2022年新高考数学：导数及其应用及答案

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2022新高考数学热点导数及其应用及答案

精研考纲M纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

2022新高考数学热点04导数及其应用及答案

命题趋势

【命题趋势】

从新高考的考查情况来看•，导数及其应用一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函

数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为

密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及

解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数研究函数的单调性、极值、

最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.

)满分技巧)

1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(1)讨论分以下四个方面

①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论：④根在不在定义域内讨论.

(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.

(3)讨论完毕须写综述.

2、研究函数零点或方程根的方法

(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的

正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.

(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最

值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极

值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，

从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数

的工具作用，体现转化与化归的思想方法.

3、求与函数零点有关的参数范围的方法：

方程/。)=0有实根U函数y=,f(x)的图象与x轴有交点U函数y=/(x)有零点.

(1)参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.

(2)分类讨论法.

4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，

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也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数,

借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理.

恒成立问题的重要思路：(1)"2Ax)恒成立(2)，向X)恒成立

存在性(有解)问题的重要思路：(1)存在m>f(x)=，"求r)min(2)存在，”勺(x)=，Y/(X)nux.

5、利用导数证明不等式Hx)>g(x)的基本方法：

(1)若人r)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明K6m,n>g(X)gx；

(2)若y(x)与g(x)的最便不易求出，可构造函数h(x)—fix)—g(x),

然后根据函数"x)的单调性或最值，证明6(x)>0.

无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，

达到解题的H的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.

热点解读

------上

函数单调性的讨论(含参)、零点问题和不等式恒成立的相关问题(包含不等式证明和

由不等式恒成立求参数取值范围)是出题频率最高的：同时也要注意极值点偏移、双变量等

热点问题。

A卷(建议用时60分钟)

—*、单选题

1.(2021•河南•濮阳一高高三阶段练习)若直线/与曲线C满足下列两个条件：(1)直线/隹

点？(・％，%)处与曲线C相切：(2)曲线C在点P附近位于直线/的两侧，则称直线/在点P处

"切过''曲线C.给出下列四个命题：

①直线/：y=o在点P(0,。)处“切过”曲线C：y=x)

②直线/：产》-1在点P(1,0)处“切过”曲线。：¥=1叱：

③直线/：.丫=—+力在点P/0)处“切过”曲线C：y=sinx：

④直线/：丫=-犬+1在点？(0,1)处“切过”曲线5y=e\

其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

2.(2021•江苏淮安•高三期中)已知函数/(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确

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的是()

A.-3是f(x)的极小值点B.-1是/(x)的极小值点

C.“X)在区间(TO,3)上单调递减D.曲线y=/(x)在x=2处的切线斜率小于零

3.(2021•安徽•合肥市第八中学高三阶段练习)已知函数f(x)的导数为/'(x),且

/(x)=2Af'(e)+lnx,贝！|/(e)=()

A.--B.-1C.1D.e

e

4.(2021•山东日照•高三阶段练习)已知尸(x)是函数/(x)的导数，且对任意的实数X都有

r(x)=e-x(2-2x)-/(x),"0)=8则不等式〃x)<0的解集是()

A.(-2,4)B.(-co,0)U(2,+co)C.(F,-4)U(2,+OO)D.(-^O,-2)U(4,+<»)

5.(2021•陕西金台•高三阶段练习)已知函数/(x)=xlnx-ar2有两个极值点，则实数”的

取值范围是()

A.(-»,0)B.(0,；)C.(0,1)D.(0,物)

6.(2021•四川省绵阳江油中学高三阶段练习)已知〃x)=alnx,g(x)=(«+2).r-x2,若

存在XowjLe],使得/(%)4g(不)成立，则实数a的取值范围是()

e

A.；j，”)B.J；；,”)C.D.[0,M)

/、fxln>0

7.(2021•天津市西青区张家窝中学高三阶段练习)己知函数〃x)=「丫2«<0,若函数

g(x)=〃x)一上有三个零点，则()

