3.4基本不等式(最值问题)市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

基本不等式1/33ab1、正方形ABCD面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样不等关系？

探究１：S>S′即问：那么它们有相等情况吗？>(a≠b)2/333/33ADBCEFGHba猜测：普通地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝4/33思索：你能给出不等式证实吗？证实：（作差法）5/33主要不等式：普通地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数平方和大于它们积2倍.适用范围：a,b∈R问题一6/33问题一替换后得到：即：即：你能用不等式性质直接推导这个不等式吗？问题二7/33证实：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立.当且仅当a=b时,③中等号成立.分析法问题二证实不等式：8/33尤其地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b算术平均数，叫做正数a，b几何平均数；文字叙述为：两个正数算术平均数大于它们几何平均数.适用范围：a>0,b>09/33你能用这个图得出基本不等式几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB弦DE,连接AD、BD、OD.②怎样用a,b表示CD?CD=______①怎样用a,b表示OD?OD=______10/33你能用这个图得出基本不等式几何解释吗?问题三②怎样用a,b表示CD?CD=______①怎样用a,b表示OD?OD=______③OD与CD大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径大于弦长二分之一ADBEOCab11/33适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数算术平均数大于它们几何平均数两数平方和大于它们积2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不一样角度认识基本不等式12/33（1）假如a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.（2）假如a，b＞0，且a＋b＝S

（定值），那么ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.2.利用基本不等式求最值问题：小大利用基本不等式求最值条件：一正、二定、三相等。一．知识关键点a=ba=b13/33应用基本不等式求最值条件：

a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大（a＞0，b＞0）14/33注意1、两个不等式适用范围不一样;2、普通情况下若“=”存在时，要注明等号成立条件；3、利用主要不等式时，要把一端化为常数（定值）。一正、二定、三相等15/33（1）把36写成两个正数积，当这两个正数取什么值时，它们和最小？（2）把18写成两个正数和，当这两个正数取什么值时，它们积最大？ab=36∴当a=b=6时，和a+b最小为12∵∵a+b=18∴当a=b=9时，积ab最大为81不等式是一个基本不等式，它在处理实际问题中有广泛应用，是处理最大（小）值问题有力工具。【应用练习】16/33例题讲解结论1：两个正数积为定值，则和有最小值17/3318/33二、利用基本不等式求函数最值19/332、(04重庆）已知则xy最大值是

。练习：1、当x>0时，最小值为

，此时x=

。21

3、若实数，且，则最小值是（）A、10B、C、D、4、在以下函数中，最小值为2是（）A、B、C、D、DC20/33例4、求函数最小值结构积为定值，利用基本不等式求最值思索：求函数最小值21/33结构和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知，求最大值

练习：已知且，则最大值是多少？22/33

例题1

(1)求函数最小值;(2)已知，求函数和最大值;23/33思索题1.求函数

f(x)=x

+

(x＞-1)

最小值.1x+12.若

0<x<,求函数

y=x(1-2x)

最大值.1224/33题型一分式形函数最值求法典例剖析25/3326/33配凑系数分析:

x+(1-2x)

不是

常数.2=1为

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即

x=

14∴当

x=时,

函数

y=x(1-2x)

最大值是.1418例2.若

0<x<,求函数

y=x(1-2x)

最大值.1227/33用均值不等式求最值,必须注意“相等”条件.假如取等条件不成立,则不能取到该最值.28/33小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个主要不等式29/33

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y最小值，