安徽省铜陵一中高二下学期期中数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（下)期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（)A．2 B．1 C． D．2．命题p：∀x＜0,2x＞x，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列命题正确的是（）A．（￢p）∨q为真 B．p∨q为真 C．p∧（￢q）为假 D．（￢p）∧（￢q）为真3．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率，则椭圆的标准方程是（）A． B．C． D．4．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A(x0,）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(）A． B．1 C． D．25．下列说法错误的是（）A．若p：∃x∈R,x2﹣x+1=0,则￢p:∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ="是“θ=30°或150°”的充分不必要条件C．命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1,q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧（￢q)”为假命题6．已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2﹣x2=2的一个焦点，则a=()A．1 B．±4 C．±8 D．167．点P是双曲线﹣=1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N的坐标为（5,0），则|PM|﹣|PN｜的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．88．“x2﹣4x＜0”的一个充分不必要条件为（）A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜49．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件10．设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且•=0，则｜|•|｜的值等于（)A．2 B．2 C．4 D．811．设A为椭圆=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若∠ABF∈[，］，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点,且线段AB的中点为M(﹣2,1），则直线l的斜率为（）A． B． C． D．1二、填空题13。命题“∃x0＞0,x02﹣4x0+1＜0"的否定是．14．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．15．a＞0是函数y=ax2+x+1在（0,+∞)上单调递增的条件．16．椭圆C：+=1的上、下顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1］，那么直线PA1斜率的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(10分）写出命题“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2"的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假．18．(12分）已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,若“p∧q"为假命题,“p∨q"为真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）已知动点P到y轴的距离比它到点M（﹣1，0）的距离少1．（1）求动点P的轨迹方程;(2）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积．20．（12分）已知双曲线C：﹣y2=1,P是C上的任意点．（1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2)设点A的坐标为（5，0），求｜PA｜的最小值．21．(12分）已知椭圆C的两个焦点分别为，,长轴长为6．(1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，试探究原点O是否在以线段AB为直径的圆上．22．（12分）已知抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，抛物线的焦点到直线l:y=2x+2的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点R（x0，2)在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点,求|MN｜最小时直线AB的方程．

2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（）A．2 B．1 C． D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离．【解答】解：抛物线y=2x2化为标准方程为x2=y∴抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为=故选：D．【点评】本题考查抛物线的性质,将抛物线方程化为标准方程是解题的关键．2．命题p:∀x＜0，2x＞x，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列命题正确的是（)A．(￢p）∨q为真 B．p∨q为真 C．p∧(￢q）为假 D．（￢p）∧（￢q)为真【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别判断出p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：∀x＜0，2x＞0＞x，恒成立，故命题p是真命题；命题q:∃x∈R,x2+x+1＜0，不成立，故命题q是假命题；故p∨q为真，故选:B．【点评】本题考查了指数函数的性质，考查二次函数的性质以及复合命题的判断，是一道基础题．3．已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3,0），且离心率，则椭圆的标准方程是（）A． B．C． D．【考点】K4:椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的焦点位置以及A的坐标，可得a=3,结合离心率公式可得c的值,由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在x轴上且过点A(﹣3，0），则其中a=3，又由其离心率e==，则c=,则b==2，则椭圆的标准方程是+=1；故选:D．【点评】本题考查椭圆的标准方程,关键是结合椭圆的几何图形进行分析，求出a、b的值．4．若抛物线y2=2px（p＞0)上的点A（x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（）A． B．1 C． D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+，得出x0求得p,可得答案．【解答】解：由题意，3x0=x0+，∴x0=，∴=2，∵p＞0,∴p=2，故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．5．下列说法错误的是（）A．