专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题3.5直线与双曲线的位置关系【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断直线与双曲线的位置关系】 2【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 3【题型3双曲线的弦长问题】 6【题型4双曲线的“中点弦”问题】 9【题型5双曲线中的面积问题】 11【题型6双曲线中的定点、定值、定直线问题】 17【题型7双曲线中的最值问题】 22【知识点1直线与双曲线的位置关系】1．直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.

①代入②得.

当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当0，即时，=.

>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；

=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；

<0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件>0x1+x2<0x1【题型1判断直线与双曲线的位置关系】【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线y=32x+2与双曲线x24-y29=1A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x=-136【解答过程】由y=32x+2x所以x=-又双曲线x24y=3所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选：B.【变式1-1】（2023·高二课时练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【解题思路】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.【解答过程】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.故选：B.【变式1-2】（2023·高二课时练习）过点P（4，4）且与双曲线x216-A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解题思路】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论．【解答过程】解；双曲线方程为：x2当k不存在时，直线为x＝4，与x216-y当k存在时，直线为：y＝k（x﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：9-16k（1）若9-16k2＝0，k=±34时，y＝±34（x﹣4）所以与双曲线只有1个公共点，（2）k≠±34时，即k=2532，此时直线y=2532（x﹣4）综上过点P（4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故选：D.【变式1-3】（2022·高二课时练习）直线y=2x+m与双曲线A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点【解题思路】联立方程组得m2+4mx+1=0，当m=0【解答过程】将y=2x+m当m=0时，x当m≠0时，x故选：C.【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线y=kx-1与双曲线xA．±33 B．±233 C．±1或±【解题思路】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出k的值即可【解答过程】因为双曲线C的方程为x24-由y=kx-1①当1-k2=0即k=±1②当1-k2≠0即k≠±1时，由此时直线l双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的k的所有取值为±1或±2故选：D.【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线l：y=k(x-A．k≤-1或k≥1 BC．-2<k【解题思路】已知直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点，将直线l：y=【解答过程】联立y=k(x-因为直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点，所以方程(1-k所以1-k2≠0-4所以k的取值范围为-1<故选：D．【变式2-2】（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：y=-12x+m与曲线C：A．-22,0C．-2,0∪0,2【解题思路】依题意作出曲线C的图象，作出直线y=-12x的图象，平行移动直线y=-12x，即可得到当直线l介于y=-【解答过程】当x≥0时，曲线C的方程为x216当x<0时，曲线C的方程为y24-x作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线y=-12x平行的直线，平行移动直线如图可知，当直线l介于直线y=-12x和l1（l1与设l1的方程为y=-12x联立x216+y2由Δ=4m02-故m的取值范围为0,22故选：B．【变式2-3】（2023·高二课时练习）若过点P0,1的直线l与双曲线E:x2－y2A．(1，2) B．[-2，－1]【解题思路】由题意设直线l的方程，与双曲线方程联立消y得关于x的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出k的取值范围【解答过程】由题意可得直线l斜率存在，设直线l的方程为y=设交点A(联立y=kx+1由题意可得1-解得：-2故选：D．【知识点2弦长与“中点弦问题”】1．弦长问题①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.2．“中点弦问题”“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.3．双曲线的第二定义平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.【题型3双曲线的弦长问题】【例3】（2022·全国·高二专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：x22－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（A．22 B．23C．33 D．43【解题思路】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求AB；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.【解答过程】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由y=k(x-4)+2,x22-y2=1消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以所以x1x2＝-32k所以|AB|＝1+k2·(x1故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x122x222①－②得12(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝y1-y2x1-x2＝由y=x-2,x22-y2=1消去y所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝1+k2·(x1故选：D.【变式3-1】（2022·全国·高二假期作业）过双曲线x2-y22=1的一个焦点作直线交双曲线于A，A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解题思路】右焦点为3,0，斜率不存在时直线AB的方程为x=3斜率不存在时设Ax1,y1，Bx【解答过程】双曲线x2-y当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=代入双曲线x2-y22当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y代入双曲线x2-y设Ax1,y1，BΔ=所以AB=4=两边平方可得：6k2=3所以斜率存在且满足条件的直线有2条，所以共有3条，故选：C.【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=2x，过其左焦点A．25 B．45 C．10 D【解题思路】根据渐进线方程得出ba=2,再根据焦点得出c=3,结合c2=a2+b2,可求出双曲线的标准方程,【解答过程】∵双曲线C：x2a2∴ba=2，即b=2a，∴c2=a2+b∴双曲线方程为x2-y22设Ax1,y1消y可得x2+43x+7=0，∴AB=故选:C.【变式3-3】（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若AB=5，则CD=（A．27 B．26 C．35 D．【解题思路】由已知条件可得渐近线方程为y=±x，双曲线方程x2a2-y2a2=1(【解答过程】设双曲线方程为x2a2因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以a=b所以双曲线方程为x2a2所以直线方程为y=3(设A(x1,y8x所以x1所以AB=解得a2=4，得所以双曲线方程为x24-直线方程为y=3(由y=xy由y=-xy所以CD=故选：C.【题型4双曲线的“中点弦”问题】【例4】（2023·高二课时练习）已知双曲线方程x2-y23=1，则以A．6x+y-11=0 B．6x【解题思路】利用点差法可求得直线l的斜率，利用点斜式可得出直线l的方程.【解答过程】设直线l交双曲线x2-y23=1于点由已知得x12-所以，y1-y2x故直线l的斜率为y-1=6x-故选：B.【变式4-1】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：x2-y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，直线l与C相交于A，BA．-1 B．1 C．2 D．【解题思路】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l的斜率.【解答过程】因为双曲线的标准方程为x2所以它的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为所以焦点到渐近线的距离d=bcb2+所以双曲线的标准方程为x2设A(x1,y1),①-②得，(x化简得(x1因为线段AB的中点为N1,2，所以x代入③，整理得x1显然x1≠x2,故选：B.【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点A，B在双曲线x2-y2=3上，线段AB的中点为MA．25 B．45 C．210【解题思路】首先结合已知条件，利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.【解答过程】不妨设A(x1从而x12-由两式相减可得，(x又因为线段AB的中点为M1,2，从而x1+故y1-y2x直线AB的方程为：y-2=1将y=12x+从而x1+x故AB=故选：C.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2-y22=1，过点P1,1的直线l与该双曲线相交于A,BA．2x-yC．2x-【解题思路】设Ax1,y1,Bx2,y2【解答过程】解：设Ax1,y1x若P是线段AB的中点，则x1+x2=2,y1所以直线AB方程为：y-1=2但联立x2-y22=12x故选：D.【题型5双曲线中的面积问题】【例5】（2023秋·全国·高二期中）设A，B为双曲线x2-y22=1(1)直线AB的方程；(2)△OAB的面积(【解题思路】（1）设点代入方程，相减结合中点坐标公式得到直线斜率，得到直线方程.（2）联立方程解得交点坐标，计算点到直线的距离和弦长，得到面积.【解答过程】(1)设A(x1，y1)，B(x∵AB中点为M(1,2)，∴x∴2(x1-∴直线方程为y-2=(2)可知直线AB的方程为y=x+1，代入x解得x1=-1，x2=3，∴AB点O到直线AB的距离d=12【变式5-1】（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线E:x2a2-y2b(1)求E的方程；(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与E的右支分别交于A，C两点和B，D【解题思路】（1）根据题意得到ba=12，结合（2）设直线l1:y=kx-5，l2:y=-【解答过程】（1）由题意，得E:x2因为双曲线E的渐近线方程为y=±x2，所以b又因为F1F2=2a故E的方程为x2（2）根据题意，直线l1，l2的斜率都存在且不为设直线l1:y=k因为l1，l2均与E的右支有两个交点，所以k>12将l1的方程与x24设Ax1,y1所以AC=1+用-1k替换k，可得所以SABCD令t=k2则SABCD当1t=1故四边形ABCD面积的最小值为329【变式5-2】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）已知双曲线C的离心率为2，右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，点M为第二象限内的动点，过点M作双曲线C左支的两条切线，分别与双曲线C的左支相切于两点P，Q，已知MA，MB

