24.1.2-垂直于弦的直径(第1课时)市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

24.1.2垂直于弦的直径1/26赵州石拱桥1300多年前,我国隋朝建造赵州石拱桥(如图)桥拱是圆弧形,它跨度(弧所对是弦长)为37.4m,拱高(弧中点到弦距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱半径(准确到0.1m).OAB2/2624.1.2垂直于弦直径

———（垂径定理）3/261、举例什么是轴对称图形。假如一个图形沿一条直线对折，直线两旁部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。2、举例什么是中心对称图形。把一个图形绕着某一个点旋转180°，假如旋转后图形能够和原来图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形。3、圆是不是轴对称图形？圆是轴对称图形，经过圆心每一条直线都是它对称轴。复习4/26实践探究把一个圆沿着它任意一条直径对折，重复几次，你发觉了什么？由此你能得到什么结论？能够发觉：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它对称轴．●O5/26如图，AB是⊙O一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？假如是，它对称轴是什么？（2）你能发觉图中有哪些相等线段和弧？为何？·OABCDE思索（1）是轴对称图形．直径CD所在直线是它对称轴（2）线段：AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒6/26已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E（如图）。求证：AE=BE，︵AC︵BC=︵AD︵BD.=,OCDEBA证实：连结OA、OB，∵OA＝OB,CD⊥AB∴直径CD所在直线既是等腰三角形OAB对称轴，又是⊙O对称轴.则A点与B点重合，AE和BE重合，︵AC︵BC和︵AD︵BD和也重合.∴AE=BE，︵AC︵BC=︵AD︵BD.=,7/26CAEBO.D想一想：垂径定理：垂直于弦直径平分弦，而且平分弦正确两条弧。CD为⊙O直径CD⊥AB条件结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BD8/26·OABCDE垂径定理

垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧．题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对劣弧①CD是直径②CD⊥AB可推得③AE=BE,⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧．9/26垂径定理三种语言定理垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB结论10/26推论：平分弦（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧．·OABCDE②CD⊥AB,由①CD是直径③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得推论：11/26垂径定理的几个基本图形12/26EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB

练习1OBAED在以下图形中，你能否利用垂径定理找到相等线段或相等圆弧.O13/26判断以下图形，能否使用垂径定理？注意：定理中两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！

14/268cm1．半径为4cm⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB距离是

。2．⊙O直径为10cm，圆心O到弦AB距离为3cm，则弦AB长是

。3．半径为2cm圆中，过半径中点且垂直于这条半径弦长是

。

练习2ABOEABOEOABE15/26方法归纳:处理相关弦问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABO16/26E例1如图，已知在⊙O中，弦AB长为8cm，圆心O到AB距离为3cm，求⊙O半径。讲解AB.O垂径定理应用17/262．如图，在⊙O中，AB、AC为相互垂直且相等两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证实：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.18/26E已知：如图１，在以O为圆心两个同心圆中，大圆弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。.ACDBO图１课堂练习19/26再逛赵州石拱桥如图，用表示桥拱，所在圆圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB中点，C是中点，CD就是拱高.由题设知在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2R-7.218.71300多年前,我国隋朝建造赵州石拱桥(如图)桥拱是圆弧形,它跨度(弧所对是弦长)为37.4m,拱高(弧中点到弦距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱半径(准确到0.1m).20/26请围绕以下两个方面小结本节课：1、从知识上学习了什么？２、从方法上学习了什么？课堂小结圆轴对称性；垂径定理（１）垂径定理和勾股定理结合。（２）在圆中处理与弦相关问题时常作辅助线——过圆心作垂直于弦线段；——连接半径。21/261.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为直径，则以下结论不正确是（）课堂反馈2.已知⊙O直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD=

.3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O半径是

.

●OCDABM└CA、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM⌒⌒⌒⌒81322/26思索已知：如图，在以O为圆心两个同心圆中，大圆弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证实：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO23/26ABOED油最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)

在直径为650mm水平放置圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油最大深度。OE=125(mm)(2