若p:∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ="是“θ=30°或150°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0"D．已知p:∃x∈R，cosx=1,q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧(￢q)”为假命题【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A,特称命题的否定为全称命题，“=”的否定为“≠”；B，sinθ=时，θ可以取与30°、150°终边相同的角，但θ=30°时，sinθ=；C，命题的否命题，既要否定条件，又要否定结论；D，当x=0时,cosx=1，∴p真；对任意x∈R,x2﹣x+1=(x﹣）2+＞0．【解答】解:对于A，特称命题的否定为全称命题,“=”的否定为“≠”，∴A正确;对于B，sinθ=时，θ可以取与30°、150°终边相同的角,但θ=30°时，sinθ=，∴B应是必要不充分条件，故B错;对于C，命题的否命题，既要否定条件，又要否定结论，C显然正确;对于D,当x=0时，cosx=1，∴p真；对任意x∈R，x2﹣x+1=(x﹣）2+＞0，∴q真，∴p∧（¬q)为假,故D正确．故选:B．【点评】本题考查了命题的真假判定,充要条件的判定，属于基础题．6．已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2﹣x2=2的一个焦点,则a=（）A．1 B．±4 C．±8 D．16【考点】K8:抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程及双曲线的方程求出抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标，列出方程求出a．【解答】解：抛物线x2=ay的焦点为（0，），双曲线y2﹣x2=2的焦点为（0，±2)，∴=±2，∴a=±8，故选C．【点评】本题考查有圆锥曲线的方程求圆锥曲线中的参数、圆锥曲线的共同特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．7．点P是双曲线﹣=1的右支上一点，M是圆(x+5）2+y2=4上一点，点N的坐标为（5,0）,则|PM｜﹣|PN｜的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题设通过双曲线的定义推出｜PF1｜﹣｜PF2|=6,利用|MP｜≤|PF1|+|MF1|,推出|PM｜﹣｜PN｜≤|PF1｜+｜MF1|﹣｜PF2｜,求出最大值【解答】解：双曲线﹣=1的右支中，∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0)，F2（5，0），∵｜PF1｜﹣|PF2｜=2a=6,∴|MP｜≤|PF1｜+｜MF1|，所以，|PM｜﹣｜PN|≤|PF1｜+|MF1｜﹣|PF2｜｜=6+2=8．故选D【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化8．“x2﹣4x＜0"的一个充分不必要条件为(）A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】首先解不等式x2﹣4x＜0，得其解集A，再根据充分必要条件的含义，可得使不等式x2﹣4x＜0成立的充分不必要条件对应的x范围应该是集合A的真子集就不难得到正确答案．【解答】解：不等式x2﹣4x＜0整理,得x(x﹣4）＜0∴不等式的解集为A=｛x|0＜x＜4}，因此，不等式x2﹣4x＜0成立的一个充分不必要条件，对应的x范围应该是集合A的真子集．写出一个使不等式x2﹣4x＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x＜2,故选：B．【点评】本题以一个不等式成立为例，通过讨论其解集，着重考查了充分必要条件的判定与证明和一元二次不等式的解法等知识点,属于基础题．9．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：(k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时,直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．【解答】解：把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4,化为：（k2﹣1)x2﹣2kx+5=0,由△=4k2﹣20（k2﹣1)=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时,直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．∴是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线与双曲线的交点与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上,且•=0，则||•||的值等于（）A．2 B．2 C．4 D．8【考点】KD：双曲线的应用．【分析】先由已知，得出．再由向量的数量积为0得出直角三角形PF1F2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得|｜•｜|的值．【解答】解：由已知,则．即，得．故选A．【点评】本题主要考查了双曲线的应用及向量垂直的条件．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．11．设A为椭圆=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若∠ABF∈［,]，则该椭圆离心率的取值范围是(）A． B． C． D．【考点】K4:椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为：N．连接AF，AN，AF，BF，可得：四边形AFNB为矩形．根据椭圆的定义：｜AF|+|AN|=2a．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα,e==,根据α的取值范围即可得出．【解答】解：设左焦点为：N．连接AF,AN，AF，BF，可得：四边形AFNB为矩形．根据椭圆的定义:|AF｜+｜AN|=2a．∠ABF=α，则：∠ANF=α．∴2a=2ccosα+2csinα∴e===，α=∠ABF∈[,］，∴∈,∴∈．∴e∈．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力,属于难题．12．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12,直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1)，则直线l的斜率为（)A． B． C． D．1【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，列出方程组求出a=2，b=，从而得到椭圆方程为，再由直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），利用点差法能求出直线l的斜率．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，∴,解得a=2，b=，∴椭圆方程为，∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2,1），∴设A（x1，y1)，B(x2,y2）,则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，又,两式相减，得：（x1﹣x2）(x1+x2）+（y1﹣y2）(y1+y2）=0，∴﹣（x1﹣x2）+(y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率k==．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法的合理运用．