概率论与数理统计课件

工程随机数学

第15讲平稳随机过程1工程随机数学

第15讲平稳随机过程1第十二章平稳随机过程12.1平稳随机过程的概念12.2各态历经性12.3相关函数的性质12.4平稳随机过程的功率谱密度2第十二章平稳随机过程12.1平稳随机过程的概念2在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因而我们在任何时间进行测试都能得到相同的结果。例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。3在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计12.1平稳随机过程的概念平稳随机过程——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一、严平稳随机过程定义

设有随机过程{X(t),t∈T}，若对于任意n和任意t1<t2<…<tn，（ti∈T）时刻的n个状态的n维概率密度，不随时间平移t而变化。(t为任意值)则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。412.1平稳随机过程的概念平稳随机过程——随机过程的统计特严平稳过程的统计特性与所选取的“时间起点”无关，无论从什么时间开始测量n个状态，所得到的统计特性是完全一样的。即：X(t)与X(t+t)具有相同的概率分布及数字特征。5严平稳过程的统计特性与所选取的“时间起点”无关，无论从什么时1、严平稳过程的一维概率密度与时间无关因此有：严平稳过程的一维数字特征与时间无关61、严平稳过程的一维概率密度与时间无关因此有：严平稳过程的一2、严平稳过程的二维概率密度只与t1、t2的时间间隔

=t2-t1（时间差）有关，而与“时间起点”无关。因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差）的函数72、严平稳过程的二维概率密度只与t1、t2的时间间隔=t2要按严平稳过程的定义来判断过程是否平稳很困难。a)一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。b)另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。c)一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。8要按严平稳过程的定义来判断过程是否平稳很困难。a)一般在实99二、宽平稳过程1、定义若二阶矩过程(E[X2(t)]<∞)X(t)满足:E[X(t)]=mx←常数Rx(t,t+

)=E[X(t)X(t+

)]=Rx()←只与时间间隔有关则称过程X(t)为宽平稳随机过程（广义平稳过程）。可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。宽平稳过程如果是正态过程，则是严平稳过程。10二、宽平稳过程1、定义E[X(t)]=mx←常数则称过2、两个随机过程联合平稳

若X(t)、Y(t)为两个平稳随机过程，且它们的互相关函数仅是单变量τ的函数，即则称过程X(t)和Y(t)为“联合(宽)平稳”，“平稳相关”。112、两个随机过程联合平稳若X(t)、Y(t例1设随机过程式中皆为常数，是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。试问：X(t)是否是平稳随机过程？为什么？过程X(t)的均值为常数，解：由题意可知，随机变量的概率密度为根据定义式，求得过程X(t)的均值，自相关函数和均方值分别为12例1设随机过程可见，自相关函数仅与时间间隔τ有关，故过程X(t)是宽平稳过程。013可见，自相关函数仅与时间间隔τ有关，故过程X(t)是宽平解：1)—常数可见X1(t)是平稳过程。（也是严平稳过程）例2设两随机过程X1(t)=Y，X2(t)=tY，Y随机变量，讨论平稳性。所以X2(t)是非平稳过程。2)—非常数14解：1)12.2各态历经过程在随机过程的概率分布未知情况下，如要得到随机过程的数字特征如：E[X(t)]、D[X(t)]、Rx(t1，t2)…，只有通过做大量重复的观察试验找到“所有样本函数{

(t)}”，找到各个样本函数

(t)发生的概率，再对过程的“所有样本函数{

(t)}”求统计平均才可能得到。这在实际应用中不易实现。因此，人们想到：能否从一个样本函数

(t)中提取到整个过程统计特征的信息？19世纪俄国的数学家－辛钦，从理论上证明：存在一种平稳过程，在具备了一定的补充条件（略）下，对它的任何一个样本函数

(t)所做的时间平均，在概率意义上趋近于它的统计平均。对于具有这样特性的随机过程称之为“各态历经过程”。1512.2各态历经过程在随机过程的概率分布未举例：在较长时间T内，观察一个已工作在稳定状态下的噪声二极管的输出电压。一条样本函数。其时间平均：若对

k(t)采样，将T分成n等份，则时间平均近似于n个采样值

1，…n进行的算术平均：16举例：在较长时间T内，观察一个已工作在稳定状态下的噪声二极管若在工作条件不变的情况下，对同一个噪声二极管进行k次独立的重复试验，得到k条样本函数（T时可以看成是从

k(t)上一段段截取下来的）17若在工作条件不变的情况下，对同一个噪声二极管进行k次独立的重此噪声电压的“时间平均”以概率收敛于它的“统计平均”（期望）只要T、n、k则没有任何理由说：前一方法得到的从统计的意义上看：又过程是平稳的，统计平均值是常数：又称为“均值各态历经”。比后一方法得到的大些？还是小些？18此噪声电压的“时间平均”以概率收敛于它的“统计平均”（期望各态历经过程的定义一、时间平均2）时间相关函数为1）随机过程X(t)的时间均值为19各态历经过程的定义一、时间平均2）时间相关函数为1）随机过程20202121对于一个平稳随机过程X(t)1）如果则称过程X(t)的均值具有各态历经性。2）如果

