山西省运城市永济涑北中学2019-2020学年高二3月月考数学试卷

理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A．－2B．－1C．1D．22．用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设正确的是（）A．，至少有一个为0B．，至少有一个不为0C．，全不为0D．，全为03．若函数在定义域内可导，则“函数在处导数为0”是“为的极值点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为（）A． B．C．D．5．已知复数满足，则＝（）A．B． C．5 D．106．＝（）A．B．C．D．7．已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是（）A．（－∞，1） B．（0，1）C．（，1） D．（1，＋∞）8．若函数存在极值，则实数的取值范围是（）A．（－1，1）B．［－1，1］C．（1，）D．（，－1）9．若直线经过点（8，3），且与曲线相切，则直线的斜率为（）A．B．C．或D．或10．已知，且，则（为虚数单位）的最小值是（）A． B． C． D．11．设，是方程的两个不等实根，记（），下列两个命题：①数列的任意一项都是正整数；②数列第5项为10．则（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误12．已知函数的定义域为R，导函数为，且满足＞，，则不等式＜的解集为（）A．（，0）B．（，2）C．（0，）D．（2，）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知的导函数为，且满足关系式，则的值为．14．圆上点P（，）处的切线方程为．类比此结论，椭圆（＞＞0）上点P（，）处的切线方程为．15．由曲线（x≥0）与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为．16．若关于的不等式≤有正整数解，则实数的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10)已知函数.（1）曲线上与直线平行的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的切线方程.18．（本小题满分12）已知，，均为正实数．（Ⅰ）用分析法证明：≤；（Ⅱ）用综合法证明：若＝1，则≥8．19．（本小题满分12分）在数列的前项和为，，满足（≥2）．（Ⅰ）求，，并猜想表达式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．20．（本小题满分12分）若函数，当时，函数有极值．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对任意，≥0恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数，，其中．（Ⅰ）若函数在区间（1，e）存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若对任意的，都有≥成立，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBBDBABACAAC二、填空题13．14．15．16．6三、解答题17.解（1）曲线方程为： 令，则，则曲线上与直线平行的切线的切点为：，则曲线上与直线平行的切线方程是：，即。满足题意；时，设切点则切线方程为：将点P代入可得，直线方程为：，综上，直线方程为：或。18．（Ⅰ）证明：因为＞0，＞0，所以＞0．要证明≤，只需证≤，只需证≤，只需证≥0，即证≥0．因为不等式≥0显然成立，从而原不等式成立．……5分（Ⅱ）因为，，均为正实数，则由基本不等式，得≥，≥，≥，所以≥，因为，所以≥8．…10分．19．（Ⅰ）由，得（≥2）．∵，∴，，，猜想：．………………6分（Ⅱ）证明：①当时，左边＝，右边＝，猜想成立．②假设当（）时猜想成立，即，那么，，即当时猜想也成立．根据①②，可知猜想对任何都成立．……………12分（课本上的习题）20．解：（Ⅰ），由题意得，解得，，经检验，，符合题意，故，．……5分（Ⅱ）由（1）知，，令，得或.当变化时，，的变化情况如下表：－22＋0—0＋因此，当时，有极大值，当时，有极小值，所以函数的图象大致如图所示．若有3个不同的根，则直线与函数的图象有3个交点，所以．……12分21．（Ⅰ）解：函数的定义域为R，．（1）当≤0时，因为＞0，所以＞0，函数在（，）上单调递增；……2分（2）当＞0时，由＞0，得＞，由＜0，得＜，所以，函数在（，）上单调递减，在（，）上单调递增．……5分（Ⅱ）解：（1）由（Ⅰ）知，当＜0时，在（，）上单调递增，因为＞0，＜0，所以存在（，0），使＝0．所以，当（，）时，＜0，不合题意．说明：当＜0时，＜1，则＜0，≥0不恒成立．（2）当＝0时，＞0恒成立；（3）当＞0时，＝≥0恒成立，等价于对任意，≥恒成立，令，则，当（，1）时，＞0，为增函数；当（1，）时，＜0，为减函数，所以，于是≥，所以0＜≤．综上，实数的取值范围为［0，］．……12分22．（Ⅰ）解：，其定义域为，∵＜0，∴在区间（0，）上单调递减．要使函数在区间（1，e）内存在零点，当且仅当所以实数a的取值范围为（0，）．……4分（Ⅱ）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．当［1，］时，．∴函数在上是增函数．∴．∵，．∴当时，＜0，当时，＞0，∴在（0，a）上单调递减，在（a，）单调递增．①当时，∴函数