垂直于弦的直径课件(共21张PPT)

24.1.2垂直于弦的直径

定州启明中学1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明问题.3.在研究过程中，进一步体验“实验-归纳-猜想-证明”的方法学习目标重点垂径定理及其运用．难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）X任何一条直径所在的直线都是对称轴。圆是轴对称图形一·OABCDE在你做的⊙O中画一条弦AB，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒垂径定理二你能证明吗？说理C.OAEBD叠合法证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.应用格式：归纳题设结论例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的为10cm,OE=6cm,则

cm.·OABE16一垂径定理的有关计算三解析：连接OA，

∵OE⊥AB，∴∠AEO=90°，AB=2AE∴AB=2AE=16cm.∴cm.半径AB=AB半径为61例2

如图，⊙

O的弦AB＝8cm

，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，垂径定理的有关计算三方程思想例3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO垂径定理的有关计算三

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.⌒⌒垂径定理的推论四思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结试一试挑战自我判断：⑴垂直于弦的直径平分这条弦．（）⑵平分弦的直径垂直于这条弦.（)√×ABCDO定理及推论，总结：一条直线只需满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧

上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?学以致用五

例2赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).37米7.23米解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2

在Rt△OAD中OA²=AD²+OD²垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结有你哪些收获？还有哪些疑惑？当堂达标1.在⊙O中，r=13，弦AB=24，则圆心O到AB的距离为

()A.5B.10C.12D.13.ABO2.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为()

A.12B.18C.20D.24.CDOMAB3.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的最小值是________..ABOM4.已知⊙O的半径是10cm，弦