A.—cvZv1B.—<攵<1C.y<k<0D.—<k<0

ee

8.(2021•北京四中高三期中)对于定义在R上的函数y=/(x),若存在非零实数天,使

y=f(A)在(-<»,%)和(％,+<»)上均有零点，则称％为y=/(.r)的一个“折点”，卜,列四个函

数存在“折点”的是()

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A./(X)=3M+2B./(x)=lg(|x|+3)-iC./(x)=y-x-lD.=

二、多选题

9.(2021•江苏淮安•高三期中)设函数/(x)=e'-or+l(awN.),若/(x)>0恒成立，则实

数。的可能取值是()

A.1B.2C.eD.3

10.(2021•河北保定•高三阶段练习)已知函数/(x)=xe*-x2-2x-l,则()

A.f(x)的极大值为-1B.f(x)的极大值为

e

C.曲线y=/(x)在(0J(0))处的切线方程为x-y-l=O

D.曲线y=/(x)在(0J(0))处的切线方程为x+y+l=0

11.(2021・江苏・高三期中)若直线丫=；》+。伍€2是曲线产/(*)的切线，则曲线)，=/(同

可以是()

A./(X)=X3+2X2+8B./(x)=tanxC./(.r)=.ve,D./(x)=lny^-j

12.(2021•江苏•无锡市教育科学研究院高三期中)已知函数/3)=<r*、4-2:r<0，满足对任

e,x>0

意的xeR,f(x)2ar恒成立，则实数〃的取值可以是()

A.一2&B.-72C.&D.2夜

13.(2021•湖北•高三阶段练习)已知函数/(x)=e*-x2,则下列说法正确的是()

A.f(x)在R上单调递增B./(X)在(YO,ln2)上单

调递减

C.若函数y=/(x)-lnx+x2在x=1,处取得最小值，则X°G(0,1)D.Vxe(0,+oo),

/(x)>lnx-x2+2

14.(2021•河北保定•高三阶段练习)若函数/(x)=21nx-f+，"在1,片上有两个不同的

e

零点，则实数机的取值可能是()

A.1B.€C.—+1D.—+2

ee-

15.(2021•江苏如东•高三期中)若lim存在,则称

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lim/（•%+人\?）-/（司，品）为二元函数z=f（x,y）在点（x。,%）处对方的偏导数，记为

ZU-K）M

/：（%,>'0）;若lim"%，.”+绅）二〃2）存在，则称|im=…+绅）一"2）为二元函

Ay-+OAxAy—OAv

数z=/（x,y）在点（x。,%）处对y的偏导数，记为｛'（%,%）,已知二元函数

/(x,y)=x2-2Ay+y3(x>0,y>0),则()

A.f：(l,2)=-2B.4'(1,2)=10

C.1/；'（〃，,〃）+/：（，"，"）的最小值为-1D.f（x,y）的最小值为7

16.（2021•山东•滕州市第一中学新校高三期中）已知函数，讨论函数/（x）=xe'-or-l的

零点个数（）

A.当。=0时，零点个数为1个B.当〃>0时，零点个数为2个

C.当。<0时，零点个数为2个D.当a>0时，零点个数为I个

三、填空题

?r-|

17.（2。“全国•高考真题（理））曲线,:不在点（--）处的切线方程为—

18.（2021•四川省内江市第六中学高三阶段练习）若函数/（x）=lnx-cx+gY存在垂直于y

log,x,x>0

轴的切线，又g（x）=<，且有g[g⑴]=1，则a+b+c的最小值为

19.（2021・江苏常州・高三期中）已知函数〃》）=*卜/-2）-41门，对于任意》>0,/（”24

恒成立，则整数。的最大值为.

〜./、，一asinx,x>0

20.（2021•河北石家庄•模拟预测）已知函数/力=,/一若关于天的

一厂-l）x+a,x<0

不等式〃x）20的解集为卜1,+00）,则实数”的取值范围为.

