北师大版八年级下册数学三角形的证明线段的垂直平分线市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

线段垂直平分线(1)第1页

我们曾经利用折纸方法得到:线段垂直平分线上点到这条线段两个端点距离相等.你能证实这一结论吗?

定理：线段垂直平分线上点到这条线段两个端点距离相等

已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN第2页

分析：要想证实PA=PB,能够考虑去证实这条线段所在三角形是否全等.也就是想方法证实△APC≌△BPC.而△APC≌△BPC条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS).故结论可证.

你能写出它证实过程吗？第3页证实：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA=PB(全等三角形对应边相等)ACBPMN假如点P与点C重合，那么结论显然成立.第4页几何语言描述老师提醒:这个结论是经惯用来证实两条线段相等依据之一.

ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上点到这条线段两个端点距离相等).第5页

深入思索：你能写出“定理线段垂直平分线上点到这条线段两个端点距离相等”逆命题吗?

逆命题到一条线段两个端点距离相等点,在这条线段垂直平分线上.

它是真命题吗?假如是,请你证实它.思索分析第6页已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB垂直平分线上.分析:要想证实点P在线段AB垂直平分线上,能够先作出过点PAB垂线(或是AB中点,),然后证实另一个结论正确.试一试：你能自己写出这两个证实过程吗？ABP第7页

方法一：过点P作PC⊥AB,垂足为C∵PC⊥AB∴△APC和△BPC都是Rt△∵PC=PC,PA=PB∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)∴AC=BC(全等三角形对应边相等)

∴P在AB垂直平分线上ACBP第8页

方法二：把线段AB中点记为C,连接PC∵C为AB中点∴AC=BC∵PA=PB,PC=PC∴△APC≌△BPC(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB即P在AB垂直平分线上ACBP.第9页逆定理到一条线段两个端点距离相等点,在这条线段垂直平分线上.几何语言描述：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等点,在这条线段垂直平分线上).老师提醒:这个结论是经惯用来证实点在直线上(或直线经过某一点)依据之一.ABP第10页第11页练一练已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证实：∵AB=AC，∴点A在线段BC垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等点，在这条线段垂直平分线上）.同理，点O在线段BC垂直平分线上.∴直线AO是线段BC垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其它证实方法吗？第12页加强练习：1，如图,已知AB是线段CD垂直平分线,E是AB上一点,假如EC=7cm,那么ED=

cm;假如∠ECD=600,那么∠EDC=

0.老师期望:你能说出填空结果依据.EDABC760第13页2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE周长等于50,求BC长.BAEDC第14页

分析提醒：这是一道计算题，题目中出现了线段垂直平分线，你首先应该想到我们刚才学习相关线段垂直平分线性质，得出相关结论，再结合已知三角形周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最终结果.

试一试：你能独立完成这道题目吗？第15页

解：∵DE为AB垂直平分线∴AE=BE∵△BCE周长等于50∴BE+EC+BC=50即：AE+EC+BC=50∴AC+BC=50∵AC=27∴BC=23

比一比：你写作过程完整吗？第16页

3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上

一点.

求证：PB=PC

PBDCA第17页解：∵AB=AC∴A在线段BC垂直平分线上∵BD=CD∴D在线段BC垂直平分线上∴AD是线段BC垂直平分线∵P是AD上一点∴PB=PC

第18页

3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上

一点.

求证：PB=PC

PBDCA深入探索：你还有其它证实方法吗？

第19页拓广探索：已知：如图，点P是线段AB垂直平分线MN上一点，MN交AB于O，OB=4cm，∠APB+3∠ABP=210°，求点B到AP距离.MABPN∟C∟0第20页今天你收获了什么？1、线段垂直平分线