安徽省皖北联盟高二上学期期末数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年安徽省皖北联盟高二（上)期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈N*,2x＞x2，则￢p是（)A．∃x∈N＊,2x＞x2 B．∀x∈N*，2x≤x2 C．∃x∈N＊,2x≤x2 D．∀x∈N＊，2x＜x22．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线3．如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为（)A． B． C． D．4．圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（)A．x+3y=0 B．3x﹣y=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．3x+y+9=05．已知在△ABC中,角A,B，C分别为△ABC的三个内角，若命题p:sinA＞sinB，命题q：A＞B，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（）A．5 B．6 C．10 D．127．已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线和圆x2+y2+6x+8=0相切，则实数p=（）A．p=4 B．p=8 C．p=4或p=8 D．p=2或p=48．设α,β，γ表示平面,l表示直线,则下列命题中，错误的是（）A．如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于βB．如果α⊥γ，β⊥γ,α∩β=l，那么l⊥γC．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD．如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于β9．如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G，则截面△EFG（)A．一定是等边三角形 B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形 D．一定是直角三角形10．已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=22，平面上有A（1，0），B（﹣1,0)两点,点Q在圆C上，则△ABQ的面积的最大值是（)A．6 B．3 C．2 D．111．一个几何体的三视图是如图所示的边长为2的正方形，其中P，Q，S，T为各边的中点，则此几何体的表面积是（）A．21 B． C． D．2312．若双曲线﹣=1（﹣16＜k＜8)的一条渐近线方程是y=﹣x，点P（3,y0）与点Q是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形F1QF2P的面积是．A．12 B．6 C．12 D．6二、填空题（共4小题，每小题5分,满分20分）13．如图所示的算法框图中，e是自然对数的底数，则输出的i=．（参考数值：1n2018≈7。610）14．已知F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，过F1且垂直于F1F2的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB的长是．15．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a、b∈{0，1，2，…，9}．若｜a﹣b｜≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为．16．已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣15=0上，则的最小值是．三、解答题（共6小题,满分70分）17．设t∈R，已知p：函数f（x）=x2﹣tx+1有零点，q：∀x∈R,|x﹣1|≥2﹣t2．（Ⅰ)若q为真命题，求t的取值范围;（Ⅱ)若p∨q为假命题，求t的取值范围．18．一本新出版的数学活动课教材在某书店销售，按事先拟定的价格进行5天试销，每种进价试销1天，得到如下数据：单价x(元）1819202122销量y(册）6156504845(Ⅰ）若y与x线性相关,且回归直线方程为y=mx+132，求实数m的值；（Ⅱ）预计以后的销售中,销量与单价服从（Ⅰ)中的回归直线方程,若每本数学活动课教材的成本是14元，为了获得最大利润，该教材的单价应为多少元？19．已知两条坐标轴是圆C1:（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与圆C2的公切线，且两圆的圆心距是3，求圆C2的方程．20．已知直线l1：y=﹣x+b于抛物线x2=﹣y相切于点P．（Ⅰ)求实数b的值和切点P的坐标；（Ⅱ)若另一条直线l2经过上述切点P，且与圆C：（x+1）2+(y+2）2=25相切,求直线l2的方程．21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，倒棱AA1⊥平面ABC,点E,F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB=2．（Ⅰ）若点M是线段AC的中点，证明：（1）MB∥平面AEF；（2）平面AEF⊥平面ACC1A1;(Ⅱ）求三棱锥B﹣AEF的体积．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0)的离心率是，点F是椭圆的左焦点,点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，且S△ABF=．(Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）若直线l：x﹣2y﹣1=0交椭圆E于P，Q两点，求△FPQ的周长和面积．

