2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(九)

2022年全国卷I高考数学理科模拟试题卷

班级：姓名：座号：

评卷人得分

一、选择题(共12题，每题5分，共60分)

1.已知集合，除{川x>l},法{x|/+6>5x},则忙

A.⑶+8)B.(l,2)U⑶+8)c.(2,3)D.(1,2)

2.设i为虚数单位,则复数正里的虚部为

i

A.-2B.-iC.iD.-l

3.已知向量a,b的夹角为60。，且/a/=2/b/=2.在△/1比中,若荏=af,CA=a,则A的大小为

A.120°B.30°C.150°D.60°

(x-y+1<0,

4.若变量满足条件y<l,则(x-2)2+y的最小值为

X>-1.

A.华B.阳C.之D.5

5.“才2”是“函数/'(*)=¥+2&『2在区间(-8,-2］上单调递减”的

D.既不充分也不必

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

要条件

6.定义在R上的奇函数/tr)连续且可导，若〈尸1恒成立(其中/(必为/'5)的

导函数)，则

A.f'(0)<1B./(-1)+/,(-1X0

c.AiXAoXA-DD.A-iXAOXf(i)

7.正三棱柱的正视图的面积是8(如图所示)，则侧视图的面积为

A.4B.4、eC.8D.2V3

8.执行如图所示的程序框图，已知输出的［0,4］,若输入的tG［圾山，则实数mm的最大

值为

A.1B.2C.3D.4

9.设等差数列｛a｝的前n项和为S,且2的-团产4,则W=

A.15B.20C.25D.30

10.已知定义域为(0,Q)的单调函数/Xx),若对任意的(0,Q),都有Mx)+logp)=3,

则方程f(x)=2-『的解的个数是

A.0B.1C.2D.3

11.将函数/'(X)=V3sin2x-cos2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数0(x)的图象,

若鼠功=以£-乃，则实数t的最小值为

A.史B.?C.史D.三

24241215

12.勿,〃,/是三条不同的直线，£是两个不同的平面，则下列判断正确的是

A.若。_L£,a08=叫勿_1_〃，则nL£

B.若in//。，〃u。，则m//n

C.若m,/?,1两两相交,且交于同一点，则/〃,n,1共面

D.若R_L%刀_LB,m//〃，则。〃£

第U卷（非选择题）

请点击修改第n卷的文字说明

评卷人得分

二、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.已知/27=（cosx,1）,炉（sinx,0）,函数f（x）=m-m•n,则f（x）取得最小值时x的取值构成

的集合为.

14.已知向量肝（乂+1,1）,比（，+2,2）,若（〃切）〃（0-〃），则/=.

15.已知数列尻｝各项均为正整数，且满足心』言』为偶数’"GN*.若北+您=3,则为所有

lx-+Lx”为奇豹，

可能取值的集合为.

16.设aCR,直线ax-产2=0和圆『=8sg（〃为参数）相切则@的值为.

（v=1+2sin9------------

评卷人得分

三、解答题（共7题，共70分）

17.已知在中，角4氏C的对边分别为&6,c,衣也向量灰（1,-1）,炉（cos氏osC,sin

Z?sinC~—*»）,且mX.n.

（1）求角/的大小；

（2）当sin/cos（华生）取得最大值时，求角6的大小和△47C的面积.

18.如图，已知在三棱柱4吐484中，44=2四=24e2,/胡玲90°,/物4=120°.

⑴证明：48L平面留C;

（2）求四棱锥的体积.

19.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺问题，拟定出台“延迟退休年龄政

策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年

龄在15名5岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的

人数与年龄的统计结果如下：

年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]

支持“延迟退休”

155152817

的人数

(1)由以上统计数据填写2X2列联表,并判断是否有95绑J把握认为以45岁为分界点的不同

人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.

45岁以45岁及45岁

合计

下以上

支持

不支持

合计

(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人

参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.

⑴抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁及45岁以上的概率；

(ii)记抽到45岁及45岁以上的人数为％求随机变量¥的分布列及数学期望.

参考数据：

0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

20.己知椭圆。的离心率为W一个焦点和抛物线产="x的焦点重合.

⑴求椭圆a的方程；

(2)若在椭圆捻9l(a>6>0)上的点(的,㈤处的椭圆的切线方程是震*1.

①过直线上；4上的点M引椭圆Q的两条切线,切点分别是A,B,最证直线恒过定点C-

②是否存在实数才使得〃。+/比7=/〃。・/%/,若存在，求出力的值;若不存在,说明理

由.

