《高层建筑结构与抗震》讲稿

第一讲高层建筑结构体系及布置§1-1高层建筑结构的发展、特点及类型一、高层建筑的发展

现代高层建筑是随着城市的发展和科学技术的进步而发展起来的，是商业化、工业化和城市化的结果。现代高层建筑的发展有利于节约用地、解决住房紧张，减少市政基础设施和美化城市空间环境。从某种意义上说，现代高层建筑是现代化城市的标志。

我国是高层建筑发展历史悠久的国家。我国古代建造过不少高层建筑，如公元704年在西安建造的大雁塔，高64m；公元1056年在山西应县建造的木塔，高67m。这些古老的高塔建筑经受住了几百年乃至上千年的风吹雨打，甚至若干次大地震的考验，说明我国古代在建筑设计、结构体系选择、施工技术和方法上具有很高的水平。

但是，我国近代高层建筑发展迟缓。从20世纪初到新中国成立，我国高层建筑甚少。我国自己设计和建造高层建筑始于20世纪50年代初。1958～1959年，北京的十大建筑工程推动了我国高层建筑的发展。如1959年建成的北京民族饭店，12层，高47.4m。到了60年代，我国高层建筑有了新的发展，1964年建成的北京民航大楼，15层，高60.8m；1966年建成了18层的广州人民大厦，70年代，我国高层建筑有了较大的发展，其代表性的高层建筑为：1974年建成的20层北京饭店新楼，高87.4m，是当时北京最高的建筑；1976年建成的33层、高114.1m的广州白云宾馆。与此同时，在大城市和某些中等城市建成了大量的高层住宅。上海首先建成了漕溪路20幢12～16层剪力墙住宅楼；北京建成了前三门高层住宅一条街，在8㎞长的街上建造了40幢9～16层大模板施工的剪力墙住宅。从此，高层住宅就成为我国高层建筑中数量最多的类型。

从80年代开始，我国高层建筑迅速发展，建筑层数和高度不断增加，功能和类型越来越复杂，结构体系日趋多样化。仅1980～1983年所建的高层建筑就相当于1949年以来30多年中所建高层建筑的总和。比较有代表性的高层建筑有：北京中央彩色电视中心，主楼27层，112.7m，是当时我国8度地震区中最高的建筑（按9度设防）；上海第一家五星级宾馆—静安希尔顿饭店，建筑面积69244㎡，包括塔楼43层，总高143.6m，外形呈三角形；深圳的国际贸易中心大厦，50层，高158.65m；深圳发展中心大厦，43层，高165.3m，加上天线的高度共185.3m，这是我国第一幢大型高层钢结构建筑。广州广东国际大厦，钢筋混凝土结构，63层，高为200.2m。深圳贤成大厦钢筋混凝土筒中筒结构，塔楼为八角形平面，整个建筑61层，高218m。广州中天大厦，筒中筒结构，80层，322m高。深圳的地王大厦，81层，高325m。上海的金茂大厦，88层，高421m。在国外，现代高层建筑的发展只有110多年的历史，又以最近40多年发展较快。1883年在美国芝加哥建成11层的家庭保险大楼（HomeInsuranceBuilding）是近代高层建筑的开端。1931年纽约建造了著名的帝国大厦（ImpireStateBuilding），共102层，381m高，他享有“世界最高建筑”之美誉长达40年之久。20世纪50年代以后，轻质高强材料的应用，新的抗风抗震结构体系的发展，电子计算机的推广使用以及新的施工机械的涌现，才使高层建筑得到了大规模的迅速发展。1972年，纽约建造了110层，高402m的世界贸易中心（WorldTradeCenterTwinTowers）；1973年在芝加哥又建成当时世界上最高的西尔斯大厦（SearsTower），110层，高443m，这两幢建筑都是钢结构。目前世界上最高的建筑是1996年在吉隆坡建成的石油大厦，88层，高450m，是钢与钢筋混凝土混合结构。二、高层建筑结构的特点

高层建筑结构要抵抗竖向和水平荷载，在地震区，还要抵抗地震作用。但在较低的建筑结构中，往往竖向荷载控制着结构设计；随着建筑高度的增大，水平荷载效应逐渐增大；在高层建筑结构中，水平荷载和地震作用却起着决定性作用。荷载效应最大值（轴力Ν、弯矩Μ和位移△）可由图1-1所示简图得到：

式中Ｗ－建筑每米高度上的竖向荷载；q－水平均布荷载；H－建筑高度；El－建筑总体抗弯刚度（E为弹性模量，l为惯性距）。为直观起见，将式（1-1）表达的荷载效应与建筑物高度的关系示于图1-2。从图中可见，随着建筑物高度的增大，位移增加最快。因此，在高层建筑结构设计时，不仅要求结构具有足够的强度，而且还要求有足够的刚度，使结构在水平荷载作用下产生的位移限制在一定的范围内，以保证建筑结构的正常使用和安全。

另外，相对于低层建筑而言，高层建筑相对较柔，因此在地震区，高层建筑结构应具有足够的延性。也就是说，在地震作用下，结构进入弹塑性阶段后，仍具有抵抗地震作用的足够的变形能力，不致倒塌。这样可以在满足使用条件下能达到既安全又经济的设计要求。

综上所述，对于高层建筑结构，抵抗水平力的设计是个关键，应该很好地理解上述特点，使所设计的结构具有足够的强度、刚度和良好的抗震性能，还要尽可能地提高材料利用率，降低材料消耗和造价。三、高层建筑结构类型

高层建筑采用的结构可分为钢筋混凝土结构、钢结构、钢-钢筋混凝土组合结构等类型。根据不同结构类型的特点，正确选用材料，就成为经济合理地建造高层建筑的一个重要方面。

钢筋混凝土结构具有造价较低、取材丰富、并可浇筑各种复杂断面形状，而且强度高、刚度大、耐火性和延性良好，结构布置灵活方便，可组成多种结构体系等优点，因此，在高层建筑中得到广泛应用。当前，我国的高层建筑中钢筋混凝土结构占主导地位。到目前为止，我国已建成多幢200m以上的钢筋混凝土建筑。但钢筋混凝土结构的主要缺点是构件占据面积大、自重大、施工速度慢等。例如我国广东国际大厦，63层，底层柱尺寸已达1.8m×2.2m，占据了大量的空间。

