第七章平行线的证明单元测试（含解析）

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第七章平行线的证明（单元测试）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题是假命题的是（）

A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

B．负数没有立方根；

C．在同一平面内，若，，则

D．同旁内角互补，两直线平行

2．如图，下列条件中不能判断的是（）

A．B．C．D．

3．一个三角形三个内角之比为1：3：5，则最小的角的度数为（）

A．20°B．30°C．40°D．60°

4．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（）

A．B．，

C．，D．，

5．如图，，平分交于点E，若，则（）

A．B．

C．D．

6．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，这样操作的依据是（）

A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行

C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行

7．如图，点分别是上的点，点是的延长线上一点，且，则下列判断不一定成立的是（）

A．B．C．D．

8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于()

A．40°B．60°C．80°D．140°

9．如图，，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（）

A．∠EDC－∠ABE＝90°B．∠ABE＋∠EDC＝180°

C．∠ABE＝∠EDCD．∠ABE＋∠EDC＝90°

10．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，得到下列结论：

①∠2=∠3；

②如果∠3=60°，则AC∥DE；

③如果BC∥AD，则∠2=45°；

④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．

其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．下列命题中，是真命题的是．（填序号）

①对顶角相等；

②内错角相等；

③三条直线两两相交，总有三个交点；

④若，，则．

12．如图，写出一个能判定AD∥BC的条件．

13．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，则∠D的度数为．

14．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是．

15．已知中，，是边上的高，，则°．

16．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是．（填序号）

①第一次向左拐40°，第二次向右拐40°；②第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

③第一次向左拐70°，第二次向右拐110°；④第一次向左拐70°，第二次向左拐110°

17．如图，已知AM//CN，点B为平面内一点，ABBC于B，过点B作BDAM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分DBC，BE平分ABD，若FCBNCF180，BFC3DBE，则EBC的度数为．

18．如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝°．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，求证：∠ACB＝∠DEB．

20．如图，直线，被直线，所截，，直线分别交和于点，．点在直线上，，求证：．

请在下列括号中填上理由：

证明：因为（已知），所以（_______）．

又因为（已知），所以，即，

所以_______（同位角相等，两直线平行），所以（_______）．

21．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．

22．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且．

（1）求证：；

（2）若，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

23．如图，在△ABC中，，，CF平分交AB于点E．

（1）求的度数：

（2）若于点D，．判断△CFD的形状，并说明理由．

24．如图，点，分别在，上，，垂足为点已知，．

(1)求证：ABCD；

(2)若，，，求点到直线的距离．

25．如图，在，，平分交于点，过点作，垂足为．

(1)若，，求，的度数；

(2)若，，请直接用含，的式子表示，．

26．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．

(1)如图1，求证：AB∥CD；

(2)如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；

(3)如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．

参考答案：

1．B

【分析】根据垂直公理、立方根的定义、平行线的判定进行判断即可．

【详解】A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；

B、负数有立方根，错误，为假命题；

C、在同一平面内，若，，则，正确，为真命题；

D、同旁内角互补，两直线平行，正确，为真命题；

故选：B．

【点睛】本题考查命题与定理、垂直公理、立方根的定义、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用垂直公理、平行线的判定和性质解决问题．

2．B

【分析】由题意根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

【详解】解：A、∠2=∠6可以判定a，b平行，不符合题意；

B、∠1=∠4，不能判定a，b平行，符合题意；

C、∠4+∠6=180°，可以判断a、b平行，不符合题意；

D、∠3+∠5=180°，可以判定a，b平行，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查的是平行线的判定，注意掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

3．A

【分析】根据三角形的内角和定理解决问题即可．

【详解】三角形的最小的角＝×180°＝20°，

故选：A．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是记住三角形的内角和为180°．

4．A

【分析】判断命题是假命题，结论错误即可，由此即可求解．

【详解】解：当时，，但，

∴命题“如果，那么”是假命题，

故选：．

【点睛】本题主要考查命题真假的判定，掌握命题真假的判定方法是理解命题的条件与结论的关系，即掌握相关定理，命题的定义和性质是解题的关键．

5．B

【分析】先根据平角的定义及角平分线的性质求得∠EAC的度数，再根据平行线的性质求解即可．

【详解】∵∠1＝64°

∴∠BAC＝180°－64°＝116°

∵AE平分∠BAC

∴∠EAC＝∠BAC＝58°

∵AC∥BD

∴∠2＝180°－∠EAC＝122°

故选：B．

【点睛】本题考查平角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角，且都等于大角的一半．

6．D

【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．

【详解】解：如图，

由题意得，根据内错角相等，两直线平行可得．

故选：D．

【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握内错角的定义及平行线的判定定理．

7．C

【分析】先根据平行线的判定得到ADBG，ABDC，再利用平行线的性质对各个选项进行判断即可.

