2022新高考高二数学解析版

期末复习卷7B

2.已知向量3=(cosa,sina),b=(cos(a+电,sin(a+切,则向一b|=()

A.1B.V3C.2D.V5

【解答】解:向量L=(COSQ,sina),b=(cos(a+§,sin(a+^)),

则Q—Z?=(cosa-cos(a+5),sina-sin(a+5)),

所以|a—b1=(cosa-cos(a+引)2+(sina-sin(a+,))2=2-2cos--=1；

故选：A.

4.设△ABC的内角A,B,。所对的边分别是〃，b,c,设向量m=(〃，b),n=(sinB,

sinA),若771〃九，则△ABC为()

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.无法确定

【解答】解：Vm/7n,AZ?sinB-asinA=O,/.Z>2-a2=0,解得b=a.

•••△ABC为等腰三角形.

故选：C.

6.如图，四面体A3CO中，AB,BC,3。两两垂直，BC=5O=2,点E是CQ的中点，若

直线AB与平面ACD所成角的正弦值为点则点B到平面AC。的距离()

【解答】解：如图，四面体ABCD中，AB,BC,8。两两垂直，

以8为原点，BC为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系,

BC=B£>=2,点E是C£>的中点，

设8A=f,则A(0,0,f),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),

AB=(0,0,—),&=(-2,0,t),CD=C-2,2,0),

设平面AC。的法向量n=(x,y,z),

n-CA=-2x+tz=0iz->/I[2

则TT，取X=l,得a九=(L1,

n-CD=-2x+2y=0t

•.•直线AB与平面ACD所成角的正弦值为

TT

.\AB-n\21

=解得.=4,(.=-4,舍),

(-t)2.

T1T

平面ACQ的法向量Ti=(1,1,-),AB=(0,0,-4),

二点B到平面ACD的距离为：

TT

幽四=2=_4

3

iniJI-

故选：B.

>y

8.已知三棱锥P-ABC的高为1,底面△ABC为等边三角形，©1=P8=PC,且尸，A,B,

C都在体积为丁的球。的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为()

2aLr-

A.——B.V3C.3D.2b

3

327r4□327r

【解答】解：设球。的半径为R,由球的体积为一可得，-兀/?3=一,解得R=2.

333

因为三棱锥P-ABC的高/?为1,所以球心。在三棱锥外.

如图，设点。1为△ABC的外心，则0。1_L平面ABC.

在RtZXAOi。中，由40工=042-。。3且。Oi=R-〃=l,得AO1=遮.

因为△ABC为等边三角形，所以401=|71B-sin60°=亭力B,

所以4B=取AO】=3.

故选：c.

10.已知函数f(x)=4sin(3X+(P)(其中4>0,3>0,|<p|<Tt)的部分图象如图所示，则

下列结论正确的是()

TC

A.函数f(x)的最小正周期为5

B.函数/(x)的图象关于点(一各0)对称

C.函数f(x)在区间［一?刍上单调递减

D.若/(看-a)=|,则sin4a-cos4a的值为—1

T2.7157TTC

【解答】解：由函数的图象，得知：4=2,y=--=7*

43124

所以T=ir,

故3=2,

57r、

2x-^2+中=kn(Z€Z),

解得(p=/OT—詈(髭Z),

由于|(p|<n,,

所以，叩=1或一等，

故/(x)=2sin⑵+5)或/(x)=2sin⑵-系)(舍去，根据函数的图象)；

故A错误；

当x=—金时，函数满足/(x)—2sin(2A+时，/(—金)=。，故8正确；

当xe[―亨，刍时，满足/1(X)—2sin(2x+为增函数，故C错误；

对于£＞：若fG—a)=。，当/(x)=2sin(2x+着)时,2sing—2a+看)=得，

整理得：2cos2a=塔，所以cos2a=5.

sin4a-cos4a=(sin2a+cos2a)(sin2a—cos2a)=一百，故。正确.

故选：BD.

14.在我国古代数学名著《九章算术》中把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱

称为堑堵.如图，现有一堑堵ABC-AiBiCi,AB=BC=V2,AAi=V5,则线段A。的

长度为3；点M在棱BBi上运动，则△AM。的周长的最小值为」+，H_.