钢结构具有强度高、构件断面小、自重轻、延性及抗震性能好等优点；钢构件易于工厂加工，施工方便，能缩短现场施工工期。近年来，随着高层建筑建造高度的增加，以及我国钢产量的大幅度增加，采用钢结构的高层建筑也不断增多。北京建成了京广中心（56层，208m）、京城大厦（52层，183m）、国际贸易中心（39层，155.25m）等高层钢结构；上海建成了锦江宾馆分馆（46层，153.53m）、国际贸易中心（37层，139m）等高层钢结构。更为合理变形的高层建筑结构为钢和钢筋混凝土相结合的组合结构和混合结构。这种结构可以使两种材料互相取长补短，取得经济合理、技术性能优良的效果。

组合结构是用钢材来加强钢筋混凝土构件的强度，钢材放在构件内部，外部由钢筋混凝土做成，成为钢骨（或型钢）混凝土构件，也可在钢管内部填充混凝土，做成外包钢构件，成为钢管混凝土。前者可充分利用外包混凝土的刚度和耐火性能，又可利用钢骨减小构件断面和改善抗震性能，现在应用较为普遍。例如：北京的香格里拉饭店就采用了钢骨混凝土柱。

混合结构是部分抗侧力结构用钢结构，另一部分采用钢筋混凝土结构（或部分采用钢骨混凝土结构）。多数情况下是用钢筋混凝土做筒（剪力墙），用钢材做框架梁、柱。例如：上海静安希尔顿饭店就是这种混合结构。而上海金茂大厦，是用钢筋混凝土作核心筒，外框用钢骨混凝土柱和钢柱的混合结构。§1-2高层建筑结构体系

结构体系是指结构抵抗外部作用的构件总体组成的方式。在高层建筑中，抵抗水平力成为确定和设计结构体系的的关键问题。高层建筑中常用的结构体系有框架、剪力墙、框架-剪力墙、筒体以及它们的组合。

一、框架结构体系

框架结构体系是由梁、柱构件通过节点连接构成，既承受竖向荷载，也承受水平荷载的结构体系（其典型布置如图1-3）。这种体系适用于多层建筑及高度不大的高层建筑。

框架结构的优点是建筑平面布置灵活，可以做成有较大空间的会议室、餐厅、车间、营业室、教室等。需要时，可用隔断分隔成小房间，或拆除隔断改成大房间，因而使用灵活。外墙用非承重构件，可使立面设计灵活多变。

框架结构可通过合理的设计，使之具有良好的抗震性能。但由于高层框架侧向刚度较小，结构顶点位移和层间相对位移较大，使得非结构构件（如填充墙、建筑装饰、管道设备等）在地震时破坏较严重，这是它的主要缺点，也是限制框架高度的原因，一般控制在10～15层。

框架结构构件类型少，易于标准化、定型化；可以采用预制构件，也易于采用定型模板而做成现浇结构，有时还可以采用现浇柱及预制梁板的半现浇半预制结构。现浇结构的整体性好，抗震性能好，在地震区应优先采用。轮二跟、奉剪炊力轨墙狂结宵构涝体娘系分叙舞剪忙力彩墙浩结意构瓜体楼系膜是潮利野用伞建污筑嫂物嘴墙罢体障承控受找竖毕向从与馅水松平勉荷槽载霜，班并度作絮为牲建莫筑挤物俱的牛围堪护颤及夺房愧间截分堂隔茄构咳件远的爪结箩构层体榆系嗓（裳其霞典绿型旱布犯置启如兄图免1愿-拘4耗）珠。

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5．箱形基础及筏式基础是高层建筑结构常用的形式。

6．在地震区，为保证整体结构的稳定性，减小由基础变形引起的上部结构倾斜，基础埋深不能太小。在天然地基或复合地基上，基础埋深不宜小于建筑物高度的1/15。如果采用桩基，则从桩顶算起，基础埋深不宜小于建筑物高度的1/18。在非地震区，基础的埋深可适当减小。

此外，无论何种形式的基础，均不宜直接置于可液化土层上。第二讲荷载与作用（一）§2-1荷载

与作用于多层建筑时的情形一样，作用于高层房屋的荷载有两种：一是竖向荷载，包括结构自重和楼（屋）盖上的均布荷载；另一种是水平荷载，包括风荷载和地震作用。

在多层房屋中，往往以竖向荷载为主，但也要考虑水平荷载的影响，特别是地震作用的影响。随着房屋高度的增加，水平荷载产生的内力越来越大，会直接影响结构设计的合理性、经济性，成为控制荷载。因此在非地震区，风荷载和竖向荷载的组合将起控制作用，而在地震区，则往往是地震作用与竖向荷载组合起控制作用。

一、竖向荷载

竖向荷载中的结构自重和楼面均布活荷载均应按照《建筑结构荷载规范》（GB50009）（以下简称《荷载规范》）确定。楼面均布活荷载是按“楼板内弯矩等效”的原则，将实际荷载换算为等效均布荷载。对于作用在楼面上的活荷载，并不是所给的等效均布荷载同时布满在所有楼面上。因此在设计梁、墙、柱和基础时，应考虑实际荷载沿楼面分布的变异性。在确定梁、墙、柱和基础的荷载标准值时，还应按现行《荷载规范》对楼面活荷载标准值乘以折减系数。二、风荷载

风受到地面上各种建筑物的阻碍和影响，风速会改变，并在建筑物表面上形成压力或吸力，这种风力的作用称为风荷载。

风力在整个建筑物表面的分布情况随房屋尺寸的大小、体积和表面情况的不同而异，并随风速、风向和气流的不断变化而不停地改变着。风荷载实质上是一种随时间变化的动力荷载，它使建筑结构产生动力反应。在实际工程设计中，通常将风荷载看成等效静力荷载，但在高度较大的建筑中要考虑动力效应影响。

