山东省安丘市诸城市潍坊市五莲县兰山县四县市高三高考数学联考试卷（-05）

2021年山东省潍坊市安丘市、诸城市、五莲县、兰山县四县市高考数学联考试卷（5月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，以下可为A的子集的是（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，1，2}2．已知复数（i为虚数单位），则＝（）A． B． C． D．3．已知函数，若f（f（﹣1））＝18，那么实数a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知向量，，，且，则实数m的值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最完美、最平衡的组合．一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（）A．26 B．46 C．52 D．1266．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的桌面上，设水面截底面得到的弦AB所对的圆心角为θ，则（）A． B． C． D．7．如图，F1，F2是双曲线l：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若＝5，M为PQ的中点，且⊥，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．28．关于函数，x∈（0，+∞）的性质，以下说法正确的是（）A．函数f（x）的周期是2π B．函数f（x）在（0，π）上有极值 C．函数f（x）在（0，+∞）单调递减 D．函数f（x）在（0，+∞）内有最小值二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖；乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的；丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符，已知有两人获奖，则获奖者可能是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁10．a，b为实数且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A． B．2021a﹣1＞2021b﹣1 C． D．11．已知函数，则有（）A． B． C．是函数f（x）图象的对称中心 D．方程f（x）＝log2πx有三个实根12．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE＝，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F﹣ABC，取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是（）A．BC⊥面OFM B．AC与面OFM所成的角为定值 C．三棱锥F﹣COM体积为定值 D．若平面BCF⊥平面ABC，则三棱锥F﹣ABC外接球体积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个满足f（x）＝f（2﹣x）的奇函数f（x）＝．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2+n＝4，则＝．15．已知数列{an}的首项a1＝1021，其n前项和Sn满足Sn＝﹣Sn﹣1﹣n2，则a2021＝．16．从抛物线x2＝4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b＝3，△ABC的面积为3，___，求a．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝2，当n≥2时，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+1．（1）求证：当n≥2，an+1﹣an为定值；（2）把数列{an}和数列中的所有项从小到大排列，组成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100．19．为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表：周末运动时间t（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）人数300600900450450300（1）从周末运动时间在[70，80）的学生中抽取3人，在[80，90]的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自[70，80）的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为：周末运动时间t服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝2）（精确到0.001）；参考数据1：当t～N（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜t＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜t＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜t＜μ+3σ）＝0.9973．8≈2≈0.033．20．已知多面体EF﹣ABCD中，ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥CD，BC⊥CD，，，BD＝2．（1）证明：AE⊥BF；（2）求平面BEF与平面BCE所成锐二面角的余弦值．21．椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆短轴上的一个顶点，PF1的延长线与椭圆相交于G，△PGF2的周长为8，|PF1|＝3|GF1|．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E外一点A作矩形ABCD，使椭圆E与矩形ABCD的四条边都相切，求矩形ABCD面积的取值范围．22．已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}，以下可为A的子集的是（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，1，2}解：A＝{x∈N|x2﹣x﹣6＜0}＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2}⊆{0，1，2}，故选：C．2．已知复数（i为虚数单位），则＝（）A． B． C． D．解：复数（i为虚数单位），∴﹣1＝﹣﹣i，则＝＝，故选：A．3．已知函数，若f（f（﹣1））＝18，那么实数a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵函数，f（f（﹣1））＝18，∴f（﹣1）＝3+1＝4，f（f（﹣1））＝f（4）＝4a+2＝18，解得a＝2．故选：C．4．已知向量，，，且，则实数m的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1解：∵向量，，，∴﹣＝（2，1﹣m）．∵，∴（﹣）•＝2×2+（1﹣m）×4＝0，求得m＝2，故选：C．