2016-2017学年安徽省皖北联盟高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈N＊,2x＞x2，则￢p是（）A．∃x∈N*，2x＞x2 B．∀x∈N*，2x≤x2 C．∃x∈N＊，2x≤x2 D．∀x∈N*，2x＜x2【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解:命题p：∀x∈N＊,2x＞x2，则￢p是∃x∈N＊，2x≤x2,故选：C．2．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线【考点】异面直线的判定．【分析】依据异面直线的定义,逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．【解答】解：A不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．B不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．D正确，这就是异面直线的定义．故选D．3．如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°,向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】要计算投中阴影部分的概率，根据每次都投镖都能投入圆盘内，圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为45°，代入几何概型概率公式,即可得到答案．【解答】解:圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为45°故投中阴影部分的概率P==．故选A4．圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6x=0交于A,B两点，则直线AB的方程是（)A．x+3y=0 B．3x﹣y=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．3x+y+9=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆系方程的知识，直接求出公共弦所在的直线方程，就是直线AB的方程．【解答】解:圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆:x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，所以x2+y2﹣4x+6y+λ(x2+y2﹣6x）=0是两圆的圆系方程，当λ=﹣1时,就是两圆的公共弦的方程,所以直线AB的方程是：x+3y=0．故选:A．5．已知在△ABC中，角A，B，C分别为△ABC的三个内角,若命题p：sinA＞sinB,命题q：A＞B，则p是q的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】△ABC中,由正弦定理，a＞b⇔sinA＞sinB．而a＞b⇔A＞B．即可判断出结论．【解答】解:△ABC中,由正弦定理=k＞0,a＞b⇔ksinA＞ksinB⇔sinA＞sinB．而a＞b⇔A＞B．∴△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B,即p⇔q．∴p是q的充要条件．故选：C．6．Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8,则球心到平面ABC的距离是()A．5 B．6 C．10 D．12【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】利用已知条件可计算出Rt△ABC的斜边长，根据斜边是Rt△ABC所在截面的直径,进而可求得球心到平面ABC的距离．【解答】解：Rt△ABC的斜边长为10，且斜边是Rt△ABC所在截面的直径,球心到平面ABC的距离是d=，故选D．7．已知抛物线y2=2px（p＞0)的准线和圆x2+y2+6x+8=0相切，则实数p=（)A．p=4 B．p=8 C．p=4或p=8 D．p=2或p=4【考点】抛物线的简单性质．【分析】将圆化成标准方程，得到圆心为C（﹣3，0），半径r=1．再将抛物线化成标准方程，得到抛物线的准线为x=﹣，根据准线与圆相切建立关于p的等式，解之即可得到p的值．【解答】解：圆x2+y2+6x+8=0化成标准方程，得（x+3)2+y2=1，∴圆心为C(﹣3，0），半径r=1，又∵抛物线y2=2px（p＞0），∴抛物线的准线为x=﹣，∵抛物线的准线与圆相切,∴准线到圆心C的距离等于半径，得｜3﹣|=1，解之得p=4或p=8．故选C．8．设α，β，γ表示平面，l表示直线，则下列命题中,错误的是（）A．如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于βB．如果α⊥γ,β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γC．