(1)求双曲线C的方程；(2)直线PQ是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.(3)设△APQ和△BPQ的面积分别为S1和S2参考结论：点Rx0,y0为双曲线x【解题思路】（1）由条件确定双曲线的焦点位置，设其方程，再列出关于a,（2）设Mx,yx<0,y>0，由条件MA，MB的斜率之比为3:-1可得x=-12，设（3）先证明S2=3S1，设PQ【解答过程】（1）由已知双曲线C为焦点在x轴上，中心为原点的双曲线，设其方程为x2a2因为双曲线C的离心率为2，所以e=ca又双曲线C的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，抛物线y所以c=2，所以a双曲线C的标准方程为x2（2）知A-1,0，B1,0所以kMA=y因为MA，MB的斜率之比为3:-1，即3x解得x=-12，所以点M在直线设M-12,m则切线MP方程为：xx则切线MQ方程为：xx因为点M既在直线MP上又在直线MQ上，即：-12x所以直线PQ的方程为：-12x所以直线PQ过定点-2,0

（3）由（2）得直线PQ过定点N-2,0，所以，AN=1所以，点B到直线PQ的距离为点A到直线PQ的距离的3倍，所以，S2因为S1=1若直线PQ的斜率为0，则直线PQ与双曲线的左支的交点为-1,0若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x=-2直线x=-2与双曲线x2-故切线MP的方程为x-2-y=1此时点M的坐标为-12，设PQ:x=将PQ:x=3t2-方程3t2-所以，y1+y由已知x1所以ty1+所以12t23化简可得t2<1所以-33<所以t的取值范围为-所以S令n=t2+1所以S函数y=64所以6<S所以，S2-S【变式5-3】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知双曲线C:x2-y23=1，过点P2,(1)若点P恰为AB的中点，求直线l的斜率；(2)记双曲线C的右焦点为F，直线FA，FB分别交双曲线C于D，E两点，求S△FAB【解题思路】（1）根据题意，设Ax1,（2）根据题意，设AF:x=my+2，【解答过程】（1）由题意可得，设Ax1,由x12-y13其中kAB=y所以kAB⋅kOP=3（2）