5．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最完美、最平衡的组合．一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（）A．26 B．46 C．52 D．126解：由于1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，第一类：当1，2号和3，4号在同一组时，有C61＝6种，第二类：当1，2号和3，4号不在同一组时，有C63＝20种，故共有6+20＝26种．故选：A．6．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的桌面上，设水面截底面得到的弦AB所对的圆心角为θ，则（）A． B． C． D．解：设圆柱体底面半径为r，高为h，则水的体积为，水平放置后，水的体积为，所以＝，解得．故选：D．7．如图，F1，F2是双曲线l：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若＝5，M为PQ的中点，且⊥，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2解：连接F2P，F2Q，设|F1P|＝t，则由题意可得|PM|＝|MQ|＝2t，因为P，Q为双曲线的点，所以|F2P|＝t+2a，|F2Q|＝5t﹣2a，因为M为PQ的中点，且，所以|F2P|＝|F2Q|，所以t+2a＝5t﹣2a，所以t＝a，所以|F1P|＝a，|PM|＝|MQ|＝2a，|F2P|＝|F2Q|＝3a，在直角三角形PMF2中，cos∠MPF2＝＝，所以在三角形PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝﹣，所以可得2c2＝7a2，即e＝，故选：A．8．关于函数，x∈（0，+∞）的性质，以下说法正确的是（）A．函数f（x）的周期是2π B．函数f（x）在（0，π）上有极值 C．函数f（x）在（0，+∞）单调递减 D．函数f（x）在（0，+∞）内有最小值解：对于A选项：，选项A错误；对于B选项：，令G（x）＝xcosx﹣sinx．则x∈（0，π）时G′（x）＝﹣xsinx＜0，G（x）单调递减，又G（0）＝0，故在该区间G（x）＜0．而x2＞0，则x∈（0，π）时，f′（x）＜0．故x∈（0，π）函数f（x）单调递减没有极值，选项B错误；对于C选项：，即存在函数单调递增的点．选项C错误；对于选项D：，．故在x∈（π，2π）存在一点x0，使得f′（x0）＝0，且f（x0）为函数的极小值，故函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个极小值，且其在（0，+∞）定义域时连续不断地，因此也存在最小值，选项D正确．故选：D．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖；乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的；丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符，已知有两人获奖，则获奖者可能是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁解：若选A，甲的预测不对，乙的预测对，丙的预测不对，丁预测的对，满足条件；若选B，甲的预测对，乙的预测不对，丙的预测对，丁的预测对，不满足条件，所以不选B；若选C，甲的预测不对，乙的预测对，丙的预测不对，丁的预测对，满足条件；若选D，甲的预测不对，乙的预测对，丙的预测不对，丁的预测不对，不满足条件，所以不选D．故选：AC．10．a，b为实数且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A． B．2021a﹣1＞2021b﹣1 C． D．解：A：∵a＞b＞0，∴＜，∴A错误，B：∵a＞b，∴a﹣1＞b﹣1，又∵y＝2021x在R上为增函数，∴2021a﹣1＞2021b﹣1，∴B正确，C：∵a＞b＞0，∴a+b+2﹣2﹣2＝a+2+1+b+2+1＝+＞0，∴C正确，D：∵a＞b＞0，∴+＞2＝，＜＝，∴+＞，∴D正确．故选：BCD．11．已知函数，则有（）A． B． C．是函数f（x）图象的对称中心 D．方程f（x）＝log2πx有三个实根解：＝sin（+x）+sinx＝cosx+sinx＝2（cosx+sinx）＝2sin（x+），对于A，f（）＝2sin（+）＝2≥2sin（x+）＝f（x），故选项A正确；对于B，f（+x）＝2sin（x+）＝2cosx，f（﹣x）＝2sin（﹣x）＝2cosx，可得，故选项B正确；对于C，f（）＝2sin（+）＝2sinπ＝0，可得是函数f（x）图象的对称中心，故选项C正确；对于D，在同一坐标系中，作出函数f（x）＝2sin（x+）以及g（x）＝log2πx的图象，如图所示，由图象可知，函数y＝f（x）与y＝g（x）图象的交点超过3个，故方程f（x）＝log2πx的实根超过3个，故选项D错误．故选：ABC．12．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE＝，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F﹣ABC，取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是（）A．BC⊥面OFM B．AC与面OFM所成的角为定值 C．三棱锥F﹣COM体积为定值 D．若平面BCF⊥平面ABC，则三棱锥F﹣ABC外接球体积为解：对于A，因为O是BC的中点，M是AC的中点，所以MO∥AB，∠B＝∠F＝90°，可得BC⊥OM，由△BCF为等腰直角三角形，可得BC⊥OF，又MO∩FO＝O，MO，FO⊂平面OFM，所以BC⊥平面OFM，故选A正确；对于B，由选项A可得，AC与平面OFM所成的角为∠OMC＝60°，为定值，故选项B正确；对于C，△COM的面积为定值，但三棱锥F﹣COM的高会随着F点的位置移动而变化，故选项C错误；对于D，因为平面BCF⊥平面ABC，平面BCF∩平面ABC＝BC，FO⊂平面BCF，所以FO⊥平面ABC，又OM⊂平面ABC，所以OM⊥FO，又BC＝DE＝，∠A＝60°，所以FO＝＝，又AB＝1，则OM＝，所以MF＝，在直角三角形ABC中，MA＝MB＝MC＝，则MA＝MB＝MC＝MF，所以点M为三棱锥F﹣ABC外接球的球心，因此该外接球的体积为，故选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个满足f（x）＝f（2﹣x）的奇函数f（x）＝（答案不唯一）．解：根据题意，要求f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），即函数f（x）关于直线x＝1对称，又由f（x）为奇函数，则f（x）可解析式可以为f（x）＝；故答案为：（答案不唯一）．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2+n＝4，则＝2．解：∵m＝2sin18°，∴由m2+n＝4，得n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4cos218°，则＝＝＝＝2，故答案为：215．已知数列{an}的首项a1＝1021，其n前项和Sn满足Sn＝﹣Sn﹣1﹣n2，则a2021＝﹣999．解：由题知，Sn﹣Sn﹣1＝﹣n2，则Sn﹣1+Sn＝﹣（n+1）2．两式作差得：an+1+an＝（﹣n+1）2﹣（﹣n2）＝﹣2n﹣1．