四、解答题

21.（2021•江苏•无锡市教育科学研究院高三期中）已知函数f（x）=inx（,n>0）.

（1）当5=（）时，求曲线y=f（x）在点（1,f（l））处的切线方程；

（2）若函数/（x）的最小值为求实数机的值.

e

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Ij।

21.(2021•广东•红岭中学高三阶段练习)已知函数f(x)=t.(1)求/(x)在

[ax\nx,x>1

[-l,e](e为自然对数的底数)上的最大值；(2)对任意给定的正实数”，曲线y=/(x)上

是否存在两点P,Q,使得△PO。是以O为宜角顶点的汽角三角形，旦此宜角三角形斜边

的中点在y轴上？

22.(2021•北京•高考真题)已知函数/(力=下三.

(1)若”=0,求曲线y=/(x)在点(IJ⑴)处的切线方程；

(2)若/(x)在x=T处取得极值，求/(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

23.(2021•全国•高考真题(理))设函数f(x)=ln(a-x),已知x=O是函数y=^(x)的极

值点.

(1)求。；(2)设函数g(x)=♦：〃：).证明:g(x)<l.

xf(x)

24.(2021•全国•高考真题(文))设函数/*)=国"+以-31nx+1,其中a>0.

(1)讨论/("的单调性；(2)若y=/(x)的图象与1轴没有公共点，求〃的取值范围.

25.(2021•辽宁大连•高三阶段练习)已知函数/(.v)=6ue，-(x+l『(其中〃ER,e为自然

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对数的底数).

(1)讨论函数的单调性；(2)当x>0时，/(x)>lnx-x2-x-3,求♦的取值范围.

26.(2021•江苏连云港,高三期中)已知函数f(x)=(x云)e'M+⑪2(十€即

(1)若。=-1,试讨论函数/(x)的单调性；(2)若函数“X)存在两个零点%,占，证明:

X]+X-,<0.

B卷(建议用时90分钟)

一、单选题

1.(20如全国•高考真题(理))设"0,若x="为函数/(x)="(x-“)2(x-3的极大值点，

则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ah>a2

2.(2021•四川达州•一模)已知函数/(x)=xln(lnx)-xln(G)-lnx恒有零点，则实数〃的取

值范围是()

(11「)「_」i](_1_1"

A.0,-B.eMC.e—D.0,e'

Ie」L)Le\IJ

3.(2021•江苏•金陵中学高三阶段练习)设函数/(工)=/+±8*)=疝工/仆)=火，若对于任意

X

的xe(0,+oo),&(x)4〃(x)4/(x)都成立，则实数〃的取值范围为()

A.[1,3]B.~,4C.[1,8]D.-J7

4.(2021•江苏•高三阶段练习)过曲线C：y=lnx上一点A(l,0)作斜率为k(0<Z<1)的直线，

该直线与曲线C的另一交点为P,曲线C在点P处的切线交)，轴于点N.若V4PN的面积

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为41n2-3,则*=()

2

A.—In2B.-In2C.—In2D.In2

332

5.(2021•广西柳州•一模(理))已知可导函数Ax)的导函数为了'(X),若对任意的xwR,

都有/(x)-/'(x)>l.且/(力皿为奇函数，则不等式f(x)-2021e'>l的解集为()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-00,e)D.(e,+oo)

6.(2021•江苏盐城•高三期中)函数f(x)=lnx-空干的零点最多有()个.

