为a≤．【考点】函数恒成立问题；对勾函数．【分析】分离参数，再求右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，a＜．令t=ex+3（t＞3），则=t+﹣3,∵t＞3，∴t+＞3+，∴t+﹣3＞，∴a≤．故答案为：a≤．三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx)+1．(1）求函数f（x)的最小正周期和单调增区间；（2）△ABC中，锐角A满足f（A）=1，b=，c=3，求a的值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出揭露．（2)由f(A)=sin（2A﹣）=1，求得sin（2A﹣）的值,可得A的值，再利用余弦定理求得a的值．【解答】解:(Ⅰ）∵，∴f（x）的最小正周期为π．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．(2)△ABC中,锐角A满足f（A）=sin（2A﹣)=1，∴sin(2A﹣)=,又∵A是锐角，∴，∴．∵b=，c=3,由余弦定理得,∴．18．设数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣n+1,n∈N＊．（1）证明：数列{an﹣n｝为等比数列，并求｛an｝的通项公式；（2）若数列bn=，求数列｛bn｝的前n项和Sn．【考点】数列的求和;等比数列的通项公式．【分析】（1)由已知得an+1﹣（n+1）=2an﹣n+1﹣（n+1）=2（an﹣n），利用等比数列的通项公式即可得出．（2)bn===,利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：由已知得an+1﹣（n+1）=2an﹣n+1﹣（n+1)=2(an﹣n），即,∴数列{an﹣n}为等比数列，公比为2，首项为a1﹣1=1,∴，∴．（2）解：bn===，∴Sn=++…+=1﹣=．19．解关于x的不等式ax2﹣(a+1）x+1＞0（a为常数且a≠0）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式ax2﹣（a+1)x+1＞0可化为a（x﹣）（x﹣1）＞0;讨论(1)a＜0和（2)a＞0时，求出对应不等式的解集．【解答】解：不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0可化为a（x﹣）（x﹣1)＞0;（1）a＜0时,不等式化为（x﹣）（x﹣1）＜0，且＜1；所以不等式的解集为；（2)a＞0时，不等式化为（x﹣）（x﹣1）＞0；若0＜a＜1，则，不等式的解集为；若a=1，则=1，不等式的解集为（﹣∞，1)∪（1，+∞)；若a＞1,则，不等式的解集为．20．某化工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成;③后续保养的平均费用是每单位(x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200)．(Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x)的最小值;(Ⅱ）如果产品全部卖出,据测算销售额Q（x)(元）关于产量x（单位）的函数关系为Q(x)=1240x﹣x3，试问:当产量为多少时生产这批试剂的利润最高?【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（Ⅰ）根据生产这批试剂厂家的生产成本有三个方面，可得函数关系P(x），利用配方法求出P（x）的最小值；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L(x）=1240x﹣x3﹣(x2+40x+8100），利用导数，可得结论．【解答】解：（Ⅰ)P（x）=［50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40,∵50≤x≤200，∴x=90时,P(x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L(x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100)，∴L′(x）=1200﹣x2﹣2x=﹣(x+120）（x﹣100）,∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′(x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x．（1）当a=时，证明：f（x）在定义域上为减函数；（2)若a∈R，讨论函数f(x）的零点情况．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）将a的值代入f（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;(2）问题转化为方程xlnx﹣ax2﹣x=0的根情况,由x＞0,得到方程可化为，令，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1)由题意可知函数f(x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1﹣x﹣1=lnx﹣x，令g（x）=lnx﹣x，则，当0＜x＜1时，g′（x)＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，所以g(x）max=g（1）=﹣1，即g（x)=lnx﹣x＜0，所以f′(x）＜0,所以f(x）在定义域上为减函数．(2）f（x）=xlnx﹣ax2﹣x的零点情况，即方程xlnx﹣ax2﹣x=0的根情况，因为x＞0，所以方程可化为，令，则,令h′(x）=0，可得x=e2，当0＜x＜e2时，h′（x）＞0，当x＞e2时，h′（x）＜0,所以，且当x→0时,f（x）→﹣∞；当x＞e2时，h（x）＞0，所以h（x）的图象大致如图示：，当a＞时,方程a=没有根，当a=或a≤0时，方程有一个根，当时，方程有两个根,所以当时，函数f（x）无零点，当或a≤0时，函数f（x）有一个零点,当时，函数f(x)有两个零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲］22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证:BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．(Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．【解答】证明：(Ⅰ）连接DE，由于四边形DECA是圆的内接四边形，所以：∠BDE=∠BCA∠B是公共角,则：△BDE∽△BCA．则:，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是∠ACB的平分线，所以：AD=DE，则：BE=2AD．（Ⅱ）由于AC=1，所以：AB=2AC=2．利用割线定理得:BD•AB=BE•BC，由于:BE=2AD，设AD=t，则:2(2﹣t）=（2+