高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题04函数与导数经典小题（十大题型）

专题04函数与导数经典小题求某点的导数值1．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三上学期期中）已知函数​，则​（

）A．​ B．1 C．​ D．5【答案】B【分析】利用导数运算求得.【详解】，令得.故选：B2．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学20222023学年高三上学期期中）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】求得函数的导数，令，即可求解.【详解】由，可得，所以，则.故选：B.求曲线上一点的切线方程3．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）函数在处的切线方程为.【答案】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点纵坐标，得到切线方程.【详解】，故，又，所以，即故答案为：4．（湖北省部分省级示范高中20222023学年高三上学期期中）已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则，曲线在处的切线方程是．【答案】【分析】根据题意求得的对称轴，结合已知函数解析式，以及导数的几何意义，即可求得结果.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，用代替，得到，故关于对称，当时，，则，所以时，，则，故，，故曲线在处的切线斜率，切点坐标为，故切线方程为，即．故答案为：；．过点的切线方程5．（黑龙江省大庆中学20222023学年高三上学期期中）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为直线过点，则，化简得切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或故选：C6．（江苏省淮安市高中校协作体20222023学年高三上学期期中）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=.【答案】或/或【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.【详解】解：∵，∴，设切点为,则,切线斜率,∴切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，∴,解得或,∴或,故答案为：或公切线问题7．（湖北省鄂北六校20222023学年高三上学期期中）若曲线和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（

）A． B． C．1 D．－1【答案】A【分析】利用导数求出曲线的切线方程，再与曲线y＝x2＋mx＋1联立，结合判别式即可求解.【详解】设，则，曲线与切线相切于，则切线方程为：①因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，联立①②：x2＋mx＋1=，所以，所以，所以，则有，解得，故选：A8．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为.【答案】【分析】先分别求出和的导数，然后设公共切点的坐标为，，根据题意有，，代入相应表达式列出方程组，解出与的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．【详解】，，则有，．设公共切点的坐标为，，则，，，．根据题意，有，解得．公切线的切点坐标为，切线斜率为2．公切线的方程为，即．故答案为：求单调区间9．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先对求导，利用导数与函数的单调性得到的单调区间与极大值点，再令求得有唯一零点，从而排除选项BCD，而选项A的图象满足的性质要求，由此得解.【详解】因为，所以，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，故的极大值点为，且，令，则，得，且，即在上有唯一大于的零点.对于B，其图象的极大值点为，矛盾，故B错误；对于C，其图象先减后增，矛盾，故C错误；对于D，其图象有两个零点，矛盾，故D错误；对于A，其图象满足上述结论，又排除了BCD，故A正确.故选：A.10．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）已知函数，则函数的单调递增区间是．【答案】【分析】利用导数法求单调区间即可【详解】函数，其定义域，则在恒成立，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.已知单调求参数11．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案.【详解】由题可知在上有解，即在上有解，设，当时，，递减，当时，，递增，故，，所以，解得，所以的取值范围是，故选：A12．（2022秋·重庆长寿·高三重庆市长寿中学校校考期中）已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数研究函数的单调性以及函数恒成立问题，令，则由对任意都有可得在上单调递增，然后利用参变量分离的方法求出的范围即可．【详解】由条件对任意都有，化为，构造，则在上单调递增，在上恒成立，，即在上恒成立，令，，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，故B，C，D错误.故选：A.求函数的极值（点）13．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）函数的极小值是（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】C【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值.【详解】解：定义域为，所以，所以当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，该值为.故选：C已知极值（点）求参数14．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）已知函数，则“有极值”是（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据极值点的定义求出的范围，验证充分性和必要性即可.【详解】定义域为,由得，令，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以当时，有极值；当时，令解得，所以在上小于0，在上大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为当时，，有极值则，令，则，，再令，则，解得，所以在单调递增，在单调递减，又，所以当时，，即，解得，综上有极值，则或或，所以有极值是的必要不充分条件，故选：B.15．（江苏省淮安市淮安区20222023学年高三上学期期中）若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导后，根据极值点的定义可确定在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.【详解】；在内有且仅有一个极值点，在内有且仅有一个变号零点；或，解得：或，综上所述：实数的取值范围为.故选：C.求函数的最值16．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知函数，，则函数的最大值为.【答案】【分析】求的导数，讨论单调性即可求出最值.【详解】解析：，当时，或，当，，此时或，当，，此时，所以函数在和单调递增，在和单调递减，又，，，所以.故答案为：.17．（湖北省襄阳市部分学校20222023学年高三上学期期中）（多选）已知函数，则（

