高等数学2.8-2点积叉积省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

五、向量模、方向角、投影1.向量模与两点间距离公式两点间距离公式:与1/302.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤

≤

)为向量

夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴夹角.与三坐标轴夹角

,

,

为其方向角.方向角余弦称为其方向余弦.

记作3.向量在轴上投影,在§8.2介绍2/30方向余弦性质:思索：若

,

,

是向量与三坐标面夹角，２3/30例7.已知两点和模、方向余弦和方向角.解:计算向量4/30例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A坐标为向径OA与x轴y轴夹5/30一、两向量数量积二、两向量向量积§8.2数量积向量积*混合积第八章简单介绍定义及计算.6/30一、两向量数量积1.定义设向量夹角为,称记作数量积(点积).在物理学中,7/30记作故2.性质为两个非零向量,则有

=8/30记作2.性质(1)向量在数轴上投影(介绍)x同理可定义向量在y,z轴上投影(2)9/303.点积运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律实际上,当时,显然成立;10/30例1.证实三角形余弦定理证:则如图.设11/304.数量积坐标表示!!!设则当为非零向量时,因为两向量夹角公式,得12/30例2.已知三点

AMB.解:则求故13/30为

).求单位时间内流过该平面域流体质量P(流体密度例3.设均匀流速为流体流过一个面积为A平面域,与该平面域单位垂直向量解:单位时间内流过体积夹角为且为单位向量平面域→曲面域且曲面上每一点处流速是非均匀(大小方向均改变)?在第11章我们也能处理,这就是数学魅力.14/30二、两向量向量积引例.设O为杠杆L支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:力F作用在杠杆P点上,则力F作用在杠杆上力15/301.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,

称引例中力矩右图三角形面积S＝16/302.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证实略)证实:(交换律不成立!!!)17/304.向量积坐标表示式!!!设则18/30向量积行列式计算法(行列式计算见上册P355附录1)

19/30例4.已知三点角形

ABC面积解:如图所表示,求三20/30*三、向量混合积(介绍)1.定义已知三向量称数量混合积.记作21/30内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:22/30混合积:2.向量关系:23/30思索与练习设计算并求夹角

正弦与余弦.答案:24/30作业

P223,4,6,7,9(1);(2),10,12预习§8.525/30备用题1.已知向量夹角且解：26/302P50题1(4)(5)为单位向量,且解(4)则三式相加得:(4)向量则(5)已知且(5)=().=().同理则原式==36.3627/303.证:在线段AB一侧有一动点P,以PB,PA为边向外做正方形PBCD和PAEF,M为D,E中点(如图).证实:(1)PM⊥AB;(2)PM=AB.ABCDPEFM设垂直屏幕向外单位向量为所以PM⊥AB;且PM=AB.28/304.证实(1)任意三角形△ABC三条中线可组成△1;BCA证:(1)设△ABC三边中点分别为D,E,F(如图)．FDE(2)△1三条中线组成三角形△2与△ABC相同,并求相同比．记则三条中线所以三条中线可组成三角形,记为△1

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