第3章 程序编制中的数值计算

第3章程序编制中的数值计算3.1数控加工中的常用数学模式3.2数值计算的内容3.3直线圆弧系统零件轮廓的基点计算3.4直线圆弧系统刀位点轨迹计算3.5一般非圆曲线节点坐标计算3.6列表曲线的节点坐标计算3.7曲面曲线加工刀位点轨迹的处理和计算

3.1数控加工中的常用数学模式

航天、航空、汽车、船舶的一些形体设计，如飞机、汽车、船体外形、飞机机翼、汽轮机叶片等的形体是无法用解析式表示的，要实现这一类自由曲面的数控加工，必须建立符合精度要求的数学模式。这些复杂曲线或曲面常常用一定数量的离散点来描述，这就需要用数学方法构造出能完全通过或者比较接近的曲线曲面（通常这个过程称为曲线或曲面的拟合），再计算并拟合曲线或曲面上位于给定型值点之间的若干点（通常称为插值点）。第3章程序编制中的数值计算

3.1.1常用的曲线曲面1.圆弧样条的构造方法

用圆弧样条拟合一条自由型曲线时，先给出曲线上一系列数据点，一般称作型值点，数学上叫节点。这些型值点可以是均匀分布点，也可以是不均匀分布，根据精度要求及形体曲率变化情况而定，精度要求高，形体曲率大或曲率变化大的地方可密些，其他地方可稀些。已知型值点Pi（x,y)(i=1,2…,n)，过每一个Pi点作一段圆弧，且使相邻圆弧在相邻节点的弦平分线上相交并相切，则整条曲线在各连接点处在到C0和C1阶（位置及切线）连续。见图3-1。第3章程序编制中的数值计算

3.1.1常用的曲线曲面2.圆弧样条作图步骤

第3章程序编制中的数值计算参考图3-3

3.1.1常用的曲线曲面3.确定切点位置参考图3-4

为简化作图，一般规定，用圆弧样条时，相邻圆弧公切点T取在相邻节点连线的中垂线上，即弦平分线上。第3章程序编制中的数值计算

3.1.1常用的曲线曲面4.计算圆心曲率及半径圆心曲率半径、半径的计算

参见：P80计算公式，均以给定弦切角α、β为先决条件。第3章程序编制中的数值计算

3.1.1常用的曲线曲面5.计算弦切角

利用内节点处一阶连续条件及端点条件建立方程组，然后用追赶法，迭代法求解。（1）建立方程组（2）确定端点条件（3）解方程组第3章程序编制中的数值计算

3.1.1常用的曲线曲面6.圆弧样条的光顺处理

当曲线转折较大时，如果型值点给得较稀，可能出现型值点处曲率变号情况，这时拟合出的曲线可能出现拐点。为防止这一现象，通常限制和的比值。

若超出此范围，则可在两节点间加密一个点，补加点可在三角形内心上，也可在两点的中垂线上。插入补加点后，要重排点的次序，重新计算。第3章程序编制中的数值计算

3.1.2三次参数样条

工程上常用列表点来表示曲线曲面，当所给点数较少时，构成的曲线或曲面不够光滑。如一条曲线拟合P1，P2…Pn，为使其光滑连接，工程上常在Pi,Pi+1之间建立以弦长为参数的三次样条曲线进行拟合。它可保证曲线在给定点处线连续，切线连续和曲线曲率连续，即光滑连续。第3章程序编制中的数值计算

3.1.2三次参数样条1.三次参数样条曲线方程

如图3-8所示，如果已知两端P1和P2的坐标及其切点P1‘和P2’，则可以找到一条满足上述条件的三次参数样条曲线：第3章程序编制中的数值计算

3.1.2三次参数样条2.两段曲线光滑连续的条件

从曲线方程可看出，要构造一段三次参数样条曲线需要给出两端点的坐标和切矢。若想构造一条通过多个型值点的光滑连续曲线，就需给出所有点的坐标和切矢，这样要求的初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的坐标及两端点的切矢即可根据光滑连续条件构造出通过各型值点的光滑连续曲线，而中间各点连结点的切矢可由光滑连续条件由型值点坐标来确定。第3章程序编制中的数值计算

3.1.2三次参数样条3.端点条件（1）夹持端：即直接给出两端点的切矢。（2）自由端：自由端曲率为零，即二阶导数为零。见P85方程。4.三次参数样条曲线的特点

以弦长为参数的三次样条曲线可通过所有型值点，插值效果好，且计算可靠，应用较广。如美国波音公司FMILL系统是以三次参数样条曲线为基础而研制的。第3章程序编制中的数值计算

3.1.3Bezier（贝赛尔）曲线1.Bezier曲线方程法国雷诺汽车公司的车身设计师Bezier曾经提出了这种曲线。生产中多用三次Bezier曲线，曲线方程为：第3章程序编制中的数值计算