A.4B.3C.2D.I

7.(2021•海南华侨中学高三阶段练习)已知定义在《，门上的函数/(x)满足

且当1］时，f(x)=x\nx+l,若方程/(刈-1*-。=0有三个不同的实数根，则实数

e2

。的取值范围是()

8.(2021•河南省实验中学高三阶段练习(理))己知函数=J§，若

-----T-X+—,x>e

2e22e

且/(a)=/S)=f(c),则坐.c的取值范围是()

alnb

A.(e,3e)B.(-3e,-e)C.(l,3e)D.(-3e,-l)

9.(2021•山东聊城•高三期中)关于函数/(x)=ae，-cosx,xe(rr,;r),下列说法错误的

是()

A.当”=-1时，函数“X)在(一小1)上单调递减B.当〃=1时，函数/")在(一乃,乃)上恰

有两个零点

C.若函数〃尤)在(-1,万)上恰有一个极值，则"=0D.对任意”>。，恒成立

二、多选题

10.(2021•广东•红岭中学高三阶段练习)函数/(x)=(x-l)lnx,X6(l,-K»),下列说法中,

正确的是()

A./(x)>0B./(x)在(1,2)单调递增

C./(x)<(x-l)2

D.Vx,>x2>1,则/(々)-/(5)<*2-司

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24-rInT

11.（2021•海南•海口一中高三阶段练习）关于函数/（x）=」~下列说法正确的是（）

x

A.函数f（x）的极小值为2

B.函数y=/（x）-x2有且只有1个零点

C.当时，/（x）+or：!—4ar+4«—1＞0恒成立

D.对任意两个正实数小三，且不力工2，若/（%）=/（》2）,则占+巧＜4

12.（2021•全国•高三阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定

理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数

/（X）,存在一个点内,使得那么我们称该函数为“不动点”函数，而称％为该函

数的一个不动点.现新定义：若与满足〃毛）=-％,则称%为/（X）的次不动点.下列说法正

确的是（）

A.定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

B.定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点

C.当14a«|时，函数/&）=地！（4'-〃2+1）在［0』上仅有一个不动点和一个次不动点

D.满足函数=在区间［0,1］上存在不动点的正整数。不存在

13.（2021•重庆•临江中学高三阶段练习）关于函数〃x）=e*+asinx,xe（一匹田），下列

结论正确的有（）

A.当“=1时，”力在（0"（0））处的切线方程为2x-y+l=0

B.当”=1时，f（x）在（-］,+«＞）上存在唯一的极小值点

C.对任意a＞0,/（x）在（-1,+oo）上均存在零点

D.当a＜0时，若对Vxe（-;r,y）,/（x）20恒成立，则一缶：4〃＜0

14.（2021•广东龙岗•高三期中）己知函数/（x）柠（e为自然对数的底数），过点（"，）作

曲线”X）的切线.下列说法正确的是（）

44

A.当〃=（）时，若只能作两条切线，则八三B.当。=0,八二时，则可作三条切线

ee

C.当0＜。＜2时，可作三条切线，则=D.当。=2,人＞0时，有且只有一条

ee

切线

三、填空题

15.（2021•广东顺德•高三阶段练习）已知函数/（6=夕+20«^+2,当4=拒时，函数/（x）

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的零点个数为；若函数/(x)有两个零点，则实数。的取值范围为.

16.(2021•江苏扬州•高三期中)若函数/(x)=ae，—gx2+3(aeR))有两个不同的极值点引

和乙，则。的取值范围为；若见则a的最小值为.

17.(2021•江苏•无锡市第一中学高三阶段练习)已如函数/(x)=e、,g(x)=lnx.若曲线

y=/(x)在点&J('))处的切线与曲线y=/(x)在点5,g5))处的切线平行，则

x,+g(xj=;若Mx)=2x-g(x)-4|^+l,则Mx)的最大值为.

18.(2021•浙江杭州•高三期中)函数/(x)=2'-V的零点个数为,若函数

/(x)=a*-x?(a>1)恰有两个零点，则a=.

四、解答题

19.(2021•天津•高考真题)已知a>0,函数/(x)=at-xe".(I)求曲线y=/(x)在点

(0"(0))处的切线方程：(II)证明f(r)存在唯一的极值点(III)若存在a,使得/(x)4a+b

对任意xeR成立，求实数力的取值范围.

20.(2021•全国•高考真题)已知函数/(x)=(x-l)e*-加+8.