【详解】A、∠B＝∠DCG，ABDC（同位角相等，两直线平行），故错误；

B、，（内错角相等，两直线平行），故错误；

C、无法判断，不一定成立，故正确；

D、ABDC，（两直线平行，同旁内角互补），故错误；

故选：C．

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．

8．C

【分析】根据平角定义和折叠的性质，得，再利用三角形的内角和定理进行转换，得从而解题．

【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得

．

又，，

，

∴，

故选：C

【点睛】此题综合运用了平角的定义、折叠的性质和三角形的内角和定理．

9．A

【分析】过F点作FGAB，可得FGCD，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFG=∠ABF，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DFG+∠CDF=180°，再根据垂直的定义和角平分线的定义即可解答．

【详解】解：过F点作FGAB，

∵ABCD，

∴FGCD，

∴∠BFG=∠ABF，∠DFG+∠CDF=180°，

∵BF⊥DE，

∴∠BFD=90°，

∵BF平分∠ABE，

∴∠ABE=2∠ABF，

∴∠BFG+∠DFG+∠CDF=∠ABF+180°，

∴90°+∠CDE=∠ABE+180°，

即∠EDC-∠ABE=90°．

故选：A．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，作辅助线，利用平行线的性质是关键，也是本题的难点．

10．C

【分析】①由题知：∠DAE=∠2+∠3=90°，但∠2=∠3无法得证；

②欲证AC∥DE，需证∠1=∠E，即证∠1=60°；

③欲求∠2，可求∠3；

④欲证∠4=∠C，可证AC∥DE，即证∠1=∠E=60°．

【详解】解：①由题知：∠DAE=∠2+∠3=90°，但∠2=∠3无法得证，

故①不正确；

②由题意知：∠E=60°，∠CAB=∠1+∠2=90°，∠EAD=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3=60°，

∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，故②正确；

③由题意知：∠B=45°，∠EAD=∠2+∠3=90°，

∵BC∥AD，

∴∠B=∠3=45°，

∴∠2=45°，故③正确；

④∵∠CAD=∠EAD+∠1=150°，∠EAD=90°，∠E=60°，

∴∠1=60°，

∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，

∴∠C=∠4，故④正确；

综上：正确的有②③④，共3个．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键．

11．①④##④①

【分析】根据对顶角相等可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据两条直线相交的定义可判断③；根据平行于同一条直线的两条直线平行可判断④，据此可作出判断．

【详解】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；

②两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；

③三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故原命题错误，不符合题意；

④若，，则，正确，是真命题，符合题意，

正确的有①④．

故答案为：①④．

【点睛】本题考查判断命题真假，涉及对顶角相等、平行线的性质、直线相交的交点问题，解答的关键是在判断一个命题的真假时，需要熟知涉及到的相关数学知识，并对每一个命题作出正确的判断．