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A,如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于面α、β的交线，由线面平行的判定；B，在l任意取点P,利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA，PB重合即为l;C，如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β；D，如果α⊥β,如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β；【解答】解：对于A，如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于面α、β的交线，由线面平行的判定，可知A正确；对于B，在l任意取点P，利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA,PB重合即为l，故正确；对于C,如果α不垂直于β，那么由面面垂直的判定得α内一定不存在直线垂直于β，故正确;对于D，如果α⊥β，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β，故错误；故选：D．9．如图,用小刀切一块长方体橡皮的一个角,在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G,则截面△EFG（）A．一定是等边三角形 B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形 D．一定是直角三角形【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由已知得∠EGF＜90°，∠EFG＜90°，∠GEF＜90°，从而截面△EFG是锐角三角形．【解答】解：用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G,则∠EGF＜∠CBD=90°，同理∠EFG＜90°，∠GEF＜90°，∴截面△EFG是锐角三角形，故选：C．10．已知圆C的方程为(x﹣3）2+（y﹣4）2=22,平面上有A（1,0），B(﹣1,0）两点,点Q在圆C上,则△ABQ的面积的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出Q到AB的最大距离，即可求出△ABQ的面积的最大值．【解答】解:由题意,Q到AB的最大距离为4+2=6，∵｜AB|=2,∴△ABQ的面积的最大值是=6，故选：A．11．一个几何体的三视图是如图所示的边长为2的正方形，其中P，Q,S，T为各边的中点，则此几何体的表面积是（)A．21 B． C． D．23【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个边长为2的正方体切去了底面是边长为1是直角三角形,高是2的三棱锥，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知：该几何体是一个边长为2的正方体切去了底面是边长为1是直角三角形,高是2的三棱锥，(如图），切去了D′﹣DPS三棱锥，由题意：P，Q，S，T为各边的中点,即五边形的面积=3个正方形的面积S=2×2×3=12．斜面三角形D′PS的边上：ST=,D′S=D′P=∴斜面三角形D′PS的面积,两个梯形的面积=6．累加各个面的面积可得几何体的表面积．故选D．12．若双曲线﹣=1(﹣16＜k＜8)的一条渐近线方程是y=﹣x,点P（3，y0）与点Q是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形F1QF2P的面积是．A．12 B．6 C．12 D．6【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，解方程可得k=﹣10，求出双曲线的a,b,c，代入点P，可得纵坐标，由题意可得四边形F1QF2P为平行四边形，求出三角形PF1F2的面积，即可得到所求面积．【解答】解：双曲线﹣=1（﹣16＜k＜8），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，解得k=﹣10,即有双曲线的方程为﹣=1，可得c===2，设P在第一象限，代入双曲线方程可得y0=3×=3．即有P（3，3）,由P，Q关于原点对称，可得四边形F1QF2P为平行四边形，三角形PF1F2的面积为｜F2F1|•y0=×4×3=6,即有四边形F1QF2P的面积是2×6=12．故选:A．二、填空题（共4小题，每小题5分,满分20分）13．如图所示的算法框图中，e是自然对数的底数，则输出的i=8．(参考数值：1n2018≈7。610）【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟执行程序,可得当ei≥2018时退出循环，输出i的值，当ei＜2018时继续循环，由此解得输出i的值．【解答】解:∵ln2018≈7.610，∴e8＞2018，当i=8时，符合a=e8≥2018,∴输出的结果是i=8．故答案为:8．14．已知F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，过F1且垂直于F1F2的直线交椭圆于A,B两点，则线段AB的长是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的标准方程可得c，把x=﹣c代入椭圆的标准方程解出y即可得出．【解答】解：∵c2=16﹣9=7，∴c=，可得F1．将x=﹣代入椭圆方程+=1中,得到=1，解得y=．所以线段AB的长是2×=．故答案为：．15．甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b,且a、b∈{0，1，2，…，9｝．