固体物理学教案6-1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第六章金属自由电子论物理现象或试验结果物理模型决定原因结果与预言验证修改理论解释1/49§6.1Sommerfeld自由电子论电子在运动中存在一定散射机制1、自由电子量子模型（模型关键点）电子在一有限深度方势阱中运

动，电子间相互作用忽略不计电子按能量分布遵从Fermi－Dirac统计电子填充满足Pauli不相容原理2/492、电子能量状态V0：电子在势阱底部所含有势能，取V0＝0令有1）.运动方程3/49方程解：A：归一化因子，由归一化条件确定电子能量：V:金属体积

：电子波矢4/49金属中原胞总数：N＝N1N2N32）.周期性边界条件h

为整数设N

是金属沿基矢

（＝1，2，3）方向原胞数，周期性边界条件：

，＝1,2,35/49令：h

为整数，＝1,2,36/49在k空间中，电子态分布是均匀，分布密度只与金属体积相关在

空间中，波矢

分布密度为每一个量子态在

空间中所占体积为：7/493）.能态密度在能量为E球体中，波矢k取值总数为考虑电子自旋，如将每一个自旋态看作一个能态，在能量为E球体中，电子能态总数为8/49定义：能态密度其中：电子能态密度并不是均匀分布，电子能量越高，能态密度就越大能态密度：在E－E＋dE之间单位能量间隔中能态数9/493、Fermi－Dirac统计（电子基态分布）1）.量子统计基础知识量子统计：Fermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计费米子：自旋为半整数（n＋1/2）粒子（如：电子、质

子、中子等），费米子遵从Fermi－Dirac统计规

律，费米子填充满足Pauli原理经典统计—Boltzmann玻色子：自旋为整数n粒子（如：光子、声子等），

玻色子遵从Bose－Einstein统计规律，

玻色子不遵从Pauli原理10/492）.T＝0K时电子分布T＝0时，电子分布函数为f(E)={1EEF00E>EF0EEF001f(E)T＝0——费米半径——费米动量——费米能11/49——费米速度在E－E＋dE中电子数为：dN＝f(E)N(E)dE系统自由电子总数为T＝012/49——自由电子密度金属：n：1022~1023cm－3EF0~几个eV13/49系统总能量：T＝0定义Fermi温度：金属：TF：

104~105K物理意义：构想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度

下振动能14/49元素EF0

(eV)TF

(104K)元素EF0

(eV)TF

(104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.6313.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金属元素费米能与费米温度计算值15/493）.T>0时分布能量在E－E＋dE之间电子数为：——Fermi－Dirac分布函数：电子化学势，其物理意义是在体积不变情况

下，系统增加一个电子所需自由能当E＝时，f()＝1/2，代表填充概率为1/2能态16/49E

，f(E)快速趋于零当E－>几个kBT时，exp[(E－)/kBT]>>1，Fermi－Dirac分布过渡到经典Boltzmann分布E－>几个kBT能态基本上是没有电子占据空态17/49对金属：T<<TF总是满足，将金属自由电子气称为强简并费米气体－

E>几个kBT时，exp[(E－)/kBT]<<1，f(E)1在强简并情况下，EF（EF是T>0时费米能）量子力学中能量简并性：能量简并性；金属自由电子气简并性：统计简并性，即指金属

自由电子气与理想气体遵从统计规律差异性对于半导体，n~1017cm-3，其TF~102K

当T~TF时，其分布已经很靠近于经典分布了－

E>几个kBT能态基本上是满态18/49对于金属而言，因为T<<TF总是成立，所以，只有费米面附近一小部分电子能够被激发到高能态，而离费米面较远电子则仍保持原来（T＝0）状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。所以，即使金属中有大量自由电子，不过，决定金属许多性质并不是其全部自由电子，而只是在费米面附近那一小部分。19/494、结果与讨论（粗略数量级估算）1）.电子热容量对于金属，当T>0时，只有在费米面附近几个kBT电子受热激发，对电子热容量贡献主要来自费米面附近厚度~kBT一层电子在E－EF

kBT中电子数为20/49而每个电子热运动平均能量：因为热激发，系统所取得能量为21/49电子热容量为：对于一摩尔金属，N＝ZN0，Z：每个金属原子所贡献自由电子数常温下，CL3R，因为T<<TF，所以Ce<<CL，即常温下能够无须考虑电子热容量贡献22/492）.Pauli顺磁考虑T