整理得an+1+（n+1）＝﹣（an+n）．所以{an+n}是以a1+1＝1022为首项，﹣1为公比的等比数列．∴a2021+2021＝1022×（﹣1）2020＝1022．则a2021＝﹣999，故答案为：﹣999．16．从抛物线x2＝4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，﹣1），则，又∵，，∴，则．由x2＝4y，得，∴，∴切线PA的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2＝（x﹣x2），即切线PA的方程为y﹣＝（x﹣x1），即；切线PB的方程为y﹣＝（x﹣x2），即．∵点P（x0，﹣1）在切线PA、PB上，∴，，可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4＝0的两个根，∴x1+x2＝2x0，得．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b＝3，△ABC的面积为3，___，求a．解：若选①因为，由正弦定理得，所以sinA＝cosA，A∈（0，π），所以，，且b＝3，得，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，解得．若选②因为，由正弦定理得，所以，因为A∈（0，π），所以，，且b＝3，得，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，解得．若选③因为，，得，因为A∈（0，π），所以，，且b＝3，得，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，解得．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝2，当n≥2时，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+1．（1）求证：当n≥2，an+1﹣an为定值；（2）把数列{an}和数列中的所有项从小到大排列，组成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100．【解答】证明：（1）当n＝2时，S3+S1＝2S2+1，即a1+a2+a3+a1＝2（a1+a2）+1，得a3＝3，当n≥2时，因为Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+1，所以Sn+2+Sn＝2Sn+1+1，两式相减得an+2+an＝2an+1，所以an+2﹣an+1＝an+1﹣an，所以{an+1﹣an}是以a3﹣a2为首项，以1为公比的等比数列；a3﹣a2＝1，所以an+1﹣an＝1，所以（2）数列{an}前100项为2，2，3，4，5，…，100，数列为22，22，23，24，…，2n，所以数列{cn}前100项含有数列的项为22，22，23，24，25，26共六项，所以＝．19．为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表：周末运动时间t（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）人数300600900450450300（1）从周末运动时间在[70，80）的学生中抽取3人，在[80，90]的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自[70，80）的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为：周末运动时间t服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝2）（精确到0.001）；参考数据1：当t～N（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜t＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜t＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜t＜μ+3σ）＝0.9973．8≈2≈0.033．解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，，X012P所以．（2），﹣14.6＝μ﹣σ×2＝μ+2σ，所以，所以P（t≤μ﹣σ或t＞μ+2σ）＝1﹣0.8186＝0.1814，所以Y～B（10，0.1814），所以≈45××≈0.300．20．已知多面体EF﹣ABCD中，ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AB∥CD，BC⊥CD，，，BD＝2．（1）证明：AE⊥BF；（2）求平面BEF与平面BCE所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为BD＝2，，BC⊥CD，由勾股定理，可得，因为，所以，因为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，所以△BCD∽△ADB，因为BC⊥CD，所以BD⊥AD，又因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，所以BD⊥平面ADEF，由AE⊂平面ADEF，可得AE⊥BD．在正方形ADEF中，有DF⊥AE，BD⊂平面BDF，DF⊂平面BDF，BD∩DF＝F，AE⊥平面BDF，BF⊂平面BDF，所以BF⊥AE；（2）解：以DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，可得B（0，2，0），E（0，0，1），F（1，0，1），，，，，设平面BEF的法向量为，平面BCE的法向量，由可得令y1＝1，得到，可得令x2＝1，可得，，所以平面BEF与平面BCE所成锐二面角的余弦值为．21．椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆短轴上的一个顶点，PF1的延长线与椭圆相交于G，△PGF2的周长为8，|PF1|＝3|GF1|．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E外一点A作矩形ABCD，使椭圆E与矩形ABCD的四条边都相切，求矩形ABCD面积的取值范围．解：（1）由△PGF2的周长为8，可得4a＝8，a＝2，由|PF1|＝3|GF1|且G在PF1的延长线上，得，设G（x0，y0），则，，，（不妨设P为上顶点），由，解得c2＝2，所以b2＝2，椭圆E的方程为；（2）设四边形ABCD面积为S，当四边形ABCD的一边与坐标轴平行时，为矩形，，当四边形ABCD的各边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边AB所在直线方程为y＝kx+m，则对边所在直线CD方程为y＝kx﹣m，则另一边AD所在直线方程为，则BC所在直线方程为，联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2﹣2）＝0，得△＝16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣2）＝0，m2＝4k2+2，同理，矩形一边长，矩形另一边长，矩形面积：．因为，所以．综上得．22．已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e…为自然对数的底数．（1