随机变量的分布函数一分布函数的概念市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

3.1随机变量分布函数

一、分布函数概念

定义:

设X是随机变量，对任意实数x，事件{X<x}概率P{X<x}称为随机变量X分布函数。记为F(x)，即

F(x)＝P{X<x}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a

X<b}＝P{X<b}－P{X<a}＝F(b)－F(a).第1页二、分布函数性质

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)

F(x2);

2、归一性：对任意实数x，0

F(x)

1，且

3、左连续性：对任意实数x，第2页普通地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例1：设随机变量X具分布律如右表解：

X012P0.10.60.3试求出X分布函数。四、离散型随机变量分布函数第3页例1：向[a,b]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[a,b]区间内任一子区间内概率与区间长成正比，求X分布函数解：第4页3.2

连续型随机变量

1.定义:对于随机变量X，若存在非负函数p(x)，(-

<x<+

)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，p(x)为X概率密度函数，简称概率密度或密度函数.

常记为

X～p(x),(-

<x<+

)一、概率密度第5页2.

密度函数性质

(1)

非负性:p(x)0，(-<x<)；

(2)归一性:性质(1)、(2)是密度函数充要性质；

例1：设随机变量X概率密度为求常数a.答:第6页（3）第7页(4)若x是p(x)连续点，则例2：设随机变量X分布函数为求p(x)第8页（5）对任意实数b，若X～p(x)，(-<x<)，则P{X=b}＝0。于是第9页

例3.已知随机变量X概率密度为1)求X分布函数F(x),2)求P{X

(0.5,1.5)}第10页二、几个惯用连续型分布1.

均匀分布

若X～p(x)＝

则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有第11页例4.长途汽车起点站于每时10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时任意时刻随机地抵达车站，求乘客候车时间超出10分钟概率第12页

例5：设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根概率。第13页2.指数分布

若X～则称X服从参数为

>0指数分布。其分布函数为第14页

例6.电子元件寿命X(年）服从参数为3指数分布.(1)求该电子元件寿命超出2年概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年概率为多少？解:第15页

例7:某公路桥天天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥汽车数Xt服从参数为

t普哇松分布，求T概率密度。第16页其中为实数，

>0，则称X服从参数为

,正态分布,记为N(,2)，可表为

X～N(,2).（1）若随机变量3.正态分布第17页

1)单峰对称

密度曲线关于直线x=

对称； p()＝maxp(x)＝.（1）正态分布有两个特征：第18页2)大小直接影响概率分布

越大，曲线越平坦，

越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布第19页4.标准正态分布

(1)参数＝0，＝1正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。第20页分布函数表示为其密度函数表示为第21页(2)普通概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)值。(P504附表3)如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066(3)(x)＝1－(－x)；第22页（4）若X～，则～N（0，1）。

推论：若X～，则

第23页

例1.设随机变量X~N(-1,22),求P{-2.45<X<2.45}=?

例2.设X

N(

,

2),求P{

-3

<X<

+3

}本题结果称为3

标准.在工程应用中，通常认为P{|X-

|≤3}≈1，忽略{|X-

|>3}值.

第24页

例3.

一个电子元件使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏是否是相互独立.求：使用最初90小时内无一元件损坏概率.第25页

1、定义：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)

R2,则称

F(x,y)=P{X<x,Y<y}为(X,Y)分布函数，或X与Y联合分布函数。

一、联合分布函数几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中概率。如图阴影部分：3.3二维随机变量及其分布第26页对于(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2),则

P{x1

X<

x2，y1

y<y2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)第27页2、分布函数F(x,y)含有以下性质：且(1)归一性

对任意(x,y)

R2,0

F(x,y)

1,第28页

(2)单调不减

对任意y

R,当x1<x2时，F(x1,y)

F(x2,y)；

对任意x

R,当y1<y2时，F(x,y1)

F(x,y2)。

(3)左连续

对任意x

R,y0

R,

第29页(4)矩形不等式对于任意(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.

反之，任一满足上述四个性质二元函数F(x,y)都能够作为某个二维随机变量(X,Y)分布函数。第30页例1.已知二维随机变量(X,Y)分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P{0

X<2,0

Y<3}第31页

FY(y)＝F(+

,y)＝＝P{Y<y}称为二维随机变量(X,Y)关于Y边际分布函数.