（一）风荷载标准值及基本风压

1．基本风压值

基本风压值系以当地比较空旷平坦地面上离地10m高统计所得的重现期为50年一遇10min平均最大风速（m/s）为标准，按=/1600确定的风压值。它应根据现行《荷载规范》中“全国基本风压分布图”采用，但不得小于0.3kN/㎡。

对一般的高层建筑，按《荷载规范》中所给的采用；对于特别重要或对风荷载比较敏感的高层建筑，应考虑100年重现期的风压值。当没有100年一遇的风压资料时，也可近似将50年一遇的基本风压值乘以1.1后采用。2．风载体型系数

风载体型系数是指实际风压与基本风压的比值。它描述的是建筑物表面在稳定风压作用下静态压力的分布规律，主要与建筑物的体型与尺度有关，也与周围环境和地面粗糙度有关。当风流经建筑物时，对建筑物不同部位会产生不同的效果，即产生压力和吸力。

3．风压高度变化系数

风压高度变化系数，应根据地面粗糙度类别按《荷载规范》确定。

4．风振系数

风对建筑结构的作用是不规则的，通常把风作用的平均值看成稳定风压（即平均风压），实际风压是在平均风压上下波动的。平均风压使建筑物产生一定的侧移，而波动风压使建筑物在平均侧移附近振动。对于高度较大、刚度较小的高层建筑，波动风压会产生不可忽略的动力效应，使振幅加大，在设计中必须考虑。目前采用加大风载的办法来考虑这个动力效应，在风压值上乘以风振系数。§2-2地震与抗震设防

地震是一种危害性极大的自然灾害。地震造成惨重的人员伤亡和巨大的财产损失，主要是由建筑物与工程设施破坏造成的。为确保建筑物与工程设施的抗震性能，有必要先了解地震的基本知识。

一、地震波、震级和烈度

（一）地震波

当震源岩层发生断裂、错动时，岩层所积蓄的变形能突然释放，它以波的形式从震源向四周传播，这种波就称为地震波。地震波按其在地壳传播的位置不同，可将其分为体波和面波。

（二）震级

地震的震级是衡量一次地震释放能量大小的等级，震级可用公式表达如下：（2-1）

式中即是上述标准地震记录仪在距震中100km处记录到的最大振幅。例如，在距震中100km处标准地震记录仪记录到的最大振幅=100mm=100000m，则，即这次地震为5级。

地震发生时不可能正好在100km处记录，而且所使用的仪器不尽相同，为此应根据震中距和使用的仪器对实测的震级进行适当的修正。震级与地震释放能量之间有如下关系：

（2-2）

根据式（2-2），可计算各级地震所释放的能量，震级差一级，能量就要差32倍之多。一个6级地震所释放的能量，相当于一个2万吨级的原子弹。

根据震级可将地震划分为：微震（2级以下，人一般感觉不到，只有仪器才能记录到），有感地震（2～4级），破坏性地震（5级以上），强烈地震（7级以上）。我国1976年7月28日发生的唐山地震，震级为7.8级，就是强烈地震。

（三）地震烈度

地震烈度是指地震时在一定地点振动的强烈程度。对于一次地震，表示地震大小的震级只有一个，但它对不同地点的影响程度是不一样的。

如何衡量地震烈度，采用由地震宏观现象，如人的感觉、器物的反应、地表和建筑物的影响和破坏程度，并结合人们有可能用记录到的地面运动参数，如地面运动加速度峰值，速度峰值，综合考虑来定义烈度。国家地震局和建设部于1992年联合发布了新的《中国地震烈度区划图（1990）》。该图给出了全国各地地震基本烈度的分布，可供国家经济建设和国土利用规划、一般工业与民用建筑的抗震设防及制定减轻和防御地震灾害对策之用。二、地震基本烈度与抗震设防

（一）基本烈度

一个地区的基本烈度是指该地区今后50年时期内，在一般场地条件下可能遭遇超越概率为10％的地震烈度。

（二）建筑抗震设防分类

根据建筑使用功能的重要性，现行《抗震规范》将建筑抗震设防类别分为甲类、乙类、丙类、丁类建筑。

（三）抗震设防标准

抗震设防是指对建筑物进行抗震设计，包括地震作用、抗震承载力计算和采取抗震措施，已达到抗震的效果。

抗震设防标准的依据是设防烈度。《抗震规范》附录A给出了我国主要城镇抗震设防烈度、设计基本地震加速度和设计地震分组。在一般情况下可采用基本烈度。

各类建筑抗震设计，应符合《抗震规范》的要求。（四）抗震设防目标

抗震设计总思路是：在建筑物使用寿命期间，对不同频度和强度的地震，建筑物应具有不同的抵抗力。即对一般较小的地震，由于其发生的可能性较大，因此要求防止结构破坏，这在技术上、经济上是可以做到的；强烈地震发生的可能性较小，而且如果遭遇到强烈地震，要求做到结构不损坏，在经济上不合理，因此允许结构破坏，但在任何情况下，不应导致建筑物倒塌。《抗震规范》结合我国目前的经济能力，提出了“三水准”的抗震设防目标：

第一水准：当遭受到多遇的低于本地区设防烈度的地震（简称“小震”）影响时，建筑一般应不受损坏或不需修理仍能继续使用。

第二水准：当遭受到本地区设防烈度影响时，建筑可能有一定的损坏，经一般修理或不修理仍能继续使用。

第三水准：当遭受到高于本地区设防烈度的罕遇地震（简称“大震”）时，建筑不致倒塌或发生危及生命的严重破坏。在进行建筑结构抗震设计时，原则上应满足三水准抗震设防目标的要求，在具体做法上，为简化计算，《抗震规范》采用二阶段设计法，即：

