人教版八年级数学上册 （等腰三角形）轴对称课件(第1课时)

八年级上册等腰三角形第1课时

1、理解并掌握等腰三角形的性质；2、经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；学习目标3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力.1.等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍，则该三角形的底边长是________cm，腰长是__________cm。2.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）

A、20cmB、22cmC、20cm或22cmD、都不对3.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）A、110°B、55°C、35°D、以上都不对4.已知等腰三角形的一个外角等于130°，那么底角的度数是（）A、50°B、65°C、50°或65°D、以上都不对714CCC预习反馈探究点一问题1：如下图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的三角形有什么特点？操作结论：剪刀剪过的两条边_______，即△ABC中的边____=_____，所以得到的三角形是_______三角形。等腰三角形的定义：有_________相等的三角形是等腰三角形等腰三角形中相等的两边叫做________，另一边叫做_________，两腰所夹的角叫做_________，底边与腰的夹角叫__________。相等ABAC等腰两条边腰底边顶角底角合作探究探究点一问题2：如图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？重合的角

，重合的线段

.

1、通过操作可以得到等腰三角形的以下性质：性质1等腰三角形的两个_______相等（简写“等边对等_____”）数学符号表示：在△ABC中，∵AB=AC∴∠_____=∠_____∠B、∠CAB、AC底角角BC合作探究探究点一问题2：如图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？性质2等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合（简写成“三线合一”）（1）等腰三角形底边上的高AD，既是底边上的

，又是顶角

；即在等腰△ABC中，AB=AC，∵AD⊥BC，∴____=____，∠_____=∠_____；平分中高中线平分线BDCDBADCAD合作探究（2）等腰三角形的底边上中线AD，既是底边上的

，又是顶角

.

即在等腰△ABC中，AB=AC，∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____；（3）等腰三角形的顶角的平分线AD，既是底边上的

，又是底边上的

，即在等腰△ABC中，AB=AC，∵AD是角平分线，∴_____=_____，____⊥____。中线平分线ADBCBADCAD合作探究中线高BDCDADBC你能利用三角形全等来证明性质1（等边对等角）吗？（你有几种方法？）已知：如图△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C证明：∵在△BAD与△CAD中AB=ACBD=CDAD=AD∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠B=∠C证明2：作BC的垂线AD，垂足为D，则△ADB与△ADC是直角三角形因为AB=AC，AD=AD所以△ADB≌△ADC全等（HL）所以∠B＝∠C证明3：作∠A的平分线AD因为AB＝AC，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD，所以△ABD≌△ACD所以∠B＝∠C合作探究探究点二问题2：证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗?请证之。方法1.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD．证明：因为AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°，因为AB=AC，AD=AD，所以直角△ABD全等直角△ACD,所以BD=CD，∠BAD=∠CAD．合作探究探究点二问题2：证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗?请证之。方法2.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．因为AB=AC，AD=AD，BD=CD，所以△ABD≌△ACD，所以∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．合作探究探究点二问题2：证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗?请证之。方法3.已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，BD=CD．因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD，所以∠ADB=∠ADC，BD=CD，因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．合作探究例1如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数解:设∠C=x∵AB=AC∴∠ABC=∠C=x,∠A=180°-2x∵BD=BC=AD∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=x∵∠BDC是△ABD的外角,∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A即x=360°-4x∴x=72°则∠ABC=∠C=72°,∠A=36°例题解析例2：如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?请给出证明.(2)过C点作AB边上的高CG,请问DE,DF,CG的长度之间存在怎样的关系?并加以证明.解:(1)当D为BC的中点时,DE=DF.∵D为BC的中点,∴BD=CD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.(2)CG=DE+DF.连接AD,∵S△ABC=S△ADB+S△ADC,∴AB×CG=AB×DE+AC×DF,又AB=AC,∴CG=DE+DF.例题解析1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(

)A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(

)

A．36°B．54°C．18°D．64°BB随堂检测AB3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于(

)

A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(

)

A．50°B．100°C．120°D．130°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(

)A．BD＝CEB．AD＝AEC．DA＝DED．BE＝CD6．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝_________．7．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48°，则∠D＝_______．C45°66°5题图6题图7题图

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中所有全等的三角形，并选择其中的一对全等三角形加以证明．解：相互全等的三角形有△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD以△ABE≌△ACE为例，证明如下：∵AB=AC∵AD为角平分线，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）1.等腰三角形的定义2.等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）课堂小结书面作业：完成相关书本作业布置作业八年级上册等腰三角形第2课时

1、通过探索、归纳、验证等腰三角形的判定定理，学会应用等腰三角形的判定定理；2、提高利用已有知识解决实际问题的能力.学习目标1.下列图形中，不是轴对称图形的是()A.有一个角等于45°的直角三角形B.有两个角分别等于37°、106°的三角形C.有两个角相等的三角形D.有一个角是36°的直角三角形2.如果一个三角形的一内角平分线垂直对边，那么这个三角形一定是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形DA预习反馈3.一个三角形三个外角的度数之比为3:2:3，那么这个三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三形D.是直角三角形但不是等腰直角形4.已知等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的底角为()A.70°B.55°C.35°D.70°或55°5.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形一共有()A.3个B.4个C.5个D.6个CDD探究点一问题1：如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC（提示：添加辅助线，利用三角形全等的方法来证明）证明：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.∴∠ADB=∠ADC=90°又∵∠B=∠CAD=AD∴△BAD≌△CAD(AAS)∴AB=ACD等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成：“等角对等边”）合作探究探究点一问题2：等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是已知三角形是等腰三角形,得出等腰三角形的性质判定根据已知条件,判定所给三角形是等腰三角形.性质定理和判定定理是互为逆定理.合作探究合作探究探究点二问题1：问题1：你能证明如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形吗？已知：如图∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC。求证：AB=AC证明：∵AD∥AC∴∠1=∠B∠2=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC探究点二问题2：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点.(1)写出点D到△ABC的三个顶点A,B,C的距离关系(不要求证明);(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论.解:(1)DA=DB=DC.(2)△DMN为等腰直角三角形.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°,又∵D为BC的中点,∴AD平分∠CAB,∴∠CAD=45°.在△ADN和△BDM中,∴△ADN≌△BDM(SAS),∴DM=DN,∠NDA=∠BDM.∵∠BAD=45°,∠B=45°,∴∠ADB=90°.∴∠NDM=∠NDA+∠ADM=∠BDM+∠ADM=∠ADB=90°,∴△DMN是等腰直角三角形.合作探究探究点三问题：已知等腰三角形底边长为，底边上的高长为h，求作这个等腰三角形。作法：1.作线段AB=______.2.作线段AB的垂直平分线_______，与AB相交于点

.3.在MN上取一点C，使DC=

.4.连接

，

，则△ABC即为所求作的等腰三角形.aMNDhACBC合作探究1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(

)A．2B．3C．4D．52．如图，∠A＝36°，∠ADB＝108°，则图中等腰三角形共有(

)

A．1个B．2个C．3个D．4个AC随堂检测3．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是(

)

A．AB＝EBB．AD＝DCC．AD＝EDD．AD＝ECB4．用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，∠α.求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝α.BAC5．如图，锐角三角形的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB∵∠CEB=∠BDC=90°∴∠DCB=∠EBC∴AB=AC△ABC是等腰三角形6．已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC.求证：AB＝AC.证明：∵DE＝DC∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，∵AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠C=∠E，又∵∠E=∠B．∴∠C=∠B