21.已知函数f(x)=x(ln尸ax-l),aGR.

(1)设函数g(x)=f'(x)(x)为f(>的导函数)，求g(x)的零点个数;

(2)若f(x)的最大值是0,求实数a的值.

请考生在第22、23三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按

所做的第一个题目计分。

22.选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系x0y中，曲线G过点P(a,1),其参数方程为卜=°+b(t为参数,aS

ly=1+V2t

以0为极点,X轴非负半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0cos28+4COS

，-0=0.

(D求曲线G的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知曲线G与曲线&交于46两点，且!川=2|阳，求实数a的值.

23.设函数/'(")=|尸21+2尸3,记A%)WT的解集为M.

⑴求M

(2)当X€"时，证明:x[f(x)]f(x)W0.

参考答案

1.B

【解析】解法一¥+6>5x即『-5户6>0,即(『2)(尸3)>0,解得K2或x>3,所以

法(-8,2)U(3,+8).故始法(1,2)U(3,+8),故选B.

解法二当产5时,52+6>5X5成立,所以5巳"n人排除C,D两项；当x=-^,(-)2+6>5X£成立,

555

所以至"0人排除A.故选B.

5

【备注】无

2.D

【解析】本题主要考查复数的运算与概念.

,••班但2=-i,...z的虚部为-1,故选D.

1

【备注】无

3.C

【解析】由题意知，/Z/=2,所以/近/J/a也・b+[bM-2X2X1X

cos600+1=3,阮yJ/正■^产二,/b-2aJ"=13,所以cosA=

■「呼士辰Fj+tia一匹.又0°3<180°,所以4=150°.

2mbi14cl2XV3X22

【备注】无

4.D

【解析】如图，作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).

第5页

x=-l

由图像可知，C,。两点间的距离最小，此时z最小，

由卜一/+:=0可啜”即以。口

所以益n=(0-2)2+/=4+l=5.

【备注】无

5.A

【解析】充分性:当才2时，F(X)=『+4X-2=(X+2)2-6,易知函数f(x)在区间(-=,-2］上单调

递减.

必要性:若F(x)=『+2a『2=(^a)2-a2-2在区间(-吗-2］上单调递减,则需-a22,即aW2,故

“炉2”是“函数/("=¥+2打k2在区间(-8,-2］上单调递减”的充分不必要条件.

【备注】无

6.D

【解析】是定义在R上的奇函数，•••F(0)=0.构造函数式%)=色2则g'(x)心西2当

exex

xQ(0,1］时,/(王)=侬3>上20,，g(x)在(0,1］上单调递

exex

增，⑴=胆>&(0)=0,⑴>o,f(-D=-f(D<o,.•"(T)"(o)"(D,故D正确,c错误.在

e

f(x)-f'(x)〈『i中,令x=o,得Ao)-r(ox-i,结合f(o)=o,可知r(o)>i,故A错误.在

第6页

f(x)-F'(x)〈x-l中，令下1,得1'⑴<0,故B

错误,选D.

【备注】可导奇函数的导函数是偶函数，但导函数为偶函数的原函数不一定是奇函数.

7.B

【解析】本题考查空间几何体的结构特征与三视图.等边三角形的边长与底边的高之比为曰:;

V3

由题意得招=浮所以5=竺5正=4V3.选B.

【备注】无

8.D

【解析】本题考查程序框图、分段函数及一次函数与二次函数的图象等知识,考查数形结合

思想.

由程序框图得U<1,,作出s的图象如图所示.若输入的te[网〃],输出的SG[0,4],

则由图象得/r0的最大值为4,故选D.

【备注】无

9.B

【解析】通解设等差数列｛&｝的公差为〃则由已知可得2(包+64-(a+104=团+2加4,所以

£=5d+芋小5⑵+24=5义4=20.故选B.

优解由等差数列的性质可知237-^1=33=4,所以£=随誓=5匈=20.故选B.

【备注】无

第7页

10.B

【解析】根据题意,对任意的xR(0,Q),都有Mx)Hogp)二3,即A/a)-log2^)=3,又由

F(x)是定义在(0,抬°)上的单调函数，则F(x)Tog2X为定值.设t=f{x)-log2x,则

/、(x)=log2X",又由At)=3,即log2”夕3,解得片2,则F(x)=log2*2.在同一直角坐标系内分

别作出函数片10g2x+2与函数尸2-J的图像,

如图，由图像可得方程F(x)=2-『的解的个数是1.