(1)讨论八幻的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：〃幻只有一个零点

®-<a<—,b>2ai®0<a<-,h<2a.

222

21.(2021•浙江•高考真题)设a,6为实数，且。>1,函数f(x)=a'-bx+eXxeR)

(1)求函数的单调区间；(2)若对任意6>2e2,函数〃力有两个不同的零点，求a

的取值范围；

(3)当”=e时，证明：对任意b>],函数/(x)有两个不同的零点满足

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

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22.（2021•全国•高考真题）己知函数/（x）=x（17nx）.（l）讨论〃力的单调性；（2）设

〃为两个不相等的正数，且〃hw-alnb=a-b,证明：2<-+-<e.

ah

23.（2021・福建・福州三中模拟预测）已知函数/。）=加'+%0$》+夫2+1（其中”力为实数）

的图象在点（0,/（0））处的切线方程为y=x+l.（1）求实数”力的值；（2）求函数

g（x）=/'（x）-3x的单调区间：

（3）若对任意的xeR,不等式疗*）21丁+2/1/+》恒成立，求实数4的取值范围.

2

24.（2021•广东•高三阶段练习）已知函数/（x）=（a+2）lnx+,-ar（aeR）.

（1）求函数f（x）的单调区间：（2）当0<一2时，若为，々（x产七）满足/&）=/（±）,

4

求证：—<xlx2<1.

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25.(2021•广东•高三)已知函数/(x)=(x-2)-e*-](x-l)2,g(x)=，"(x+lnx)-2e".(1)讨

论〃x)的单调性；(2)当。=0时，令F(x)=/(x)-g(x),若与是函数F(x)的极值点，且

F(%)>0,求证：F(x)>-2xl+2xQ.

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热点04导数及其应用

命题趋势

【命题趋势】

从新高考的考杳情况来看，导数及其应用一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函

数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为

密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及

解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数研究函数的单调性、极值、

最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.

满分技巧)

1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(1)讨论分以下四个方面

①二次项系数讨论；②根的有无讨论：③根的大小讨论：④根在不在定义域内讨论.

(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.

(3)讨论完毕须写综述.

2、研究函数零点或方程根的方法

(1)通过最便(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的

正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过库点个数求参数范围.

(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最

值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.

(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极

值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，

从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数

的工具作用，体现转化与化归的思想方法.

3、求与函数零点有关的参数范围的方法：

方程/。)=0有实根U函数y=/(x)的图象与x轴有交点U函数y=/(x)有零点.

(I)参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.

(2)分类讨论法.

4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，

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2022新高考数学热点导数及其应用及答案

精研考纲M纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习

也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数,

借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理.

恒成立问题的重要思路：(1)，伫/(X)恒成立汰(2)团勺&)恒成立

存在性(有解)问题的重要思路：(1)存在n,"3(x)min(2)存在/n</(x)=>w</(x),nax.

5、利用导数证明不等式Ax)>g(x)的基本方法：

(1)若人I)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明7U)mm>g(X)gx；

(2)若_/(x)与g(x)的最便不易求出，可构造函数h(x)—f(x)—g(x),

然后根据函数〃(x)的单调性或最值，证明〃(x)>0.

无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研窕函数的性质，

达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.

热点解读

函数单调性的讨论(含参)、零点问题和不等式恒成立的相关问题(包含不等式证明和

由不等式恒成立求参数取值范围)是出超频率最高的：同时也要注意极值点偏移、双变量等

热点问题。

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A卷(建议用时60分钟)

一、单选题

1.(2021•河南•濮阳一高高三阶段练习)若直线/与曲线C满足下列两个条件：(1)直线/在:

点外•%,%)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线/的两侧，则称直线/在点P处

“切过”曲线C.给出下列四个命题：

①直线/：y=O在点P(O,O)处“切过”曲线C：y=V；

②宜线/：y=x-i在点P(l,0)处“切过”曲线c：y=lnx：

③直线/：产-x+%在点P(i.o)处“切过”曲线C：y=sinx：

④直线/：y=-x+l在点P(O,1)处“切过”曲线c：y=e'.