3.1.3Bezier（贝赛尔）曲线1.Bezier曲线方程曲线方程的矩阵形式为：第3章程序编制中的数值计算

3.1.3Bezier（贝赛尔）曲线2.Bezier曲线段连续条件

要使由多个型值点确定的三次Bezier曲线光滑连续，就要使前曲线段与后曲线段在相邻处的切矢（P3P4与P4P5）共线。即：第3章程序编制中的数值计算

3.1.3Bezier（贝赛尔）曲线3.Bezier曲线的特点及应用

（1）特点：

①凸包性：Bezier曲线位于各型值点构成的一凸多边形内。（如图3-12、13）②端点特性：Bezier曲线通过给定型值点的首末两端点。（2）应用：

①自由曲线曲面造型：汽车设计等。②图形专业软件：photoshop（钢笔工具）、flash（曲线工具）等。

即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。第3章程序编制中的数值计算

3.1.3Bezier（贝赛尔）曲线4.B样条曲线（1）B样条曲线的递推定义：P86（2）基函数与B样条曲线关系：P87（3）B样条的几个重要性质：P87-88①局部支撑性②凸组合性③节点处的连续性④函数的求导递推性第3章程序编制中的数值计算

3.1.3Bezier（贝赛尔）曲线4.B样条曲线（4）三阶、四阶均匀B样条曲线的几何特性：

P88-93（5）B样条曲线的反算问题：

P93-94第3章程序编制中的数值计算

3.1.4抛物线拟合

抛物线拟合是美国福特汽车公司维豪瑟在1986年发表的一种方法，用于配有一般二次曲线插补装置的数控设备。对于给定的型值点和端点条件，一般样条采用整体拟合法，建立方程组，然后解出各节点的连续条件，得出整条曲线的分段函数。如前所述。抛物线拟合法是一种局部方法，被拟合曲线可以逐段延伸，不断给出数据，便于修改和进行计算机交互图形设计。（图3-21）第3章程序编制中的数值计算

3.1.5双三次参数曲面（COONS孔斯曲面-昆氏曲面）

汽车等复杂三维自由曲面是无法用一个简单的曲面方程来描述，但可用沿两个方向的两组平行平面与曲面的交线来“近似”表达，这个近似的程度取决于平行平面的间距。间距越小，所得交线越密，表示的曲面就越精确。当用一片曲面难以描述某物体外形时，可将其划分为若干曲面片，再将这些曲面片按要求连接起来。（图3-22）

MasterCAM演示——昆氏曲面第3章程序编制中的数值计算

3.1.6Bezier(贝赛尔）曲面

由12个型值点定义曲面片的四条边界曲线，构造曲面。（图3-23）3.1.7B样条曲面

由16个型值点定义曲面片。（图3-24）第3章程序编制中的数值计算

3.1.8单线性曲面（直纹曲面）

如果双参数曲面关于参数u或w是线性的，则此曲面就是单线性曲面。（图3-25）关于参数w为线性的曲面方程为：第3章程序编制中的数值计算3.1.9NURBS曲线曲面（后面讲）

3.2数值计算的内容根据被加工零件图样，按照已经确定的加工工艺路线和允许的编程误差，计算数控系统所需要输入的数据，称为数值计算。数值计算一般包括两个内容：根据零件图样给出的形状，尺寸和公差等直接通过数学方法（如三角、几何与解析几何法等），计算出编程时所需要的有关各点的坐标值。主要有基点与切点计算。第3章程序编制中的数值计算

3.2.1基点与节点的计算1.基点：

零件的轮廓是由许多不同的几何要素所组成，如直线、圆弧、二次曲线等，各几何要素之间的联结点称为基点。如直线间的交点，直线与圆弧或曲线的交点或切点，圆弧与圆弧或曲线与曲线间的交点或切点。基点坐标是编程中必需的重要数据。如图中的A、B、C、D、E为基点。

第1章数控编程基础

3.2.1基点与节点的计算1.基点：

第1章数控编程基础

3.2.1基点与节点的计算2.节点：如果工件轮廓是非圆曲线，数控系统就无法直接实现插补，而需要复杂的数值计算。方法是：将曲线在满足编程误差条件下进行分割，用若干直线段或圆弧去逼近给定曲线，逼近线段与非圆曲线交点或切点称为节点。逼近误差一般小于或等于编程允差，编程允差一般为零件公差的1/5～1/10。例如，对下图所示的曲线用直线逼近时，其交点A、B、C、D、E、F等即为节点。

第1章数控编程基础

3.2.2刀位点轨迹的计算刀位点是标志刀具所处不同位置的坐标点，不同类型的刀具刀位点是不同。编写程序是控制刀位点的轨迹，而零件轮廓形状总是由刀具切削刃部分直接参与切削过程完成的。因此，在大多数情况下，编程轨迹并不与零件轮廓完全重合。对于有刀具半径补偿功能的数控系统，只要在编写程序时，在程序的适当位置写入建立刀补的有关命令，就可保证在加工过程中，使刀位点按一定规则自动偏离编程轨迹，达到正确加工的目的。这时编程直接按零件轮廓形状，计算各基点和节点坐标，并作为编程时的坐标数据。对于复杂零件，没法进行基点与节点手工计算，而需要软件计算。

