数学模型实验报告

数学模型实验报告陈雪松20111002107杨阳20111002106廖圆圆20111002211第二题问题描述：一条河流和河湾与大湖相连，位于湾上游的小河是造成湾污染的主要因素，另有一座铝厂恰好建在湾旁,也造成污染。当湾中污染物平均浓度达到1.6mg/L时，铝厂将被迫暂时关闭。假使该湾的容量为4,000,000公升，流入和流出河湾的水流速度均为40,000公升/天，若当前该河湾水中的污染物浓度为0.8mg/L，河水中污染物的浓度为0.5mg/L。要求：建立湾中水污染状况的模型；计算30天后该河湾水的污染物浓度；该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值？如将4,000,000mg污染物瞬间排入河水中，求铝厂必须关闭多长时间？列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。模型假设：（1）河湾污染物只有小河流入和铝厂排放两种流入方式，并且只有河流流出这一种排出方式；（2）河湾的降水量和蒸发量相等，不考虑河湾自我净化等其他因素；（3）河流的污染物浓度稳定在0.5mg/L不变，流入河湾的污染物能以很快的速度与湖水均匀混合，也就是说任意时刻河湾污染物都是均匀分布的；（4）假设t时刻河湾的污染物浓度为q（t），初始时刻q（0）=0.8mg/L，河湾体积V=4000000L，河湾流水的流出量与流入量相等，均为40000L/天，铝厂每天向河湾中排放mmg的污染物。模型分析求解：设在不考虑铝厂关闭的前提下，t时刻的污染物浓度为p（t）。在极短时间dt内，河湾污染物浓度增加dp，根据河湾中污染物的改变量=输入量-输出量，得到微分方程：V*dp=[m+40000(0.5-p)]*dt,化简即得：=*[m+40000(0.5-p)]……...(1)代入数据V=4000000，并注意到初始条件p（0）=0.8，可以解出p（t）=0.5++c………………….(2)其中常数c=0.3-。下面开始考虑铝厂的关闭，当河湾浓度达到1.6时，铝厂将会关闭，这时因为流入的河水浓度为0.5，因此河湾污染物的浓度将会降低，当降到时，铝厂又将开放，这样浓度增加到时，铝厂将会关闭；如此循环，即浓度q（t）将会在1.6附近波动，可视为浓度稳定在1.6。因此，河湾污染物的浓度q（t）=min（1.6,p（t））............................(3)其中p（t）由(2)式给出。讨论m的大小，可以得到q（t）的4种大致情况，用matlab画出，如下图所示。0m<12000m=1200012000<m<44000m44000在(2)式中令t=30，即得到p（30）=0.5++c,其中c为常数且c=0.3-，m亦为常数,如前面所假设。于是得到30天后的浓度q（30）=min(1.6,p（30）)。先考察(1)式所确定的常微分方程的平衡点及其稳定性。令F（p）=V*[m+40000(0.5-p)]=0，解出唯一一个平衡点==0.5+。同时因为对任意一个p，有F’（p）=-40000<0,因此该平衡点是稳定点。又注意到在(2)式中令t+∞,有p，对应1）问中第一，二，三个图像所对应的情况。再考虑到铝厂可能关闭的条件，在m44000时，浓度在某一时刻将会达到1.6，这时铝厂暂时关闭，如（1）中的讨论，这种情况下浓度将会稳定在1.6，即此时稳定点为1.6。综合上面的论述，我们得到河湾浓度q（t）的稳定值=min（1.6，0.5+）。若在初始时刻，将4,000,000mg污染物瞬间排入河水中，则初始浓度（0）=1.8mg/L，此时铝厂应该关闭，并且铝厂未开放前q（t）=（t）。类似于第一问的分析得铝厂关闭时的浓度方程为=*40000*(0.5-)…..…………….(4)注意到（0）=1.8，解之得（t）=1.3*+0.5…………..(5)因为当河湾中污染物的浓度小于等于1.6mg/L时，铝厂方可开放，所以在(5)式中令（t）=1.6，解出t=-100ln16.7，即铝厂必须关闭16.7天。下面定性地来讨论以上未考虑到的其它因素。自然净化：若考虑河湾的自然净化，设河湾中的微生物每天可以使mg的污染物净化，则在(1)式中的中括号内添上一项-即可，得到的方程为=*[m+40000(0.5-p)-]………(6)并且初始条件为（0）=0.8。由（6）式以及q（t）=min（1.6,（t））即可以确定污染物浓度的变化情况（求解从略）。降水与蒸发：若考虑河湾的降水与蒸发因素，在降水量等于蒸发量的情形下，模型与（1）到（3）问中讨论的一致；在降水量大于蒸发量的情形下，会将污染物的浓度稀释，因此可能使污染物浓度的增加速度将会减慢，亦或可能会使污染物浓度下降；在降水量小于蒸发量的情形下，污染物的浓度会愈加增长，并且最终的稳定点的浓度值也会变大。湖水的渗透：若考虑湖水的渗透，则湖中水的体积会随时间减少，由此直观的得到污染物的浓度会进一步上升。人工处理：若人为的干预这个系统，即假设每天可以人工处理掉河湾中的mg污染物，则与自然净化中类似的