第一阶段设计：按小震作用效应和其他荷载效应的一定组合验算结构构件的承载能力以及构件的弹性变形，以满足第一水准抗震设防目标的要求。

第二阶段设计：在大震作用下验算结构薄弱层（部位）的弹塑性变形，以满足第三水准的抗震设防目标的要求。

《抗震规范》以一定的抗震构造措施保证结构满足第二水准抗震设防目标的要求。

上述“三水准，二阶段”的抗震设防目标可概括为“小震不坏，中震可修，大震不倒”。§2-4单质点弹性体系的地震反应一、地震作用

地震所释放出来的能量，以地震波的形式向四周扩散，地震波到达地面后引起地面运动，使地面上原来处于静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动。在振动过程中，作用在结构上的惯性力就是地震作用。因此，地震作用可以理解为一种能反映地震影响的等效作用。建筑物在地震作用和一般荷载共同作用下，如果结构的内力或变形超过容许数值时，那么建筑物就遭到破坏，乃至倒塌。因此，在结构抗震计算中，确定地震作用是个十分重要的问题。

地震作用与一般静载荷不同，它不仅取决于地震烈度大小，而且与建筑物的动力特性（结构的自振周期、阻尼）有密切关系，而一般静荷载与结构的动力特性无关，可以独立地确定。例如，屋面的雪载只与当地的气候条件有关；楼面的使用荷载只取决于房间的用途等等。因此，确定地震作用比确定一般静荷载要复杂得多。

目前，我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录，通过计算分析所绘制的加速度（在计算中通常采用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。如果已知体系的自振周期，那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且，在一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。

反应谱理论已经成为当前抗震设计中的主要理论，因为它方法简单，便于掌握，所以为各国工程界所广泛采用。

二、运动方程的建立

为了研究单质点弹性体系的地震反应，我们首先建立体系在地震作用下的运动方程。图2-1表示单质点弹性体系的计算简图。

由结构动力学方法可得到单质点弹性体系运动方程：

（2-3）

其中（t）表示地面水平位移，是时间t的函数，它的变化规律可自地震时地面运动实测记录求得；（t）表示质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应，它也是时间t的函数，是待求的未知量。

若将式（2-3）与动力学中单质点弹性体系在动荷载作用下的运动方程

（2-4）进行比较，不难发现两个运动方程基本相同，其区别仅在于式（2-3）等号右边为地震时地面运动加速度与质量的乘积；而式（2-4）等号右边为作用在质点上的动荷载。由此可见，地面运动对质点的影响相当于在质点上加一个动荷载，其值等于，指向与地面运动加速度方向相反。因此，计算结构的地震反应时，必须知道地面运动加速度的变化规律，而可由地震时地面加速度记录得到。

为了使方程进一步简化，设

（2-5）

（2-6）

将上式代入式（2-3），经简化后得：

（2-7）

式（2-7）就是所要建立的单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。三、运动方程的解答

式（2-7）是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解包含两个部分：一个是对应于齐次微分方程的通解；另一个是微分方程的特解。前者代表自由振动，后者代表强迫运动。

（一）齐次微分方程的通解

为求方程（2-7）的全部解答，先讨论齐次方程

（2-8）的通解。由微分方程理论可知，其通解为：（2-9）

式中；和为常数，其值可由问题的初始条件确定。当阻尼力为0时，式（2-9）变为：（2-10）

式（2-10）为无阻尼单质点体系自由振动的通解，表示质点做简谐振动，这里为无阻尼自振频率。对比式（2-9）和式（2-10）可知，有阻尼单质点体系的自由振动为按指数函数衰减的简谐振动，其振动频率为，故称为有阻尼的自振频率。

根据初始条件来确定常数和。当t=0时，，

其中和分别为初始位移和初始速度。将t=0和代入式（2-9）得：

为确定常数，对时间t求一阶导数，并将t=0，代入，得：

将、值代入式（2-9）得：

（2-11）

上式就是式（2-8）在给定的初始条件时的解答。

由和可以看出，有阻尼自振频率随阻尼系数增大而减小，即阻尼愈大，自振频率愈慢。当阻尼系数达到某一数值时，即（2-12）时，则，表示结构不再产生振动。这时的阻尼系数称为临界阻尼系数。它是由结构的质量和刚度决定的，不同的结构有不同的阻尼系数。而（2-13）

上式表示结构的阻尼系数与临界阻尼系数的比值，所以称为临界阻尼比，简称阻尼比。在建筑抗震设计中，常采用阻尼比表示结构的阻尼参数。由于阻尼比的值很小，它的变化范围在0.01～0.1之间，因此，有阻尼自振频率和无阻尼自振频率很接近，即。也就是说，计算体系的自振频率时，通常可不考虑阻尼的影响。

阻尼比值可通过对结构的振动试验确定。

（二）地震作用下运动方程的特解

进一步考察运动方程（2-7）

可以看到，方程与单位质量的弹性体系在单位质量扰力作用下的运动方程基本相同，区别仅在于方程等号右端为地震地面加速度，所以，在求方程的解答时，可将看作是随时间而变化的单位质量的“扰力”。

为了便于求方程（2-7）的特解，我们将“扰力”看作是无穷多个连续作用的微分脉冲，如图2-2所示。现在讨论任一微分脉冲的作用。设它在开始作用，作用时间为，此时微分脉冲的大小为。显然，体系在微分脉冲作用后仅产生自由振动。这时，体系的位移可按式（2-3）确定。但式中的和应为微分脉冲作用后瞬时的位移和速度值。根据动量定理：（2-14）

将=0和的值代入式（2-3），即可求得时间作用的微分脉冲所产生的位移反应（2-15）

将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加，就可得到全部加载过程所引起的总反应。因此，将式（2-15）积分，可得时间为t的位移

（2-16）

上式就是非齐次线性微分方程（2-7）的特解，通称杜哈梅（Duhamel）积分。它与齐次微分方程（2-8）的通解之和就是微分方程（2-7）的全解。但是，由于结构阻尼的作用，自由振动很快就会衰减，公式（2-9）的影响通常可以忽略不计。

