二阶线性递推数列的通项公式的求法

二阶线性递推数列的通项公式的求法课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点， 由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现：1.(2015广东文1.(2015广东文19)设数列的前n项和为Sn， N且当n…2时，4Sn2•5Sn=8Sn1•SnJL•(1)求a4的值；( 11求证：and-an为等比数列；I 2J求数列CaJ的通项公式.已知a^1,a2a32.在数列｛an｝中，a1=1,a2=1,an*=an+an」(nH2)，求数列｛an｝的通项公式题中的第三问是难点,当n…2时，4S题中的第三问是难点,当n…2时，4Sn.2•5Sn二4Sn2-Sn1)=4SnV~'SnTSn—Sn即ar)421一亠-an1 —an,实际上就是已知an2-an1 -an,4 4通项公式。第2题更是典型的已知an1二an•an」(n一2),求数列a?的通项公式这两题的共同特点是：已知数列 a=a,a2二b,an.2二pan彳*qan(n・N,pq=0),求〈an?的通项公式，即二阶线性递推数列的通项公式的求法。 这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识， 很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：例13已知数列iaj,a1=5,a2=2,an=2az+3an/(n兰3),求数列的通项公式。(人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B组第6题)解法1:(归纳猜想)由已知可得：a-^=1,a2=2,a3=19,a4=44,a5=145,猜想an=丄[7n8 1-才一(n，1N)(用数学归纳法证明略)4解法2：(构造法)3将an=2an「3an二变形，务- =(2-■)务二，3可,=(2-’)[anj 务』2-扎3若 ——,即’=-1或者3,则^n 是一个等比数列，公比为2-'「=-1时，｛an1-an｝是一个首2-人项为7,公比为3的数列，an*an」=73n4①'=3时，｛an1-3如｝是一个首项为-13,公比为-1的等比数列n_1an1-3an二T3(-1)②

由①②两式消去an1得：昂=丄［73nJ13(-1)心］(nN*)4解法3：(待定系数转化法) an=2a“3an，设a.-■可」二J(anj--an^)，其中■厂i是待定的常数，则--2 22an=「」)an」.」±anN。得 -U3，比较系数显然■与是方程x2-2x-3=0的两根，即方程x^2x3的两根。:■■」=2 .■■-3 =-1'-3 ： '或’」=3，得：an-3务=(-an 3或a,) an+」an=3j(an以+anT与解法2相同可得an=丄［73nl13(-1)2］(nN*)4我们发现解法2与3本质相同，都是构造等比数列，再利用方程思想得到通项公式。这种解法可以推广到一般：揭示结论：•</\'/\:'■'设数列印=a,a^b,a.2二pa.1qa.(nN*),(pq=0)，求a.设：an设：an2-1an1="(an2-，a),，,丄是待定系数，整理得：an2=('-J)and-•■■■-an,比较系数得：'…i二p,■"--q，所以■,"是方程x-px-q=0的两根。.当..当.：_0时，设其实根为:-J，从而有;J.-'.或得an2-an1=一(an n)或an2_■an1二(an1_〉n)。所以，数列{an1-〉an},{an1-：an}分别是：和〉的等比数列故得：an1-a^=(a^--■aj匸 i③an‘an‘当：--1时，由③-④消去an1得an=(a2「a1)a一(a2」当：-P-a令C]_(a令C]_(a^ ,C2二 a1，贝yan2C21n」，常数G,C2由ai,a2确定P-CLa2…a~iP-a.aa数列}是公a-a2-aa1G221，a二时,由③得an十—aan=(a2-口a)an°，两边同除an*得=色_磐1。2:-n1二n 二2差为■^詳1,首项为色的等差数列。得:卑二卑(n-1)归尹，得令q=卑-归t旦,

:-■:-:-:-:-差为得an=(C1■nc2)〉n，常数C1,C2由共同决定。所以，遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程 K.2二pan1'qan的特征方程x^pxq，运用特征根方

程特点解题，是非常简单的。结论运用对于文中所涉及的第一小题(2015广东文19)的第三小问我们便可以运用此法解答 .题目中已经求出递推方程121an2=an1 a121an2=an1 an，所以其特征方程为 X=x ，解得方程只有两个相等的实根即:4 41(qc2)2-112(C12C2)(-)22an=(Gnc2=1 Ci 二0, c2 二2an第(2)小题的递推公式an+=an+an」(nA2)，其特征方程为2X=X1.解得X1二1-.51==2，所以设an*a1设an*a1=1'.a2=1，可得:c1亠c2=11• 5I丁C1x/5十1解得c,='5.1,2屈1- 5n-(丁)]1nl1-*5、n17(2) C2(2)由此可见遇到此类求通项公式的题 ，用特征根方程通过待定系数法解决此类问题是很