其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

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【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.

【详解】①；y=x3,y'=3x2,.•.y'Lo=O,.•.曲线C:y=V在点尸(QO)处切线为y=o.

当x>0时，y>0,当x<0时，y<o,即曲线C:y=V在点P附近位于直线/的两侧，①

正确：

②设g(x)=(x-l)-lnx=x-lnx-l,5,(x)=l--=^^,

XX

当0<x<l时，^r(x)=—<0.g(x)在(0,1)是减函数，当x>l时，/(%)=—>0,g(x)

XX

在(1,一)是增函数，，8*)286=1-1讨-1=0,即x-lWlnx在(0,+<»)上恒成立,

.••曲线y=lnx总在直线y=x-l下方，不合要求，②不正确：

③•；y=sinx,y'=cosx,二41t=COS7t=-l,曲线y=sinx在点尸5.0)处切线为

/:y=-x+rt.

设g(x)=-x+7t-sinr,g'(x)=-1-cosxVO,，g(x)是减函数，

又：g(7t)=-兀+兀-sin7t=0.当时，g(x)>0,即一x+7t>sinx,

曲线C:y=sinx在切线/:y=-x+Jt的下方,当*>兀,g(x)<0,即一x+7t<sinx,

曲线y=sinx在切线y=-x+7t的上方，③正确：

④•••y=e\/./=^,.-./U=e°=l,.-.曲线y=在点尸(0,1)处的切线为y=x+l,

不合要求

④不正确.综上，正确命题有①③，故选：B.

2.(2021•江苏淮安•高三期中)己知函数/(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确

的是()

A.-3是f(x)的极小值点B.-1是/(x)的极小值点

C.〃x)在区间(—,3)上单调递减D.曲线y=/(x)在x=2处的切线斜率小于零

【答案】D

【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据

导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.

【详解】由图象知,当xv-3或x>3时，f'(x)>0,〃x)单调递增，

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当-3vxv3时,/'(x)<0,〃x)单调递减，

所以“X)在区间(YO,-3),(3,+co)内单调递增，在区间(-3,3)内单调递减，

-3是〃x)的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误：

又因为/'(2)<0,所以曲线y=/(x)在x=2处切线斜率小F零，故D正确.故选：D.

3.(2021•安徽•合肥市第八中学高三阶段练习)已知函数“X)的导数为了'(X),且

,/1(x)=2_\f(e)+lnx,则f(e)=()

A.—B.—1C.1D.e

e

【答案】B

【分析】直接求导，令x=e求出/'(e),再将x=e带入原函数即可求解.

【详解】由7"3=2引仁)+1口得/(幻=2/化)+1,当x=e时，r(e)=2f'(e)+L解得

xe

//(e)=---

e

所以/(x)=-^+lnx,/(e)=±+lne=-l.故选：B

ee

4.(2021•山东日照•高三阶段练习)已知/'(X)是函数.f(x)的导数，且对任意的实数X都有

f'(x)=cx(2-2x)-f(x),f(O)=8则不等式/(x)<0的解集是()

A.(-2,4)B.(-oo,0)U(2,+a>)C.(F,-4)U(2,W)D.(f,-2)U(4,y)

【答案】D

【分析】构造新函数g(x)=e"(x),求出g'(x)后由导函数确定g(x),注意可得8(0)=8,从

而得出f(x)的解析式，然后解不等式即可.

【详解】设g(x)=e"(x),g(0)=e°/(0)=8,

因为(x)=葭(2-2x)-/(x),所以尸(x)+/(x)=e、(2-2x),

所以g'(x)=eJ/(x)+e"'(x)=e*(/(x)+f'(x))=2-2x.