分析运动方程及其解答可以看到：地面运动加速度直接影响体系地震反应的大小；而不同频率（或周期）的单自由度体系，在相同的地面运动下会有不同的地震反应；阻尼比对体系的地震反应有直接的影响，阻尼比愈大则弹性反应愈小。§2-5单质点弹性体系水平地震作用一、水平地震作用基本公式

由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量乘以它的绝对加速度，方向与加速度的方向相反，即（2-17）

式中为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前。

如果将式（2-3）代入式（2-17），并考虑到远小于而略去不计，则得：（2-18）

由上式可以看到，相对位移与惯性力成正比，因此，可以认为在某瞬时地震作用使结构产生相对位移是该瞬时的惯性力引起的。也就是为什么可以将惯性力理解为一种能反应地震影响的等效载荷的原因。

将式（2-16）代入式（2-18），并注意到和的微小差别，令=，则得：（2-19）

由上式可见，水平地震作用是时间t的函数，它的大小和方向随时间t而变化。在结构抗震设计中，并不需要求出每一时刻的地震作用数值，而只需求出水平作用的最大绝对值。设表示水平地震作用的最大绝对值，由式（2-19）得：（2-20）或（2-21）

这里（2-22）

令

代入式（2-21），并以代替，则得：（2-23）

式中－水平地震作用标准值；－质点加速度最大值；－地震动峰值加速度；－地震系数；－动力系数；－建筑的重力荷载代表值（标准值）。

式（2-23）就是计算水平地震作用的基本公式。由此可见，求作用在质点上的水平地震作用，关键在于求出地震系数和动力系数。二、地震系数

地震系数是地震动峰值加速度与重力加速度之比，即

（2-24）

也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。

三、动力系数动力系数是单质点弹性体系在地震作用下反应加速度与地面最大加速度之比，即（2-25）

也就是质点最大反应加速度对地面最大加速度放大的倍数。四、地震影响系数

为了简化计算，将上述地震系数和动力系数的乘积用来表示，并称为地震影响系数。

（2-26）

这样，式（2-23）可以写成（2-27）

因为（2-28）

所以，地震影响系数就是单质点弹性体系在地震时最大反应加速度（以重力加速度g为单位）。另一方面，若将式（2-27）写成，则可以看出，地震影响系数乃是作用在质点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比。

《抗震规范》就是以地震影响系数作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定。

这时水平地震影响系数曲线按图2-3确定，形状参数和阻尼调整系数应按教材规定调整。第三讲荷载与作用（二）§2-6多质点弹性体系的地震反应前面讨论了单质点弹性体系的地震反应。在实际工程中，除有些结构可以简化成单质点体系外，很多工程结构，像多层或高层工业与民用建筑等，则应简化成多质点体系来计算，这样才能得出比较切合实际的结果。

对于图2-4a所示的多层框架结构，应按集中质量法将和之间的结构重力荷载、楼面和屋面可变荷载集中于楼面和屋面标高处。设它们的质量为，并假设这些质点由无重量的弹性直杆支承于地面上（图2-4b）。这样，就可以将多层框架结构简化成多质点弹性体系，一般来说，对于具有n层的框架，可简化成n个多质点弹性体系。一、多质点弹性体系的自由振动

为了掌握多质点弹性体系地震作用的计算，需要熟悉多质点弹性体系自由振动的一些基本内容。为了叙述方便起见，我们首先讨论两个质点弹性体系的自由振动，然后再推广到n个质点的情形。

㈠两个质点体系的位移方程及其解答

图2-5表示两个质点体系作自由振动，分别为两个质点的集中质量。设在振动过程中某瞬时的位移分别为，则作用在和上的惯性力分别为。设不考虑阻尼的影响，根据叠加原理，可写出质点和的位移表达式：

式中表示在点作用一个单位力而在点所引起的位移，它的大小反映结构的柔软程度，故称它为柔度系数。在式(2-29)中，因为自变量和它们的二阶导数在两个方程中都出现，所以，它是一个微分方程组。现将式(2-29)写成标准形式：

这就表示两个质点体系运动的微分方程组。它的每一项均表示位移，所以称它为自由振动位移方程。

现求方程(2-30)的解。由于是质点位置和时间t的函数，故可将它们表示为：

式中-分别为与质点1和2位置有关的函数，-时间t的函数。

对式（2-31）对时间求两次导，得：

将式(2-31)、(2-32)代入式(2-30)得：

把上式改写成如下形式：

由上式不难看出，等号左右项分别是时间t和质点位置的函数，故只有等号两边都等于某一常数时上式才能成立。我们用表示这一常数，于是得：

将式(2-35)代入式(2-33)，可得：

这是关于两个未知数的齐次代数方程组。显然，是一组解答。由式(2-31)可知，这一组零解表示体系处于静止状态，而不发生振动，这不是我们需要的解。现在要求的应该是不同时为零时方程(2-36)的可用解，也就是说，要使方程（2－36）成立，应是如下行列式为零，即

将上面行列式展开，得：

在式(2-37)中，质量、和柔度系数均为常数，只有是未知数，故上式是一个关于的二次代数方程，它的解为：

将上式平开方可得的两个正实根。其中较小的一个以表示；另一个以表示，将它们分别代入式(2-35)，得：

由单质点无阻尼自由振动可知，上两式的解分别为：

将式(2-41a)代入式(2-31)，可得质点和对应于的振动方程的特解：

将式(2-41b)代入式(2-31)，可得质点和对应于的振动方程的特解：

由式(2-42)和(2-43)可知，质点和均作简谐运动，而为其振动频率。因此，将确定的方程(2-37)称为频率方程。由上可知，两个质点的体系，共有两个频率，其中较小者称为第一频率或基本频率，较大者称为第二频率。由频率方程(2-37)知道，和的大小仅取决于体系的刚度和质量的分布情况，而与引起自由振动的初始条件无关。频率和是体系所固有的，故又叫做固有频率或自振频率。