设AF:x=my+2由3得y1⋅y3=从而y3=3另一方面，S△设AB:y-3-k故x1S△由直线AB交双曲线于两支可知k∈-3故S△FABS△FDE即S△【题型6双曲线中的定点、定值、定直线问题】【例6】（2023·河北张家口·统考三模）已知点P4,3为双曲线E:x2a2-y(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB【解题思路】（1）由点到直线的距离公式求出b=3，再将点P4,3代入双曲线方程求出a（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x1+x2、x1x2，再根据斜率和为1【解答过程】（1）设F1(-c,0)(c>0)到渐近线则3=|-bc|b又P(4,3)在双曲线x2a2-所以双曲线E的标准方程为x2（2）联立y=kx+tx则3-4k2≠0，Δ设A(x1则x1+x则kPA+==2kx所以2kx1所以2k所以-2整理得t2所以(t所以t-因为直线y=kx+t不过P(4,3)所以t-3-2k所以直线y=kx+t=【变式6-1】（2023·广东茂名·茂名市校考三模）已知双曲线C:x(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若双曲线C的右焦点为F，若直线EF与C的左，右两支分别交于E,D两点，过E作l:x=a【解题思路】（1）根据题意可得e=（2）设直线EF的方程x=my+2a，直线EF与双曲线C的左右两支分别交于E,D点，则m∈-∞,-33∪3【解答过程】（1）由双曲线C:x2所以e=ca所以双曲线C的渐近线方程为y=±（2）由题意可得直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程x=因为直线EF与双曲线C的左右两支分别交于E,则m∈联立x=my+2设Dx则y1+y2=-令y=0，得=5所以直线DR过定点5a【变式6-2】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知双曲线C：x2a2-y(1)求双曲线C的方程：(2)当a<b时，记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：x=my+2与双曲线C的右支交于M，N两点（异于A2），直线【解题思路】（1）根据实轴长度确定a的取值，再根据渐近线夹角确定渐近线斜率，从而确定b的取值，写出解析式；（2）首先联立直线与双曲线方程，根据韦达定理确定M，N两点坐标关系，联立方程，再利用点斜式表示出直线A1M，A2N的方程，代入T【解答过程】（1）由题知2a=2，得ba=tanπ6或b所以双曲线C的方程为C：x2-3y2（2）由（1）知，当a<b时，C：设Mx1,联立直线l与双曲线C得：x=Δ=36m2+1>0，方程的两根为y1，A1-1,0，A21,0，则A1M因为直线A1M，A2故y0=y消去y0，整理得：xx=9因此x0故点T在定直线x=【变式6-3】（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a,b>0的渐近线方程为y=±(1)求该双曲线的标准方程；(2)过x轴上一动点Pt,0作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A'（A'与B不重合），连接BA'并延长交x【解题思路】（1）根据双曲线方程设x24-y2=λ，（2）设l的方程为y=k(x-t)，Ax1,【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为y=±故可设双曲线的方程为x24设Dx0,y0，因为△所以x03=43y0所以双曲线的标准方程为x（2）由题意知直线l的斜率必存在，设l的方程为y=Ax1,y1化简得1-4k则Δ=8k由韦达定理得x1+x则直线BA'的方程为：令y=0，则=8k3【知识点3双曲线中的最值问题】1．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型7双曲线中的最值问题】【例7】（2023·山东淄博·统考三模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点【解题思路】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，则利用点A到渐近线bx-ay=0（2）方法①设点M(x0,y0)，写出直线MN方程与椭圆方程联立，利用韦达定理把MEMN，表示为点M的纵坐标的函数进行求解；方法②设直线l【解答过程】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，所以点A到渐近线bx-ay=0所以abc=32所以双曲线标准方程是：x（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为∠F1设点M(x0,设直线l的方程是：y=由y=kx+∴3k2∴-x∵-y0=-kx0+t，x0即：x0由点到直线的距离公式得：ME=直线MN方程：y-y由y=-3所以x0+xN所以y所以MN所以MEMN=6(24y0当1t=13，即y0方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设M(x0易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，记a=1,k，又l2为因为x023-y同理QF2=2代入QF1⋅化简得x0=3ky0.又x由x0=3ky0x02所以M3k3所以直线l的方程为y=kx+由点到直线的距离公式得：ME=又直线MN的斜率为-1k，且过点M，所以直线x=-将其与x23-设Nx1,y1易知点N在第四象限，所以y0y1MN=故MEMN=当且仅当3-k2=3所以当且仅当k=1时，MEMN的最大值为【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1，（a(1)求C的标准方程；(2)过点M(-2,0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B，点N在线段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P【解题思路】（1）根据题意列式求解a,（2）设直线l的方程及交点坐标，利用韦达定理求P,N的坐标，进而