【备注】无

11.B

【解析】无

【备注】无

12.D

(解析】对于选项A,若成立还需要添加条件m。，故A不正确;对于选项B,由必〃a,ga,

还可能得到0,〃是异面直线，故B不正确;对于选项C,可举反例,如三棱锥同一顶点出发的三

条棱，故C不正确;对于选项D,'."ml.a,m//n,a,又〃_L，a〃£，故D正确.

【备注】无

13.{x|产An+工AWZ}

8

第8页

【解析】依题意知，/-/〃•/7=cos';rH-sinxcos产出?三-jsin2x+l=：cos2『：sin

2x+工立COS(2A^)+3当2户三2"+x、kGZ,即尸0+%,AeZ时，F(x)取得最小值*,所

2242482

以f(x)取得最小值时X的取值构成的集合为51户女兀+%,4WZ}.

8

【备注】无

14.0

【解析】因为"廿(2A+3,3),zz/-^=(-l,-1),又(m+ri)//(。-〃)，所以(24+3)X(-1)=3X(-1),

解得4=0.

【备注】无

15.{1,2,3,4,8}

【解析】由题意得彳3二1,&=2或四=2,留=1.当/3=1吐*2=2,从而由二1或4;当%3=2时，&二1

或4,因此当x2=l时，xi=2,当&二4时,为=8或3.综上，击所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}.

【备注】无

16.-

4

【解析】本题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系，考查的核心素养是数学运算.

由已知条件可得圆的直角坐标方程为(『2)2〃厂1)2=4,其圆心为(2,1),半径为2,由直线和

圆相切可得半篝2,解得d

2

va+l4

【备注】【方法总结】直线与圆的位置关系问题通常可以借助数形结合思想,利用圆心到直

线的距离与半径的关系进行求解.

17.(1)因为R_LA,所以cosBcosOsin夕sin0g0,即cos(分。=-£

因为/+班右n,所以cos(研C)=-cosA,

第9页

所以cos/!=—,

又力为△/配的内角，所以力旺

4

⑵因为片三所以史-B,

44

sin作cos（e口）=sinZ^-cos（―-^-―）=sin^-cos（//--）—sin班立cos代TJsin（毋2）.

12412622*6

因为人£（0,空），所以当sin班cos（小马取得最大值时，斤三.

4123

又，一=上=2,所以片

sin4sins

所以△/8C的面积为匕床in0渔sinU+为=注3

22434

【解析】本题主要考查向量、三角形内角和定理、三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积

等.（1）根据向量垂直，利用两角和的三角函数公式和三角形内角和定理化简得cos然

后结合角4的取值范围求角｛的大小；（2）根据角力的大小得到角氏。的关系，将sin

班cos（廿三）化简为关于角6的三角函数,通过角6的取值范围求出sin4cos（小口）取得最

1212

大值时角6的大小,再利用正弦定理求出6的值,即可利用三角形的面积公式求解三角形的面

积.

【备注】解三角形与三角函数是高考的必考点，解决此类题目的关键是灵活运用正、余弦定

理实现三角形边、角之间的相互转化,另外在解决三角函数问题时,要将函数化为一角一函数

的形式.在解决解三角形问题时,要注意三角形内角的取值范围,不要出现增解.

18.（1）因为/加尸120°,所以/4%i=60°.

在△/微中，力后1,倒=/4=2,

由余弦定理得AB；=A#+BB；TAB•BB\•cos//圈=3,所以即产渥+AB：,所以/曲J•那.

第10页

又/胡华90。，所以AC^AB,

又AC^AB^A,所以4员L平面481c.

(2)依题意，四棱锥61T4GC的体积

片匕SC-4B1J%1-4BC=闩以BC-AMCi=-XV3x-X］义1=-^.

【解析】本题以三棱柱为载体,主要考查空间线面位置关系以及几何体体积的计算,考查考生

的空间想象能力、推理论证能力.(1)要证明线面垂直，可以利用线面垂直的判定定理证明；⑵

求四棱锥AT4GC的体积可以由三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到.

【备注】寻找立体几何的解题思路要把握好以下几点:一是要有转化与化归的意识,即将线

线、线面、面面之间的位置关系进行相互转化;二是要有平面化的思想,即将空间问题转化为

平面问题;三是要有割补的意识,将原几何体进行分割或补形,得到新的规则几何体.

19.(1)

45岁以45岁及45

合计

下岁以上

支持354580

不支

15520

持

合计5050100

因为^100X(35X5-45X15)^25>3841)

50X50X80X20

所以有95舶勺把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差

异.