以下作简单介绍：第1章数控编程基础

3.2.2刀位点轨迹的计算刀位点的计算过程可分为3个阶段：

（1）加工表面的偏置。

如左图所示，刀位点是刀具中心点的移动位置，它与加工表面存在一定的偏置关系。这种偏置关系取决于刀具的形状和大小。例如，当刀具为半径R的球头刀时，刀轨（刀具中心的移动轨迹）应当在距离加工表面为R的偏置面上，如右图所示。由此可见，刀位点计算的前提是首先根据刀具的类型和尺寸计算出加工表面的偏置面。第1章数控编程基础

3.2.2刀位点轨迹的计算刀位点的计算过程可分为3个阶段：

（2）刀轨形式的确定：把刀位点在偏置面上的分布形式称为刀轨形式。图3和图4所示是两种最常见的刀轨形式。其中图3所示为行切刀轨，即所有刀位点都分布在一组与刀轴（z轴）平行的平面内。图4所示为等高线刀轨（又称环切刀轨），即所有刀位点都分布在与刀轴（z轴）垂直的一组平行平面内。对于这两种刀轨来说，其刀位点分布在加工表面的偏置面与一组平行平面的交线上，这组交线称为理想刀轨，平行平面的间距称为刀轨的行距。也就是说，刀轨形式一旦确定下来，就能够在加工表面的偏置面上以一定行距计算出理想刀轨。

第1章数控编程基础

3.2.2刀位点轨迹的计算刀位点的计算过程可分为3个阶段：

（3）刀位点的计算：

如果刀具中心能够完全按照理想刀轨运动的话，其加工精度无疑将是最理想的。然而，由于数控机床通常只能完成直线和圆弧线的插补运动，因此只能在理想刀轨上以一定间距计算出刀位点，在刀位点之间做直线或圆弧运动，如图5所示。刀位点的间距称为刀轨的步长，其大小取决于编程允许误差。编程允许误差越大，则刀位点的间距越大；反之越小。

第1章数控编程基础

3.2.3辅助计算辅助计算包括：增量计算、辅助程序段的数值计算等。

（1）增量计算：

是就增量编程时所进行的由绝对坐标数据到增量坐标数据的转换。

增量坐标值=终点坐标值-起点坐标值（2）辅助程序段：

是指开始加工时，刀具从对刀点到切入点，或加工完了时，刀具从切出点返回到对刀点而特意安排的程序段。第1章数控编程基础

3.3直线圆弧系统零件轮廓的基点计算3.3.1联立方程组求解基点坐标为简化计算，将计算过程标准化：

（1）直线与圆弧相交或相切：

见P100相关公式求解交点或切点。（2）圆弧与圆弧相交或相切：

见P101公式求解交点或切点。第1章数控编程基础

3.3直线圆弧系统零件轮廓的基点计算3.3.2三角形求解基点坐标（P101图3-29）直线与圆弧的四种关系：

（1）直线与圆相切求切点坐标：

见P102相关公式求解切点。（2）直线与圆相交求交点坐标：

见P102公式求解交点。（3）两圆相交求交点坐标：

见P103公式求解交点。（4）直线与两圆相切求切点坐标：

见P104公式求解切点。第1章数控编程基础

3.4直线圆弧系统刀位点轨迹计算

3.4.1刀位点的选择及对刀（P103-104）

3.4.2刀具中心编程的数值计算（P104图3-30）3.4.3尖角过渡的数值计算（P105图3-31）1.直线段与直线段拐角处等距线交点坐标计算2.直线段与圆弧段拐角处等距线交点坐标计算第1章数控编程基础

3.4直线圆弧系统刀位点轨迹计算

3.4.4刀具轨迹设计中的几个优化问题1.刀具尺寸的影响2.刀具运动轨迹设计算法的影响（1）刀痕误差（2）轮廓加工误差（3）尖角缺陷（4）复合加工3.解决刀具运动轨迹设计算法影响的优化方法第1章数控编程基础

3.5一般非圆曲线节点坐标计算

3.5.1概述

1.非圆曲线的数学表达形式：数控加工中把除直线与圆弧外可用数学方程式表达的平面廓形曲线，称为非圆曲线。数学表达式的形式如下：（1）直角坐标的形式：y=f(x)或F（x,y,z)=0（2）极坐标形式：ρ=ρ(θ)（3）参数方程的形式：x=x(t),y=y(t),z=z(t)。通过坐标变换，后两种形式可变换为第一种形式。第1章数控编程基础

3.5一般非圆曲线节点坐标计算

3.5.1概述

2.非圆曲线的数值计算步骤：（1）选择插补方式：直线、圆弧