现在我们分别讨论当固有频率时，对应的特解的一些性质，最后引入主振型的概念：如前所述，对应于的特解为：

将代入式(2-36)，得：

当体系振动时，上式的系数行列式应等于零。

根据齐次线性方程组性质可知，齐次方程组(2-45)中的两个方程并不是彼此独立的，其中一个方程可以从另一个方程用线性组合的方法得到。所以，两个方程实际上只起到一个方程的作用。即未知数的数目比方程的数目多一个。这时方程式只能有不定解，即只能假定其中的一个未知数等于某一定值时，才能从方程(2-45)中任一个方程求出另一个未知数。也就是说，只能从方程(2-45)中求出和的比值来：

显然，这一比值与时间t无关。于是，由式(2-44)可见，体系在振动过程中的任何时刻各质点的位移的比值始终保持不变，且等于

同样可以得到体系按振动过程中，任何瞬时各质点的位移比值也始终保持不变，且等于

综上所述，对应于频率和，微分方程组(2-43)的特解乃是对应于这样两种振动：前者各质点按的比值作简谐振动，而后者各质点按的比值作简谐振动。因此，它们在振动过程中，各自振动形式保持不变，而只改变其大小。我们将相应于的振动形式叫做第一主振型（简称第一振型或基本振型），将相应于的振动形式叫做第二主振型（简称第二振型）。在实际计算中，绘振型曲线时，常令某一质点的位移等于1，另一质点的位移可根据相应的比值确定。图2-6(a)和图2-6(b)分别为两个质点体系的第一振型和第二振型的示意图。对于两个质点的振动体系而言，一般可求出两个互相独立的特解，故对应地就有两个主振型，它们也是体系所固有的一种特性。就每一个振型而言，只有在特定的初始条件下，振动才会呈现这种形式。当质点的初始位移或初始速度的比值与某一主振型的值相同时，体系才会按该主振型振动。

在一般初始条件下，体系的振动曲线，将包含全部振型。由微分方程理论知道，通解等于各特解的线性组合，即：

由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。显然，如果初始条件接近某一振型时，则这个振型在组合中所占的分量就大。当初始条件完全符合某一振型时，则其他振型分量就不会产生。但是这是很难实现的。㈡多质点弹性体系自由振动的位移方程及其解答

与两个质点体系的情形类似，对于n个质点的体系，线性微分方程组的通解可写成：

由式(2-48)可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。需要指出的是，试验结果表明，振型愈高，阻尼作用所造成的衰减愈快，所以通常高振型只在振动初始才比较明显，以后逐渐衰减。因此，在建筑抗震设计中，仅考虑较低的几个振型的影响。㈢主振型的正交性

对于多质点弹性体系，它的不同的两个主振型之间存在着一个重要特性，即主振型的正交性。在体系振动计算中经常要利用这个特性。

为了便于证明主振型的正交性，而又不失一般性，仍采用两个质点体系来分析。

由式(2-46)可得：

分别以乘以式(2-49a)的第一和第二式，然后再相加；再分别以乘以式(2-49b)的第一和第二式，然后再相加。显然，这样所得到的两个等式的右边完全相等。所以，等式左边也相等，即：

上式就是两个质点体系主振型的正交性，对于n个质点的体系，主振型正交条件可写成：

式中分别为第k振型和第j振型i质点的相对位移（图2-7b、c）。

由式(2-52)可见，所谓主振型的正交性，是指这样一种性质：即两个不同的主振型的对应位置上的质点位移相乘，再乘以该质点的质量，然后将各质点所求出的上述乘积做代数和，其值等于零。二、多质点弹性体系地震反应㈠振动微分方程的建立

由动力学原理，可以给出多质点弹性体系（图2-8）在地震作用下的运动微分方程组

㈡运动微分方程组的解

为了便于解运动微分方程组，假定阻尼系数与质点质量和刚度系数，有下列关系

其中为两个比例常数，其值可由试验确定。这时，作用在体系上的阻尼力可写成

因而，运动微分方程组(2-53)变成

这样，经过变换，便将原来的运动微分方程组(2-53)分解成n个以广义坐标为变量的独立微分方程了。它与单质点体系在地震作用下的运动微分方程(2-7)基本相同，所不同的只是方程(2-7)中的变成；变成；同时等号右边多了一个系数。所以，式(2-64)的解可按照式(2-7)积分求得：比较(2-67)和式(2-16)可见，相当于阻尼比、自振频率的单质点体系在地震作用下的位移（图2-9）。这个单质点体系成为与振型ｊ相应的振子。求得各振型的广义坐标后，就可按式(2-57)求出原体系的位移反应：

上式表明，多质点弹性体系质点的地震反应等于各振型参与系数与该振型相应振子的地震位移反应的乘积，再乘以质点的相对位移，然后再把它总和起来。这种振型分解法不仅对计算多质点弹性体系的地震位移反应十分简便，而且也为反应谱理论计算多质点体系的地震作用提供了方便的条件。§2-7多质点体系的水平地震作用多自由度弹性体系的水平地震作用及其地震内力可采用振型分解反应谱法求得，当结构高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构以及近似于单质点体系的结构，亦可采用比较简单的底部剪力法。现仅讲述将振型分解反应谱法。

一、振型分解反应谱法

多质点弹性体系在地震作用下质点上的惯性力就是地震作用。故质点上的地震作用为:

求出第ｊ振型第ｉ质点的水平地震作用后，就可按一般力学方法计算结构的地震作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形）。我们知道，根据振型分解反应谱法确定的相应于各振型的地震作用均为最大值。所以，按所求得的地震作用效应也是最大值。但是，相应于各振型的最大地震效应不会同时发生，这样就出现了如何将进行组合，以确定合理的地震作用效应问题。《抗震规范》根据随机振动理论分析的结果，得出了结构地震作用效应“平方和开平方”的近似计算公式：