）A．是的极小值点 B．有两个极值点C．的极小值为 D．在上的最大值为【答案】ABD【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，可判断ABC选项；利用函数的最值与导数的关系可判断D选项.【详解】因为，所以，当时，；当时，，故的单调递增区间为和，单调递减区间为，则有两个极值点，B正确；且当时，取得极小值，A正确；且极小值为，C错误；又，，所以在上的最大值为，D正确.故选：ABD.已知最值求参数18．（山东省济南市章丘区第四中学20222023学年高三上学期期中）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据题意可知，，可解得，即可求得答案【详解】由可得，因为当时，函数取得最大值，所以，解得，所以，因此当，，单调递增；当，，单调递减，故当时取最大值，满足题意，所以故选：B一、单选题1．（山东省青岛市青岛第十九中学20222023学年高三上学期期中）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递减，上单调递增，故，则，即.经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.故选：B.2．（江苏省常州市横林高级中学20222023学年高三上学期期中）如图是函数的大致图象，则函数的解析式可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由图象得函数为偶函数，判断奇偶性排除B，由排除D，然后根据AC三个选项的解析式，由导数确定其在时的单调性可得．【详解】定义域是，四个选项均符合，ACD选项中函数式里都是含有或,它们是偶函数，B选项中，，函数为奇函数，由图象关于轴对称，排除B，且时，选项A，，，因此在上递增，排除A；选项D，，不符合题意，排除D；选项C，，，时，，递增，时，，递增，时，，递减，满足题意，故选：C．3．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，求出的最小值后可得参数的取值范围.【详解】，设，则，当时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故.因为在R上单调递增，故，故，故选：D.4．（辽宁省大连市滨城联盟20222023学年高三上学期期中）已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得、再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，所以，所以，解得或；当时，，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当时，，当或时，当时，满足函数在处取得极值，所以，所以由推不出函数在处有极值，即充分性不成立；由函数在处有极值推得出，即必要性成立；故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件；故选：B二、多选题5．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）已知函数，下列说法正确的有（

）A．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解【答案】AB【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.【详解】的定义域为，.A选项，，所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.B选项，令解得，所以在区间，单调递减，B选项正确.C选项，在区间，单调递增，所以有极小值，无极大值，C选项错误.D选项，的极小值为，当时，；当时，，方程有一个解，D选项错误.故选：AB6．（安徽省合肥市庐江第五中学20222023学年高三上学期期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C．函数在区间单调递减 D．函数在处取得极小值【答案】ABD【分析】结合导函数的图象，求出函数的单调区间，从而判断各个选项.【详解】由图象知，当时，，当时，，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，函数在区间单调递增，故C错误；对于D，函数在区间单减，在区间单增，故在处取得极小值，故D正确；故选：ABD7．（2022秋·江苏南通·高三期中）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（

）A． B．只有一个零点C．有两个零点 D．有一个极大值【答案】BD【分析】令，则，于是，，根据，解出的值.然后利用导数研究函数的单调性，即可推得结论.【详解】令，则，所以，，所以，.又，则，解得.所以，.则，，且，A项错误.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.所以，在处有极大值为，且只有一个极值点，D正确.且时，有恒成立.又，所以只有一个零点，B项正确，C项错误.故选：BD.8．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）函数在区间上存在极值点，则整数的值为（

）A． B． C． D．0【答案】AC【分析】由于在区间上存在极值点，根据间接法在上无极值点，则或或，即可解决.【详解】由题知，，所以，当和时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，若在上无极值点，则或或，解得：，所以时，在区间上无极值点，所以时，在区间上存在极值点，因为是整数，故或，故选：AC.三、填空题9．（安徽省卓越县中联盟20222023学年高三上学期期中）已知函数的图象在点处的切线与直线相互垂直，则．【答案】1【分析】对求导表示出，由切线与直线相互垂直得，可求得的值.【详解】依题意，，故．因为图象在点处的切线与直线相互垂直，所以，则，解得．故答案为：110．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数，则不等式的解集为.【答案】【分析】首先判断的奇偶性，再利用导数判断的单调性，则不等式等价于，再令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而求出不等式的解集.【详解】解：定义域为，且，所以是奇函数，又，所以在上单调递增，则不等式，即，等价于，即，令，，，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减.所以,又因为需要,所以又，所以