因此g(x)=2x-x2+c,g(0)=c=8,所以8&)=-/+21+8,f(x)='A+~A+^,

e1

不等式f(x)<0即为:+8<°,/_2X_8>0,解得x<—2或x>4.故选：D.

e

5.(2021•陕西金台•高三阶段练习)已知函数/(x)=xlnx-or2有两个极值点，则实数。的

取值范围是()

A.SO)B.C.(0,1)D.(0,”)

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【答案】B

【分析】先求得/(X),由题意知r(x)=o仃两个不等实根，转化为2a=@上L然后设

X

g(x)=9W,再转化为直线y=2"Og(x)的图像有两个交点求解.

X

【详解】解：由题意r(x)=lnx+l-2or=lnx-2or+l=0有两个不等实根，即2a=四巴■有

X

两个不等实根，

必,、lnx+1.,l-(lnx+l)Inx

设g(X)=-----■则g(X)=------；----=——

Xx2X*

当Ovxvl时,g'(x)>0,g(x)递增,当X>1时,gr(x)<0,g(x)递减,

X=l时，g⑴=1为极大值也是最大值，x->+<®时，g(x)->0,||.g(x)>0,当xfO时，

g(x)->-oo,

所以当0<2a<l,即0<“<；时，直线y=2“与g(x)的图象有两个交点，

即2“=则巴有两个不等实根.故选：B

X

6.(2021•四川省绵阳江油中学高三阶段练习)已知/(x)=aln.r,g(x)=(a+2)x-/,若

存在Le,使得/(x°)4g(x。)成立，则实数a的取值范围是()

e

e~—2c11—2e)\「八\

A.----,+<»B.--y,+ooC.[r-l,+a>)D.[0,+co)

C4JC__4cJ

【答案】C

【分析】由/(%),,g(%)，根据%-3>0.存4…片一产1,再构造函数求最值即U]•求出。

/T叫

的取值范围.

【详解】由〃飞),,g&),得伉-叽)记尸(x)=x-lnx(x>0),

.•.F'(x)=—(x>0),

••・当0<x<l时，F'(x)<0,F(x)单调递减；当x>l时,F'(x)>0,F(x)单调递增.

：.F(x)..F(1)=l>0,.•.a.*—%,记G(x)=^lZ^,xe1

一,e

x()-lar0x-lnx

(2x-2Xx-hu)-(x-2)(x-l)=(x-I)(x-2hu+2)

(x-lnx)2-(x-lnx)2

Q-ve\e,.,.2-2Iar=2(l-lnx)..O..-.x-21nv+2>0.,xe时，G'(x)<0,G(x)

单调递减;

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xe(l,e)nj,G'(x)>0,G(x)单调递增..・.GCr)疝n=G(1)=-1,1nhi=-1,

故实数。的取值范围为［7,+8).故选：C.

7.(2021•天津市西青区张家窝中学高三阶段练习)已知函数〃x)=1_r2T<0，若函数

g(x)=/(x)d有三个零点,则()

A.-cv攵vlB.—vkvlC♦-€<k<0D.—<女<0

ee

【答案】D

【分析】将问题转化为y=/(X)与y=A有三个交点，利用导数研究f(x)在X>0上的性质，

进而画出/(X)的图象，应用数形结合的方法求参数k的范围.

【详解】当x>0时，/(x)=xlnx,.-./,(x)=lnx+l,令/'(x)=0得，x=-,

e

.•.当xe(0,j时，f'(x)<0,/(x)单调递减；当xe(：+s)时，/(力>0,f(x)单调递

增，

又/(9=口曰=-1,"1)=0,画出函数〃x)的图像，如图所示，

:函数g(x)=〃x)-Z有三个零点，即方程f(x)-A=O有三个不等实根，

.••函数y=/(x)与y=&有三个交点，由图像可知，-1<A<0,故选：D.

e

8.(2021•北京四中高三期中)对于定义在R上的函数y=/(x),若存在非零实数天,使

y=/(x)在(，》,%)和(马,+00)上均有零点，则称x„为y=/(x)的一个“折点”，下列四个函

数存在“折点”的是()

A./(工)=31"+2B./