式中水平地震效应；第ｊ振型水平地震作用产生的作用效应（包括内力及变形）。

一般各个振型在地震总反应中的贡献随着频率的增加而迅速减少，故频率最低的几个振型往往控制着最大反应。在实际计算中一般采用2～3个振型即可。考虑到周期较长的结构及其各个自振频率较接近，故《抗震规范》建议当基本周期大于1.5秒或房屋高宽比大于5时，可适当增加参与组合的振型数目。

以上就是振型分解反应谱法的原理与解题思路。第五讲结构计算分析主要内容：基本假定及平面结构的空间协同计算方法

内容分解：

1）结构计算的一般原则；

2）计算基本假定；

3）空间协同计算方法；钢筋混凝土高层建筑结构是一个很复杂的空间体系。它由垂直方向的抗侧力构件（框架、剪力墙、筒体）和水平方向刚度很大的楼板相互连结组成。由于实际荷载和地震作用的随机性、复杂性和动力特性，以及钢筋混凝土材料的弹塑性，其受力情况是非常复杂的，这就造成要对高层建筑结构作精确计算是十分困难的。因此，在设计计算时，必须作出一些简化假定，从而对计算模型和受力分析进行不同程度的简化，以便简化计算。在本讲中，只讨论一些结构计算中的基本简化原则。至于各种具体的结构计算方法，还有一些各自的假定，将在后面各讲进行讨论。一、结构计算的一般原则

1．结构分析的弹性静力假定在竖向荷载和风荷载作用下，正常使用状态时结构处于弹性阶段；当多遇地震作用下，抗震设计也要求结构与构件处于弹性工作状态。因此，高层建筑结构的内力和位移一般按弹性方法计算。一般情况下不考虑结构进入弹塑性状态所引起的内力重分布。

实际上，钢筋混凝土结构是具有明显弹塑性性质的结构，即使在较低应力情况下也有明显的弹塑性性质。当荷载增大，构件出现裂缝或钢筋屈服，塑性性质更为明显。但在目前，国内设计规范，仍沿用弹性方法计算结构内力，按弹塑性极限状态进行截面设计。因此，在实际工程抗震设计中，仍按弹性结构进行内力计算，只在某些特殊情况下，考虑设计和施工的方便，才对某些钢筋混凝土结构有条件地考虑由弹塑性性质引起的局部塑性内力重分布。例如，高层建筑中的某些局部构件，若按弹性计算所得的内力较大，出现截面设计困难且配筋不合理，可考虑这些构件的塑性变形内力重分布，对内力作适当调幅。如竖向荷载作用下的框架梁端支座负弯矩可乘以调幅系数0.7~0.9；剪力墙和框架—剪力墙结构中的连梁，当弯矩较大时，一般允许调幅20％；连梁的刚度可视具体情况予以折减，折减系数不应小于0.55。当然，“大震不倒”也是抗震设计的基本要求，特别是建筑物的体型和抗侧力系统复杂时，将在结构的薄弱部位发生应力集中和弹塑性变形集中，严重时会导致重大的破坏甚至有倒塌的危险。因此，《抗震规范》规定：不规则且具有明显薄弱部位的建筑结构，应进行罕遇地震作用下的弹塑性变形分析（静力弹塑性分析或弹塑性时程分析方法）。实际上，建筑物主要是通过抗震构造措施保证结构构件的变形能力，来提高结构的安全性，防止建筑物倒塌。结构承受的荷载和作用中，竖向荷载的方向垂直向下，而实际风荷载及地震作用方向是随意的、不定的。但是在结构计算中，常常假设水平力作用在结构的主轴方向。对互相正交的两个主轴x方向及y方向，分别进行内力分析。在矩形平面中，主轴分别平行于两个边长方向（图1）。在其他形状的平面中，可根据平面几何形状和尺寸确定主轴方向。

二、计算基本假定

任何高层建筑结构都是三维空间结构。当采用框架、剪力墙、框架一剪力墙结构体系时，大多可以将空间结构简化为平面结构，使计算大大简化。这里作了两个假定：

1．平面结构假定

如图2所示，计算高层建筑结构的内力和位移时，通常假定一片框架或一片墙可以抵抗在本身平面内的侧向力，而在平面外的刚度很小，可以忽略。因此整个结构可以划分成若干平面结构，共同抵抗与平面平行的侧向荷载，垂直于该平面方向的结构不参与受力。

若抗侧力结构与建筑结构平面主轴斜交，为简化起见，可将抗侧力构件的抗侧刚度转换到两个主轴方向上再进行计算。

对于复杂的结构，又可进一步适当简化：当斜交构件之间的角度不超过150时，可视为一个轴线；当两个轴线相距不大（如小于300～500mm），考虑到楼板的共同工作，可视为在同一轴线。2．楼面刚度无限大假定计算高层建筑结构的内力和位移时，一般情况下可以假定楼盖在自身平面内刚度无限大，楼板平面外的刚度很小，可以忽略。这样，楼盖将各抗侧力结构联成整体而协同工作，如框架—剪力墙体系中的框架和剪力墙，就是通过楼面连接起来而协同工作的；筒中筒、框架—筒体的协同工作也是根据楼面在自身平面内不变形而获得简化计算。

这一假定的依据是，高层建筑的楼面绝大多数为现浇钢筋混凝土楼板和有现浇面层的预制装配式楼板，进行高层建筑内力与位移计算时，可视其为水平放置的深梁，具有很大的面内刚度，因此近似认为楼板在其自身平面内为无限刚性，按平面内不变形的刚性隔板考虑。计算分析和工程实践证明，刚性楼板假定对于绝大多数高层建筑的分析具有足够的工程精度。采用这一假定后，高层建筑在水平荷载作用下产生侧移时，楼板只有刚性移动—平移和转动，而不必考虑楼板的变形（图3）。即各个抗侧力结构在每一楼盖处只有水平位移u、v和扭转角θ三个自由度。当不考虑结构发生扭转时，θ=0，由于各抗侧力结构通过刚性楼盖联系在一起，所以它们在每层楼板处的水平位移都相等；当只有一个方向有水平荷载作用且无扭转时，结构在一层楼盖就只有一个方向的水平位移(u或v)，即只有一个自由度（图3）。不难看出，采用刚性楼板的假定，可大大减少结构分析的自由度数目，而且可能减小由于庞大自由度系统而带来的计算误差，使计算过程和计算结果的分析大为简化。计算分析和工程实践证明，刚性楼板假定对绝大多数高层建筑的分析具有足够的工程精度。结构计算中如采用刚性楼盖假定，相应地在设计中就必须采取构造措施，保证楼盖的整体刚度，使其假定成立。比如，宜采用现浇钢筋混凝土楼板和有现浇面层的装配整体式楼板；局部削弱的楼面，可采取楼板局部加厚、设置边梁、加大楼板配筋等措施。