(2)从不支持“延迟退休年龄政策”的人中抽取8人,则45岁以下的应抽6人,45岁及45岁

以上的应抽2人.

(i)抽到1人是45岁以下的概率为2=3抽到1人是45岁以下且另一人是45岁及45岁以

84

上的概率为萼■=a.

髭7

第11页

故所求概率为!■=：

4

(ii)开的所有可能取值为0,1,2.

户(加0)=与=二

尸(.)=警=/三,

以#2）第=上.

C|28

故随机变量I的分布列为

才012

1531

P

28728

E(X)=0X—+1X-+2X—=

2S7282

【解析】(1)根据频率分布直方图及表格易列出2X2列联表,求出了的观测值判断即

可.(2)(i)利用条件概率计算公式求解即可；(ii)确定，的所有可能取值及所对应的概率，

可得f的分布列与数学期望.

【备注】无

20.⑴设椭圆方程为W写1(a9>0).抛物线产=4r的焦点是(T,0),故片1,又£=i所以

a2b2a2

<3=2,护7a。-C。=y/3-

所以所求的椭圆Q的方程为正出1.

43

(2)①设切点坐标分别为相由,%)，8(*2,度)，直线/上点M的坐标为(4,Z),则切线方程分别为

.3=1——1.又两切线均过点也即为直力=1,也汇犬2=1,即点48的坐标都适合方程

434333

第12页

垮尸1,又两点确定唯一的一条直线,故直线四的方程是垮月，显然对任意实数t,点《,。)

适合这个方程,故直线48恒过定点C(l,0).

②将直线四的方程产上“1代入椭圆方程得

3

3(上户1)2“-12=0,即(-M)y-2ty-9=o,

33

■27

所以总产枭，力及二

^+12

不妨设71>0,姓〈0,

贝0M7=J(x「i)2+y；=J弓+l)y；=―%，同理，/%/=-守亥,

所以二―一_二

14cl\BC\

-Jyz-yi

"3+9>1X2

__ad

、1+9以力

3

v't2+927

-£2+!2

1.V144^4-9X144

42+99

即!ACl+lBCe，AC卜［BCh

3

故存在实数4=士使得〃0+/比7=4/47/•/比7.

3

第13页

【解析】(1)根据已知确定椭圆方程的系数，即可得出椭圆方程.(2)①设出切点坐标,根据给

出的切线方程即可得到在点A,6处的两条切线方程，点"的坐标同时适合这两条切线方程，

即可根据两点确定唯一的一条直线得到直线^的方程,再根据点材在已知直线上,确定单参

数直线系四的方程,根据这个直线系方程与参数无关得到关于x,y的方程组，以这个方程组

的解为坐标的点就是直线所过的定点;②求出定点后,变换//。+/%7=A/AC/•为

儿=」---,问题即转化为--是否是常数的问题,再根据点A,氏C的坐标和两点间的距

14cl|BC|\AC\\BC\

离公式把这个式子转化为点的坐标之间的关系.

【备注】无

21.解：⑴由题意得g(x)=f'(x)=lnx-2ax,令g(x)=O,

得2a=也，

X

设方(%)=吧,/>0,贝l]/(x)=i2学，

XX2

当x>e时"'(力<0;当0<Xe时，方'(x)>0.

函数尔x)的单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+8),

/?(%)max=力(e).

e

作出函数力5)的大致图象如图所示，

数形结合可知，当2aW0或2年匕即或产之时，函数g(x)有一1个零点；

e2e

当2aZ,即a>三时，函数g(x)没有零点；

e2e

第14页

当0〈2a心,即0〈a〈土时，函数g(x)有2个零点.

e2e

(2)由(1)可知f'(x)=x(/?(x)-2a),

①当a,土时，f(x)WO恒成立，Mx)在(0,+8)上单调递减,无最大值;

2e

②当aWO②存在唯一的Abe(0,1],使得h(xj=2a,

当X>Xo时，F(A)>0,当O<XAO时，尸(x)<0,

・・・f(X)在(0,A0)上单调递减,在(的+8)上单调递增,无最大值；

③当0<水土时,存在X]£(1,e),&£(e,+8),使得③两)二力(及)=28

2e

易得/G)在(0,汨)，(刈+8)上单调递减,在(%,期)上单调递增，

又当(0,1)时，f(x)=x(ln

f(x)=A^2)-X2(In上2一8&-1)二*2(lnX2一肛^•&T)=0,

max%

解得^=e2,

.•.布班=3