若｜a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀"．现任意找两人玩这个游戏,则二人“心有灵犀"的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】其概率模型为古典概型，利用概率公式求解．【解答】解：由题意，符合古典概型，则其概率P==．故答案为：．16．已知点M（a，b)在直线3x+4y﹣15=0上，则的最小值是4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据的几何意义:表示点（1,﹣2）与点（a,b)的距离，可得的最小值为点（1，﹣2）到直线3x+4y﹣15=0的距离．【解答】解：的几何意义：表示点（1，﹣2）与点(a，b）的距离．∵点P(a，b)在直线3x+4y﹣15=0上,∴的最小值为点（1，﹣2）到直线3x+4y﹣15=0的距离，∵点（1，﹣2）到直线3x+4y﹣15=0的距离为d==4，∴的最小值为4．故答案为：4．三、解答题（共6小题,满分70分）17．设t∈R,已知p：函数f（x）=x2﹣tx+1有零点,q：∀x∈R,｜x﹣1｜≥2﹣t2．（Ⅰ）若q为真命题，求t的取值范围；（Ⅱ）若p∨q为假命题，求t的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（Ⅰ)利用q为真命题，转化列出不等式求解即可t的取值范围;（Ⅱ)求出两个命题都是假命题时的公共部分即可．【解答】解：（Ⅰ）若q为真命题，：∀x∈R，｜x﹣1|≥2﹣t2．可得2﹣t2≤0,解得t∈（﹣］．t的取值范围：(﹣］;(Ⅱ）p∨q为假命题，两个命题都是假命题;p为假命题,函数f（x）=x2﹣tx+1没有零点，即t2﹣4＜0．解得t∈（﹣2，2）．q为假命题，可得t．p∨q为假命题，t的取值范围．18．一本新出版的数学活动课教材在某书店销售，按事先拟定的价格进行5天试销，每种进价试销1天，得到如下数据:单价x（元）1819202122销量y（册）6156504845（Ⅰ）若y与x线性相关，且回归直线方程为y=mx+132，求实数m的值；（Ⅱ）预计以后的销售中，销量与单价服从(Ⅰ）中的回归直线方程，若每本数学活动课教材的成本是14元，为了获得最大利润，该教材的单价应为多少元？【考点】线性回归方程．【分析】(Ⅰ）若y与x线性相关，求出样本中心点，利用回归直线方程为y=mx+132，求实数m的值；（Ⅱ）确定函数解析式，利用配方法可得结论．【解答】解：（Ⅰ)因为=20，=52…点（20，52）满足回归直线方程为y=mx+132，所以52=20m+132,∴m=﹣4…(Ⅱ)设获得的利润为z，则z=（x﹣14）y=﹣4x2+188x﹣1848…因为二次函数z=﹣4x2+188x﹣1848的开口向下,所以当x=23.5时，z取最大值．即当单价应定为23.5元时，可获得最大利润．…19．已知两条坐标轴是圆C1：(x﹣1)2+（y﹣1）2=1与圆C2的公切线,且两圆的圆心距是3,求圆C2的方程．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】分类讨论,设出圆心坐标，利用两圆的圆心距是3,求出圆心与半径，即可求圆C2的方程．【解答】解：由题意知，圆C2的圆心C2在直线y=x或y=﹣x上．（1）设C2(a,a）．因为两圆的圆心距是3，即C2(a，a)与C1(1,1）的距离是3，所以=3，解得a=4或a=﹣2，…此时圆C2的方程是(x﹣4）2+（y﹣4）2=16或（x+2)2+(y+2)2=4．(2）设C2（b，﹣b)．因为C2(b，﹣b）与C1（1,1)的距离是3，所以=3，解得b=．此时圆C2的方程是(x﹣2）2+（y+2）2=8或（x+2）2+（y﹣2）2=8．故圆C2的方程（x﹣4）2+（y﹣4）2=16或（x+2）2+(y+2）2=4或（x﹣2)2+（y+2）2=8或（x+2）2+(y﹣2）2=8．…20．已知直线l1：y=﹣x+b于抛物线x2=﹣y相切于点P．（Ⅰ)求实数b的值和切点P的坐标；(Ⅱ）若另一条直线l2经过上述切点P，且与圆C:（x+1)2+（y+2）2=25相切，求直线l2的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）联立直线l1：y=﹣x+b于抛物线x2=﹣y，消去y得3x2﹣24x+16b=0,利用△=0，求实数b的值和切点P的坐标；(Ⅱ）分类讨论，利用直线与圆C:（x+1）2+（y+2）2=25相切，求直线l2的方程．【解答】解：（Ⅰ）联立直线l1：y=﹣x+b于抛物线x2=﹣y，消去y得3x2﹣24x+16b=0,由题意知，△=576﹣4×3×16b=0，∴b=3…此时3x2﹣24x+16b=0就是3x2﹣24x+48=0，x=4代入直线l1：y=﹣x+b中,得到y=﹣3,因此切点P的坐标是（4，﹣3)…（Ⅱ)（1）若直线l2的斜率存在，则可以设直线l的方程为y+3=k（x﹣4）,即kx﹣y﹣4k﹣3=0,于是=5，解得k=,故直线l的方程为12x﹣5y﹣63=0…（2）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=4,它与⊙C相切,满足条件．因此,直线l的方程是x=4或12x﹣5y﹣63=0．…21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，倒棱AA1⊥平面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB=2．(Ⅰ）若点M是线段AC的中点,证明:（1）MB∥平面AEF；（2）平面AEF⊥平面ACC1A1;（Ⅱ)求三棱锥B﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ)（1）取线段AE的中点G，连结MG，由三角形中位线定理可得MG=,又MG∥EC