2021.06.03-71个模型 模型33-34：单线段 双线段 三线段的最值问题 模型分析 经典例题 巩固提升尽有！（附word）

模型33单线段的最值问题类型一：动点轨迹--直线型动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定=1\*GB3①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。=2\*GB3②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。类型二：动点轨迹--圆或圆弧型动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;=1\*GB3①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形=2\*GB3②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形类型三：动点轨迹--不确定型动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

【经典例题】例1．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山八中九年级期末）如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ，则线段OQ的最大值是（）A．1.5 B．3 C．3.5 D．4

例2．（2020·河南安阳市·九年级期中）如图，矩形和正方形中，，，正方形绕点旋转过程中，线段的最小值为______

例3．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期中）如图，点A在抛物线y＝﹣x2+6x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（2，2）（1）求线段AB的长（2）点P为线段AB上方抛物线上的任一点，过P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值（3）在（2）中，当PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到，过点作的垂线与直线AB交于点Q，点R为y轴上一动点，M为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D，Q，R，M为顶点的四边形为矩形？若存在请直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由

【巩固提升】1．（2020·浙江杭州市·树兰中学九年级月考）如图所示，是半圆的直径，，，是弧上的一个动点（含端点，不含端点），连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的取值范围是（）A． B．C． D．

2．（2020·台州市路桥实验中学九年级月考）如图，边长为2a的等边△ABC中，D为BC中点，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．a B． C． D．

3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，点为线段外一动点，，，分别以、为边作等边、等边，连接．则线段长的最大值为______．

4．（2020·常州二十四中学九年级月考）如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，CM的最小值为______．

5．（2018·云南昆明市·云大附中九年级期末）定义：长宽比为（为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示．操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．操作2：将沿过点的直线折叠，使点、点分别落在边、上，折痕为．则四边形为矩形．（1）证明：四边形为矩形；（2）点是边上一动点．①如图，是对角线的中点，若点在边上，，连接．求的值；②若，点在边上，当周长最小时，求的值．③连接，作，垂足为．若，则的最小值为．

6．（2020·盐城市初级中学九年级期中）[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．[类比应用]已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围；[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接写出答案）

模型34多线段的最值问题【模型分析】

【经典例题】例1．（2020·乐山市实验中学九年级期中）如图，等腰的底边，面积为120，点P在边BC上，且，是腰AC的垂直平分线，若点D在上运动，则周长的最小值为（）A． B． C． D．17

例2．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）如图，内有一定点P，且，在上有一动点Q，上有一动点R，若周长最小，则最小周长是___________．

例3．（2020·浙江金华市·九年级期末）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴于点B，在x轴上有动点，过点E作x轴的垂线交直线于点N，交抛物线于点P，过点P作于点M．（1）求a的值和直线的函数表达式；（2）设的周长为的周长为，若，求m的值；（3）如图2，当，将线段绕点O逆时针旋转得到，旋转角为，连接，求的最小值．

【巩固提升】1．（2020·广西贵港市·真题）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（）A． B． C． D．

2．（2021·广东肇庆市·八年级期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

3．（2020·广州白云广雅实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，且与轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），P为抛物线对称轴上的动点，则的最小值是_____

4．（2020·陕西渭南市·九年级期末）如图，是⊙的一条弦，点是⊙上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与⊙交于、两点，若⊙的半径为，则的最大值为_______

5．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线分别交x轴，y轴于点D，E，且直线于点C．（1）如图1，在y轴上有一长为的线段（点P在点Q上方），当线段在y轴正半轴移动时，求的最小值．（2）如图2，将沿直线方向平移至点E恰好位于x轴上时，记作，再将绕点逆时针旋转，旋转角度为，旋转中的三角形记作，在旋转过程中，边所在的直线分别交直线于点K，H，当为等腰三角形时，请求出点的坐标．

6．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，在边长为16的菱形中