FX(x)＝F(x,+

)＝＝P{X<x}称为二维随机变量(X,Y)关于X边际分布函数；

3、边际分布函数

第32页求FX(x)与FY(y)。例2.已知(X,Y)分布函数为第33页1、定义

对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数P(x,y)，使对

(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，P(x,y)为(X,Y)密度函数(概率密度)，或X与Y联合密度函数，可记为

(X,Y)～P(x,y)，(x,y)R2二、二维连续型随机变量及其密度函数第34页

(1)非负性：

P(x,y)

0,(x,y)

R2;

(2)归一性：

反之，含有以上两个性质二元函数P(x,y)，必是某个二维连续型随机变量密度函数。

另外,P(x,y)还有下述性质

(3)若P(x,y)在(x,y)

R2处连续，则有2、联合密度f(x,y)性质(p120)

第35页(4)对于任意平面区域G

R2,

例3：设求:P{X>Y}第36页求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x

0,y

0,2X+3y

6内概率。

例4.设第37页为(X,Y)关于Y边际密度函数。

设(X,Y)～P(x,y),(x,y)

R2,则称(p121)

为(X,Y)关于X边际密度函数；同理，称3、边际密度函数说明：第38页（1）求常数c;(2)求关于X边缘概率密度例3.设(X,Y)概率密度为第39页

(1)二维均匀分布

若二维随机变量(X,Y)密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。

易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有4.两个惯用二维连续型分布第40页其中，

1、2为实数，

1>0、

2>0、|

|<1，则称(X,Y)服从参数为

1,2,1,2,二维正态分布，可记为

(2)二维正态分布

若二维随机变量(X,Y)密度函数为第41页结论：N(

1,2,12,22,)边际密度函数PX(x)是N(

1,12)密度函数，而PY(Y)是N(

2,22)密度函数。故二维正态分布边际分布也是正态分布。第42页

定义1：称随机变量X与Y独立，假如对任意实数a<b,c<d，有p{a<X

b,c<Y

d}=p{a<X

b}p{c<Y

d} 即事件{a<X

b}与事件{c<Y

d}独立，则称随机变量X与Y独立。

定义2：称随机变量X与Y独立，假如

F(x,y)=FX(x)FY(y)其中F(x,y)是（X，Y）联合分布函数，FX(x)、FY(y)分别是X、Y分布函数。三、随机变量相互独立性第43页

定理(p127):设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立充分必要条件是，P(x,y)=PX(x)PY(y)定理（复习）:设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立充分必要条件是对任意i,j，Pij=Pi

P

j。第44页独立性例子

例：书中（P122）例3.7两个随机变量是否独立？

例：设(X,Y)～

N(

1,2,12,22,)，则X与Y独立充要条件为=0。

第45页§3.4随机变量函数分布

1、普通方法(p56)

若X～p(x),-<x<+,Y=g(X)为随机变量X函数，则可先求Y分布函数

FY(y)

＝P{Y<y}＝P{g(X)<y}＝

然后再求Y密度函数此法也叫“分布函数法”一、一维连续型随机变量函数密度函数第46页例1.设X

U(-1,1),求Y=X2分布函数与概率密度。当y≤0时当0<y≤1时；当y>1时第47页

例2:设X概率密度为pX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x严格单减函数，求Y=g(X)概率密度。

第48页

2、公式法：若X～pX(x),y=g(x)是单调可导函数，则

其中h(y)为y＝g(x)反函数.第49页例3.已知XN(

,

2),求

解：概率密度关于x严单,反函数为故第50页例4：设X～U(0,1),求Y=ax+b概率密度(a≠0)。第51页1、普通方法：分布函数法

若(X,Y)~p(x,y),(x,y)R2,Z=g(X,Y),则可先求Z分布函数:然后再求出Z密度函数:二、二维随机变量函数密度函数第52页

(1)和分布已知(X,Y)～p(x,y),(x,y)

R2,求Z＝X＋Y密度。

2、几个惯用形式函数密度函数对z求导，即得z密度函数第53页若(X,Y)～p(x,y),(x,y)

R2,则Z＝X＋Y密度为：若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y密度函数为第54页

例3.13(P133):设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。

解：第55页

普通地，设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(

i,i2),i=1,...,n,则第56页

例2：卡车装运水泥,设每袋水泥重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车额定载重量为kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载概率不超出0.05.第57页

已知(X,Y)～p(x,y),(x,y)

R2,求Z＝密度。

(2)商分布第58页尤其，当X，Y相互独立时，上式可化为其中pX(x),pY(y)分别为X和Y密度函数。第59页三、统计学上几个惯用分布

第60页1、-分布

若X密度函数为

则称X服从自由度为n-分布.

