人教版九年级数学上册 （垂直于弦的直径）教育教学课件

24.1.2垂直于弦的直径人教版数学九年级上册第二十四章圆

前言学习目标1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；2．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。重点难点重点：垂径定理及应用。难点：垂径定理的证明。

把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴探究你能证明刚才的结论吗？·OADECB如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形而OE⊥AB∴AE=EB即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,因此⊙O关于直线CD对称。探究圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。·OADECB【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？线段：AE=BE⌒⌒即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒小结垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．符号语言：∵①CD是直径，②CD⊥AB

∴③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD.⌒⌒⌒⌒·OAECDB垂径定理（*）

平分弦的直径垂直于这条弦吗？情况一：弦是直径情况二：弦不是直径OCDAB·OAECBD利用图形轴对称的性质，可以证明情况二成立思考平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.∵①CD是直径②AE=BE且AB不是直径符号语言：∴③CD⊥AB，④AC=BC，⑤AD=BD.⌒⌒⌒⌒OCDABE垂径定理的推论（*）1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).【解题关键】将实际问题转化为几何问题。情景思考1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒⌒⌒3718.5RR-7.23

思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距），结合勾股定理，建立方程。情景思考半径半弦弦心距

弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．半径、半弦、弦心距之间如图，在⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为4cm，求⊙O的半径．AB.OE34解：

在Rt△AOE中

,,(垂径定理）过圆心O作OE⊥AB于E，.试一试变式一：半径为4cm的⊙O中，弦AB=2cm,那么圆心O到弦AB

的距离是

.ABOEABO

6cmE变式二：⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离OE=4cm，则弦AB的长是

.1454

试一试变式三：如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是

.253试一试变式四：如图，⊙O的直径CD⊥AB于E，AB＝12cm，DE＝2㎝，求⊙O的半径.62rr-2DCABEO解方程过程略试一试3r9-r变式五：如图，⊙O的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.求⊙O的半径.DCABEO解方程过程略试一试1．如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（）A.2m B.2.5m C.3m D.5m【答案】B【详解】设这个门拱的半径为r，则OB=r−1，∵CD=4m，AB⊥CD，∴BC=CD=2m，在Rt△BOC中，∵BC+OB=OC,即2+(r−1)=r，解得r=2.5m.故选B.课堂测试2．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（）A.4m B.5m C.6m D.8m

课堂测试

H课堂测试感谢各位的聆听指导人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径

第1课时

如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？动手探究·O结论圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.动手探究你能证明圆是轴对称图形吗？动手探究证明：连接OA，OA

′．在△OAA

′中，∵OA=OA

′，∴△

OAA

′是等腰三角形.又AA

′⊥CD，∴AM=MA

′，即CD是AA

′的垂直平分线．动手探究动手探究对于圆上的任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A

′，因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？探究新知如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？探究新知设直径CD与弦AB垂直于点E（如图），在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？·OABCDE，，．探究新知如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.探究新知CD是⊙O的直径

CD⊥AB于点E垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．∵CD是⊙O的直径，

CD⊥AB于点E,∴AE=BE,探究新知一条直线若满足：①过圆心,②垂直于弦,则③平分弦,④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．下列图形是否适合用垂径定理呢？AB⊥CD于EOE⊥AB于EOC⊥AB于ECD为直径

①过圆心，②垂直于弦．探究新知例1

如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.新知应用34解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA.在Rt△OEA中，由勾股定理，得即解得OA=5.因此，⊙O的半径为5cm.新知应用∵OE⊥AB，AB=8，

，

，34例2如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足

为E，若CE=2cm，AB=8cm,求⊙O的半径．新知应用解：连接OA．设OA=r，则OE=r-2，2新知应用解得.即因此，⊙O的半径为5cm.在Rt△OEA中，由勾股定理，得2例3

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.思路1：连接OA，OB，OC，OD．

证明△OAC≌△OBD（证明△OAD≌△OBC）．新知应用例3

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.思路2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，

根据等腰三角形的性质．还有更简单的证明方法吗？新知应用思路3：过点O作OE⊥AB于点E，

根据垂径定理．新知应用例3

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.例3

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.∵OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC＝BD．新知应用新知应用思考1

在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？归纳1

在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形.新知应用思考2

如果我们设圆的半径为，圆心到弦的距离为，弦长为，你能找到它们三者之间的关系吗？

新知应用归纳2

圆的半径，圆心到弦的距离，弦长之间的关系式为

.新知应用课堂小结1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．课堂小结2．常用的辅助线是从圆心作一条与弦垂直的

线段，连接半径，构造直角三角形．那么圆的半径

，圆心到弦的距离

，弦长

之间的关系式为

.1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，

则∠AOB=

°，点O到AB的距离为

．

布置作业1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，

则∠AOB=

°，点O到AB的距离为

．

布置作业2．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，

以C为圆心