则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性。若上式τ=0时成立，则过程的均方值也具有各态历经性。3）如果过程X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称X(t)为宽（或广义）各态历经过程。二、各态历经22对于一个平稳随机过程X(t)二、各态历经2223231、各态历经过程一定是平稳随机过程（反之则不然）。241、各态历经过程一定是平稳随机过程（反之则不然）。242、均值各态历经定理.平稳随机过程的均值具有各态历经性的充要条件252、均值各态历经定理.平稳随机过程的均值具有各态历经性的充要26263、自相关函数各态历经定理。平稳随机过程的自相关函数各态历经的充要条件4、高斯平稳随机过程具有各态历经性的充分条件273、自相关函数各态历经定理。平稳随机过程的自相关函数各态历经例3已知随机电报信号X(t)，它的，，问X(t)是否均值各态历经。∴X(t)是均值各态历经的。解∵28例3已知随机电报信号X(t)，它的29293030也就是当X(t)各态历经时，我们可用一个样本函数的时间均值和时间自相关函数作为过程X(t)的数学期望、自相关函数的近似。31也就是当X(t)各态历经时，我们可用一个样本函数的时间均值和最后顺便说明，对于许多实际问题，如果要从理论上判定一个过程是否为各态历经过程，往往是比较困难。因此工程上经常都是凭经验把各态历经性作为一种假设，在后根据实验来检验这个假设是否合理。在实际应用一般不可能给出随机过程X(t)的样本函数x(t)的表达式，因此，确定各态历经过程的数学期望、自相关函数，有两种方法：一、用模拟自相关分析仪，自动画出自相关曲线。二、用数字处理方法（即近似计算方法）。32最后顺便说明，对于许多实际问题，如果要从理论上判定一个过程是如图14.6把[0,T]等分为N个长为的小区间，再在时刻，取样，得N个函数值。于是再把积分表过式表示为基本区间上的和，就有数字估计式图14.633如图14.6把[0,T]等分为N个长为类似可以写出在时的自相关函数估计式，由这个估计式可算出自相关函数的一系列近似值，从而可作出自相关函数的近似图形，见P345图14.7。34类似可以写出在时的自相关函数估12.3相关函数性质对于一个随机过程，它的基本数字特征是数学期望和相关函数，但是当随机过程为平稳过程时，它的数学期望是一个常数，经中心化后可以变为零，所以当过程X(t)平稳后其基本数字特征实际上就是相关函数。此外，相关函数不仅可向我们提供随机过程各状态间的关联特性的信息，而且也是求取随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息工具。为此下面我们专门研究一下平稳过程相关函数的性质。3512.3相关函数性质对于一个随机过程，它的基本数字特征是数相关函数性质

平稳过程的自相关函数在τ=0上的值是非负值。在下章将看到RX(0)表示平稳过程X(t)的“平均功率”。证明：同理可得，即自相关函数是变量τ的偶函数。36相关函数性质平稳过程的自相关函数在τ=0上的值是非负值即自相关函数在τ=0上具有最大值。证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即对于平稳过程X(t)代入前式，可得于是同理可得：即自协方差函数在τ=0上也具有最大值。37即自相关函数在τ=0上具有最大值。对于平稳过程X(t值得注意的是这里并不排除在其它τ≠0地方的RX(τ)也有可能出现同样的最大值。例如，随机相位正弦信号的自相关函数在，n=0，±1，±2，…时，均出现最大值38值得注意的是类似有互相关函数和互协方差函数：互相关系数自相关系数39类似有互相关函数和互协方差函数：互相关系数自相关系数394）RX(τ)是非负定的。即对于任一数组t1,t2,…,tn∈T和任意实值函数g(t)有：404）RX(τ)是非负定的。即对于任一数组t1,t2,…,5）若平稳过程X(t)满足条件P{X(t+T)=X(t)}=1，则称它是周期为T的平稳过程。周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。证明：由平稳性柯西,施瓦茨不等式415）若平稳过程X(t)满足条件P{X(t+T)=X(t)}=例：X(t)=

cos(

0t+)，在(0,2)上均匀分布,常数则自相关函数