【解答】解：由堑堵的定义可知AB_L8C,；.AC=NAB?+BC2=2,

：.AC\=JAA^+AC2=3,

VAAMC1的周长I—MQ=AM+MC\+AC]=AM+MCi+3,

；.AM+MCi最小时，△AM。的周长最小，

将面ABB14与面8CGB1展开在一个平面内，如图：

连接AC1,与3劭的交点即为M,则此时AM+M。最小，此时A8+BC=2四,

所以AM+MCi=2+(V5)2=V13,

所以△AM。周长的最小值为3+V13.

故答案为：3,3+g.

16.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,乙4BC=120°,/A8C的平分线

交AC于点。，且8。=2,则a+9c的最小值为32

【解答】解：如图所示，

11

MIJAABC的面积为Lcsinl20°--

22

2

即ac=2a+2c,

,口22

得一+-=1,

ac

222a-ia.

得o+9c=(a+9c)(一十一)=20++詈>20+2V36=32

ac

当且仅当,即3c=a时取等号;

故答案为:32.

AA

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为小儿c,已知sinCcos-=(2-cosC)sin-.

22

(1)若cosA=|,试判断△ABC的形状;

(2)求证：h+c=2a.

【解答】解：(1)••.cosA=2cos23T=|'可得cos2：A4-14

;一=一，sinI----一，sin4=曰

25255

A2^5AV5

I.解得:cos-=-----,sin-=一

2525

AA

VsinCcos-=(2-cosC)sin-,

22

2V5g,

-----sinC=-p-(2-cosC),可得2sinC=2-cosC,

5，

3

(2sinC)2=(2-cosC)2,整理可得：5sin2C-8sinC+3=0,解得sinC=l,或g,

・••当sinC=l时，。为直角，三角形为直角三角形;

当sinC=|=cosA时，可得A+C=5,可得B为直角，三角形为直角三角形;

综上，三角形为直角三角形.

A.A

(2)VsinCcos-=(2-cosC)sin-.

22

A.AA

.*.2sinCcos?-=2(2-cosC)sin-cos-,

222

sinC(1+cosA)=(2-cosC)sinA,即sinC+sinCcosA=2sinA-sirk4cosC,

/.sinC+(sinCcoSiA+sinAcosC)=sinC+sin(A+C)=sinC+sin8=2sinA,

.\b+c=2a,得证.

20.在三棱柱ABC-45］。中，底面△ABC是等腰三角形，且NA3C=90°,侧面A531Al

是菱形，ZBAA\=60°,平面A3314_L平面8AC,点M是A41的中点.

(1)求证：CM；

(2)求直线3M与平面C31M所成角的正弦值.

【解答】解：(1)证明：以8为原点，BA为x轴，8c为y轴，过8作平面ABC的垂线

为z轴，建立空间直角坐标系，

设A8=2,则B(0,0,0),Bi(-1,0,V3),C(0,2,0),

3V3

M(-,0,——),

22

T/—T3V3

BB]=(-1,0,y/3),CM=(]，-2,-),

--33

:.BB「CM=-|+|=0,

t3,^3t

(2)解：BM=(-,0,—),CBi=(-1,-2,国)，

22

设平面CBiM的法向量蔡=(x,y,z),

n-CB,——x—2y+V3z=0

取z=2,得1=(V3,2A/3,5),

n-CM=^x-2y+^z=0

设I直线与平面CBM所成角为0,

日痴|二4点二同

则sing

\n\-\BM\闻,65

Vio

二直线8M与平面CB1M所成角的正弦值为行.

22.在四棱锥P-ABCQ中，侧面B4D_L底面A8C£),ABC。为直角梯形，BC//AD,ZADC

1

=90°,BC=CD=^AD=1,PA^PD,E,F为AD,PC的中点.

(I)求证：方〃平面BEF；

(II)若PC与48所成角为45°,求PE的长；

(III)在(II)的条件下，求二面角尸-BE-A的余弦值.

【解答】(I)证明：连接AC交BE于O,并连接EC,FO,

'JBC//AD,BC=^AD,E为A。中点，：.AE//BC,S.AE=BC.

四边形ABCE为平行四边形，则。为AC中点.

又尸为PC中点，，OF//PA."：。尸u平面BEF,以U平面BEF.二必〃平面BEF.

(II)解：'：PA=PD,E为A。中点，：.PE±AD.

;侧面山。_L底面ABCD,侧面力。。底面ABCD^AD,PEu平面PAD,