12．∠A=∠CBE

【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．

【详解】解：∠A=∠CBE，

∵∠A=∠CBE，

∴AD∥BC，

故答案为：∠A=∠CBE（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．

13．100°

【分析】根据角平分线定义和平行线的性质即可求出∠D的度数．

【详解】解：∵CB平分∠ABD，∠ABC＝40°，

∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠D＝180°，

∴∠D＝180°﹣80°＝100°，

则∠D的度数为100°．

故答案为：100°．

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．

14．内错角相等，两直线平行

【分析】根据平行线的判定方法解决问题即可．

【详解】解：由作图可知，

，

（内错角相等两直线平行），

故答案为：内错角相等，两直线平行．

【点睛】本题考查作图，平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．

15．80或40##40或80

【分析】分为两种情况，画出图形，求出的度数，即可得出答案．

【详解】解：分为两种情况：①如图1，

为边上的高，

，

，

，

，

；

②如图2，

为边上的高，

，

，

，

，

．

故答案为：80或40．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于．

16．④

【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等求出即可得解．

【详解】解：①、第一次向左拐，第二次向右拐，行驶方向相同，故本选项错误；

②、第一次向左拐，第二次向右拐，行驶路线相交，故本选项错误；

③、第一次向左拐，第二次向右拐，行驶路线相交，故本选项错误；

④、如图，第一次向左拐，，第二次向左拐，，

所以，，所以，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反．

故答案是：④．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

17．105°##105度

【分析】先过点作，根据同角的余角相等，得出，根据角平分线的定义，得出，再设，，根据，可得，根据，可得，最后解方程组即可得到，进而得出．

【详解】解：如图，过点作，

，

，

即，

又，

，

，

平分，平分，

，，

，

设，，

则，，，，

，

，，

，

中，由，

可得，①

由，

可得，②

由①②联立方程组，

解得，

，

．

故答案为：105°．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．

18．67.5°

【分析】直接根据三角形的外角性质、四边形的内角和、三角形的内角和即可求解．

【详解】解：∵是直角三角形

∴

∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP

∴

∴

∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ

∴

∴

故答案为：．

【点睛】此题主要考查三角形的外角性质、四边形的内角和、三角形的内角和，熟练掌握性质是解题关键．

19．见解析

【分析】利用邻补角定义得到∠2与∠BDC互补，再由∠1与∠2互补，利用同角的补角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EF与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到∠DEF＝∠A，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE与AC平行，利用两直线平行同位角相等即可得证．

【详解】证明：∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，

∴∠1＝∠BDC，

∴EF∥AB，

∴∠DEF＝∠BDE，

∵∠DEF＝∠A，

∴∠BDE＝∠A，

∴DE∥AC，

∴∠ACB＝∠DEB．

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

20．两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补．

【分析】要证明与互补，需证明，可通过同位角与（或与相等来实现．

【详解】证明：因为（已知），

所以两直线平行，同位角相等）．

又因为（已知），

所以，

即，

所以（同位角相等，两直线平行），

所以（两直线平行，同旁内角互补．

故答案为：两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补．

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．

21．72°

【分析】利用三角形内角和定理和角平分线的性质计算即可；

【详解】∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．

∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，

∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．

∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，结合角平分线的性质计算是解题的关键．

22．（1）证明见解析；（2）AB∥EF，理由见解析．

【分析】（1）根据垂直关系和平角的定义可得∠DEF+∠BEG=90°，又∠EBG+∠BEG=90°结论可证；

（2）由（1）和角平分线的定义可得∠A=∠AEF，再根据内错角相等，两直线平行即可证明．

【详解】证明：（1）∵EB⊥EF，

∴∠FEB=90°，

∴∠DEF+∠BEG=180°-90°=90°，又∠EBG+∠BEG=90°，

∴∠DEF=∠EBG；

（2）AB∥EF，理由如下：

∵EF平分∠AED，

∴∠AEF=∠DEF=，

∵∠EBG=∠A，∠DEF=∠EBG，

∴∠A=∠AEF，

∴AB∥EF．

【点睛】本题考查平行线的判定定理，同角（或等角）的余角相等，角平分线的有关证明．能根据同角（或等角）的余角相等完成角度之间的转化是解题关键．

23．（1）；（2）是直角三角形，理由见解析．

【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数．

（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．

【详解】解：（1）中，，，

，

又平分，

，

即；

（2）是直角三角形，

理由：于点D，，

，

又，

，

又，

，

是直角三角形．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．

24．(1)见解析

(2)

【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；

（2）设点到直线的距离为，根据等面积法可得，代入计算即可得出的值，即可得出答案．

【详解】（1）证明：因为已知，

所以CE∥BF（同位角相等，两直线平行），

因为已知，

所以垂直的性质，

所以垂直的定义，

又因为平角的定义．

即，

又因为，

所以同角的余角相等，

所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

（2）解：因为，且，，．

设点到直线的距离为．

所以，

所以，

即，

所以点到直线的距离为．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．

25．(1)；

(2)，，

【分析】（1）根据已知条件易求，再利用直角三角形的性质可求解，的度数，由角平分线的定义可求解的度数，根据三角形的内角和定理可求解的度数；

（2）类比（1）的推理方式可求解．

【详解】（1）解：，，

，