0极端情况B=0时，M=0

B平行于B：－BB

B：玻尔磁子，B＝9.27×10－24J/TB

0时，自旋磁矩在磁场中取向能：

B反平行于B：＋BB23/49每个电子自旋磁矩从－

B变为＋

B改变了2

B所以，产生总磁矩为24/49因为

BB<<EF0，所以，对电子Pauli顺磁有贡献并不是金属全部自由电子，而只是在费米面附近一小部分电子3）.导电率

当

0时，电子定向运动可看成两个过程：当＝0时，系统总电流为0电子因为碰撞而失去定向运动

电子在电场

作用下作加速运动25/490kxky

0时费米球球心将偏离原点位置，使原来对称分布偏向一边，有一部分电子对电流贡献不能被抵消，从而产生宏观电流26/49电子因为碰撞而失去其定向运动电子定向漂移速度为电流密度：费米球心移动距离为

：平均自由时间27/490kxky

kFⅠⅡ第二种解释：只有在费米面附近未被抵消部分电子才对传导电流有贡献这部分电子对电流贡献为这部分电子所占分数为28/49这时，对传导电流有贡献电子数目即使少，但其运动速度很快，其结果与高浓度但低漂移速度电子对电流贡献相同。严格理论计算结果支持了后一个说法。这主要是因为Pauli不相容原理结果。能量比EF低得多电子，其附近状态仍被其它电子所占据，没有空状态来接纳它。所以，这些电子不能吸收电场能量而跃迁到较高能态，对电导作出贡献，能被电场激发而对电导有贡献只是在费米面附近一小部分电子。29/49§6.2Sommerfeld展开式及其应用一、问题提出和因为金属费米能EF0>>kBT，当T>0时，只有在费米面附近一小部分电子被激发而跃迁到高能态，而比费米能低几个kBT电子仍保持原来状态，所以，这种类型积分能够作适当近似处理。这类积分不能用准确解析表示式积出，因而给定量计算金属性质带来困难30/49二、Sommerfeld展开式设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)＝0，而且满足条件，其中α为大于0常数。在kBT<<EF情况下，有其中为F－D分布函数31/49证实：考查：32/49(-df/dE)值集中在

E－EFkBT一小范围内，

当E－EF>几个kBT时，函数值快速趋于0，具

有类似于函数性质所以，积分贡献主要来自E~EF附近区域，因为EF>>kBT，所以，我们能够将均分下限由0改为

∞，而并不会影响积分值。

(-df/dE)是（E－EF）偶函数；33/49将Q(E)在E=EF附近展开成Taylor级数：34/49奇函数偶函数35/49利用Taylor展开式：36/49三、Sommerfeld展开式应用1.EF确实定37/49对于金属，因为TF>>T，所以EF

EF0，略低于EF038/492.电子热容量自由电子系统总能量为39/49——T=0时自由电子系统总能量第二项：T>0时，因为热激发自由电子系统从外界所获

得能量40/49电子热容量：一摩尔金属电子热容量为：Z：一个原子所贡献自由电子数41/49一些金属值NaKCaZnAlSn试验（mJ/mol.K2）1.382.080.6950.641.351.78

理论（mJ/mol.K2）1.091.670.5050.750.911.4142/49当T>

D时，常温下，一摩尔金属晶格热容CL3R对于金属，因为TF>>T，所以Ce<<CL当T<<

D时，在常温下能够无须考虑电子热容量贡献43/49当Ce=CL时，可求出此时温度试验值对于简单金属，

D~102

K，TF

~104

K，估算出Tc

~1K数量级在很低温度下，电子热容量与晶格热容量同数量级，电子热容量就不可忽略44/493.Pauli顺磁当B=0时，系统不显示磁性－

BB

BB－

B

BEBE能量为E能态密