当楼面有大的开洞或缺口、刚度受到削弱，楼板平面有较长的外伸段，底层为大空间剪力墙过渡层的楼面等情况时，楼盖在自身平面内变形会使刚度较小的抗侧力结构分配的水平力增大。此时刚性楼盖的假定不适用，计算中应考虑楼板面内变形对内力与位移的影响。此时，若计算中仍采用楼盖面内无限刚性假定，应对所得的计算结果进行适当调整。具体的调整方法和调整幅度与结构体系、构件平面布置、楼板削弱情况等密切相关。一般可对楼板削弱部位的抗侧刚度相对较小的结构构件，适当增大计算内力，加强配筋和构造措施。高层建筑结构分析时，为了简化计算，采用上述两个基本假定。根据以上基本假定，可将图2中的框架—剪力墙结构，在y方向（通常称为横向）简化为4片框架、2片双肢墙，即该结构具有6个平面抗侧力单元，它们共同抵抗y方向的水平力Py（图2（b））。这6片抗侧力结构之间由无限刚性的楼板联系。当结构无扭转时，各片结构在每层楼板处的侧移都相等；当结构有扭转时，楼板只作刚体转动，因而各片结构的侧移值呈直线关系（图4）。同理，在x方向（通常称为纵向）有四片框架（每片有5跨），共同抵抗水平力Px（图2（c））。

应注意到，虽然采用的是一个较为简单的计算模型，但其结构的主要受力特性仍保持着空间体系的受力特征和属性；同时为了弥补基本假定中的不足，往往还要配合一些相应的效应调整，使弹性静力计算结果能较好地符合弹塑性受力特性。三、平面结构的空间协同计算方法

1．基本原理

高层建筑空间协同工作的分析方法适用于一般框架、框架－剪力墙和剪力墙结构。这种分析方法于1975年提出，适应当时国内计算机容量小、速度低的情况，成为70年代和80年代初国内高层建筑结构分析最常用的方法，这类程序已装备了各级设计单位。

本方法的主要思路是：为解决高层建筑结构层数多、杆件多、计算量大和计算机容量小、速度低的矛盾，将计算分两步进行：

1）按位移协调条件，将水平力（风力或地震作用）分配到各片壁式框架（包括框架、剪力墙），得到每片壁式框架的各层作用的水平力；

2）逐片壁式框架进行单片平面框架分析，计算杆件内力。

这样，只要满足能进行单片平面框架分析的计算能力要求，就可以进行由许多片这样的框架组成的高层建筑结构计算。因此，本方法引入两个基本假定：

1）高层建筑结构可以分成若干片平面框架和平面剪力墙，它们都作为壁式框架处理。

2）楼板在自身平面内的刚度为无限大，楼面上任一片框架或剪力墙的位移都可以由坐

标原点的三个位移来表示。

这样，在每层楼面上都可以建立三组方程：1）几何方程

用坐标原点O的三个位移u、v、θ来表示任一片框架、剪力墙的水平位移：

2）位移法方程

对各片壁式框架（框架、剪力墙）逐片进行位移法分析，可以建立各片抗侧力结构水平位移和水平力的关系：

3）楼层内外力的平衡关系（力平衡方程）

所有x向抗侧力结构楼层剪力之和应与x向外荷载产生的剪力相平衡；y向剪力之和应与y向外荷载产生的剪力相平衡；所有抗侧力结构剪力对原点之力矩应与外力对原点之力矩相平衡，从而得到方程：

将以上三个方程联立，即可得到高层建筑结构协同工作分析的基本方程。

协同工作分析的基本方程是位移法方程，基本未知量为各楼层的位移u、v、θ，共3N个（N为层数），已知项为楼层外力Px、Py、Mt，也是3N个，方程数也是3N个，因此方程可解。由此可见，在协同工作分析中，不管有多少柱和墙，第一阶段进行水平力分配时，基本未知量仅为层数的3倍，所以可以用小计算机分析层数很多的结构。

求出楼层位移后，运用几何方程，可以求得各片抗侧力结构的侧移，再由位移法方程，得各片抗侧力结构的水平力，完成水平力在各片墙和框架之间分配的第一步计算。考虑控件协同工作进行水平力分配，考虑了各片墙和框架的刚度、变形特点，考虑了它们在空间的位移协调一致（包括平移和扭转）和内外力平衡条件，较好地反映了高层建筑结构的实际工作状况。

所以，人为地、主观地按轴线间距、荷载面积进行水平力分配，然后用简单的平面框架程序计算，是不能胜任高层建筑结构分析的。

由空间协同工作条件确定各片抗侧力结构承担的水平力后，可按平面结构分析计算杆件的内力。2．计算方法

根据上述基本假定，将高层建筑结构简化为平面体系后，内力分析时要解决两个问题：

1）整体结构上的水平荷载应按位移协调原则，分配到各片抗侧力结构上。

当结构只有平移而无扭转发生时，根据刚性楼板的假定，在同一标高处的所有抗侧力结构的水平位移都相等。因此，对于剪力墙结构的水平荷载，可按各片剪力墙等效抗弯刚度的比例进行分配；纯框架结构中各柱的水平力，按各柱的抗侧刚度D的比例分配；框—剪结构因框架与剪力墙的变形性状不同，不能简单地只按各自的抗侧刚