二、填空题13命题“∃x0＞0，x02﹣4x0+1＜0”的否定是∀x＞0，x2﹣4x+1≥0．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：命题“∃x0＞0,x02﹣4x0+1＜0"的否定是“∀x＞0,x2﹣4x+1≥0”，故答案为:∀x＞0，x2﹣4x+1≥0【点评】本题考查的知识点是命题的否定，特称命题,难度不大，属于基础题．14．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系,然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解:双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，可得=，即，解得e=2．故答案为:2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力．15．a＞0是函数y=ax2+x+1在（0，+∞）上单调递增的充分不必要条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于函数y=ax2+x+1，对a分类讨论,利用一次函数与二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：对于函数y=ax2+x+1，a=0时,y=x+1在(0，+∞）上单调递增；a＞0时，y=a+1﹣在上单调递增,因此在（0，+∞）上单调递增；a＜0时，y=a+1﹣在上单调递减，因此在（0，+∞)上单调递减．由以上可得：a＞0是函数y=ax2+x+1在（0，+∞)上单调递增的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．椭圆C：+=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是［﹣2,﹣1］，那么直线PA1斜率的取值范围是[］．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围【解答】解：由椭圆的标准方程可知，上、下顶点分别为A1（0，）、A2（0，﹣），设点P（a，b）（a≠±2），则+=1．即=﹣直线PA2斜率k2=，直线PA1斜率k1=．k1k2=•==﹣;k1=﹣∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，即：﹣2≤k2≤﹣1∴直线PA1斜率的取值范围是［]．故答案为：[]．【点评】本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(10分)(2017春•铜官山区校级期中）写出命题“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【考点】21：四种命题．【分析】根据原命题“若p,则q”,写出它的逆命题若q，则p，否命题若￢p,则￢q与逆否命题若￢q，则￢p,并判断真假性．【解答】解:∵原命题是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1且x≠2"，∴它的逆命题是：若x≠1且x≠2,则x2﹣3x+2≠0，是真命题；﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分）否命题是:若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2，是真命题；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）逆否命题是：若x=1或x=2，则x2﹣3x+2=0，是真命题．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是基础题．18．（12分）(2016秋•东湖区校级期末)已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q"为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1,∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1);若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0,得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题,则p,q为一个真命题,一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则,得1≤m＜3．综上,实数m的取值范围是［1，3）．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的标准方程,方程根的存在性及个数判断，难度中档．19．（12分)(2017春•铜官山区校级期中）已知动点P到y轴的距离比它到点M（﹣1,0）的距离少1．（1）求动点P的轨迹方程；(2）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积．【考点】J3:轨迹方程．【分析】（1）设出P的坐标，由题意列式,对x分类化简得答案；（2）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及抛物线的焦点弦长公式求得｜AB|,再由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1)设P（x，y）,则|x|+1=．若x＞0,则x+1=，两边平方并整理得y=0；若x＜0，则1﹣x=，两边平方并整理得y2=﹣4x．∴P点轨迹方程为y=0(x＞0）或y2=﹣4x；（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2），联立，消去y得：x2+6x+1=0．则x1+x2=﹣6，∴｜AB｜=2﹣（x1+x2）=8，原点O到直线x+y+1=0的距离d=．∴．【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查了直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．20．（12分）（2017春•铜官山区校级期中）已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2)设点A的坐标为（5，0），求|PA｜的最小值．【考点】KC：双曲线的简单性质；IR：两点间的距离公式．【分析】（1）设P(x0,y0)，由点到直线距离公式，得P到两准线的距离之积满足，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到，命题得证．（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得|PA|2=，再根据二次函数的图象与性质，即可求出｜PA|的最小值．【解答】解:（1）设P（x0，y0），P到两准线的距离记为d1，d2∵两准线为x﹣2y=0，x+2y=0…。.2’∴…。。4’又∵点P在曲线C上,∴=，得(常数）即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数….6’(2)设P(x0，y0）,由平面内两点距离公式得|PA｜2=…8’∵，可得=∴｜PA|2==…。。9’又∵点P在双曲线上，满足|x0｜≥2，∴当x0=4时,|PA|有最小值，｜PA｜min=2…。12’【点评】本题在双曲线中，证明动点到两条渐近线的距离之积为常数并求距离最小值，着重考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和双曲线的简单性质等知识,属于中档题．21．（12分)（2017春•铜官山区校级期中）已知椭圆C的两个焦点分别为，，长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，试探究原点O是否在以线段AB为直径