(2)可加性:若X～(n),Y～(m),X,Y独立，则X+Y～(n+m)。

第61页2、t—分布

若～N(0,1),～(n),与独立，则密度函数为(常称其为自由度为nt—分布，记为t(n))证实：第62页3、F—分布

若～(m)，～(n)，与独立，则

密度函数为称其为第一自由度为m，第二自由度为nF—分布

记为F(m,n)第63页一.数学期望定义数学期望——描述随机变量取值平均特征1.定义若X~p(x),-<x<,当

为X数学期望。则称§3.5随机变量数字特征、

契贝晓夫不等式第64页例1.若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X).解第65页2.几个主要r.v.期望（1）均匀分布U(a,b)第66页（2）指数分布第67页（3）正态分布N(

,

2)第68页

例2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y=aX+b数学期望(其中a>0)第69页3.随机变量函数期望

定理3.2若X~p(x),-<x<,则Y=g(X)期望定理3.3若(X,Y)~p(x,y),-<x<,-<y<,则Z=g(X,Y)期望第70页例3长途汽车起点站于每时10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时任意时刻随机地抵达车站，求乘客平均候车时间第71页例4：设X服从N(0,1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)解：第72页(1)E(c)=c,c为常数;(2)E(cX+dY)=cE(X)+dE(Y),c,d为常数;(3)若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).4.数学期望性质第73页例5：设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)数学期望。例6：设随机变量相互独立，且均服从分布，求随机变量数学期望答:答:第74页

1.定义

若E(X),E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2为r.v.X方差，记为D(X),或Var(X).称 为r.v.X标准差易见，若X~p(x)分布，则二.方差2.推论

D(X)=E(X2)-[E(X)]2.第75页例1：设随机变量X概率密度为1)求D(X),2)求第76页

若r.v.X期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名契贝晓夫(Chebyshev)不等式。它有以下等价形式：3.契贝晓夫不等式证实：第77页

(1)D(c)=0。反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);

(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);证实:4.方差性质第78页(1)均匀分布U(a,b)：(2)指数分布：(3)正态分布N(

,

2)5.几个主要r.v.方差解：第79页解:例3：已知某种股票每股价格X平均值为1元，标准差为0.1元，利用契贝晓夫不等式求a,使股价超出1+a元或低于1-a元概率小于10%。第80页1.协方差定义与性质

(1)协方差定义:若r.v.X期望E(X)和Y期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}.为X与Y协方差。易见COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).三.协方差与相关系数第81页1)COV(X,Y)=COV(Y,X);2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=03)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数；4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);5)D(XY)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y).(2)协方差性质第82页

例2:设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),

COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y

方差与协方差。解：第83页

(1)定义若r.v.X，Y方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0，则称为X与Y相关系数.

注：1)若记称为X标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相关系数2)当

XY

=0时，称X与Y不相关。第84页1)|

XY|1；2)|

XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；3)X与Y不相关

XY=0COV(X,Y)=0

证实：设(2)相关系数性质引理：若(X,Y)是一个二维随机变量,又

则有

因为对一切t,有,所以,从而二次方程或者没有实根,或者只有一个重根,由此知它判别式非正,即有第85页注：（1）只是随机变量间线性关系强弱一个

度量；（2）当，X与Y之间存在线性关系（以概率1）；当较大时，说明X与Y线性关系程度很好；当较小时，说明X与Y线性关系程度较差；当时，X与Y不相关。第86页以上例5结果说明了什么？解:1)2)例5：问题:“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？第87页可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立充分必要条件是X与Y不相关。

例6(p1853.36):设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2

1}上服从均匀分布，求证：