实变函数-(4)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第三节开集,闭集,完备集第二章点集第1页1.开集、闭集

P0为E接触点：P0为E聚点：P0为E内点：说明：要证E是开集，只要证要证E是闭集，只要证

若Eº=E

,则称E为开集（E中每个点都为内点)若,则称E为闭集（与E紧挨点不跑到E外）第2页例：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证abx

证实：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x是（a,b）内点，故(a,b)是开集。第3页例：闭区间[a,b]为闭集说明：要证E是闭集，只要证abx

证实：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x不是[a,b]接触点，从而[a,b]接触点都在[a,b]内，从而[a,b]是闭集。第4页注：闭集为对极限运算封闭点集即：A为闭集当且仅当A中任意收敛点列收敛于A中点利用：p0为E接触点充要条件为存在E中点列{pn},使得或p0是E聚点充要条件为存在E中互异点所成点列{pn},使得若（或）,则称E为闭集。（与E靠近点不跑到E外）第5页

Eº为开集注：Eº为含于E内最大开集E从而y为E内点，从而所以x为Eº内点，即证实：只要证任取，由内点定义知任取，取第6页

E`为闭集E证实：只要证任取，由聚点定义知第7页

E`为闭集注：为包含E最小闭集E从而即x为E聚点，从而第8页2开集与闭集对偶性P0为E接触点：P0为E聚点：P0为E内点：P0为E外点：b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。a.

第9页开集余集是闭集

从而x不是Ec接触点，也即Ec接触点一定在Ec内，从而，即Ec为闭集。

证实：设E为开集，即从而第10页闭集余集是开集证实：设E为闭集，即任取，假如x不是Ec内点，则x任一邻域内最少有一个属于E点，从而x为E接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内，这与矛盾，所以Ec中点都为Ec内点，即Ec为开集。第11页3开集性质

a.空集，Rn为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭集合，如：E=[0,1)AB第12页闭集性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集第13页5.隔离性定理及点集间距离隔离性定理设是中两个互不相交闭集，证实：存在两个互不相交开集，使得

注：隔离性定理中“闭集”条件不能少，如[2，3）和（3，5]第14页点集间距离

c.若,则d(A,B)=0;反之?b.d(x,B)=0当且仅当

注：a.若x∈B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)第15页

思考

问题2：两个闭集不相交，下面结论一定成立吗？如A={n-1/n},B={n+1/n}（都是闭集）上面条件换成有界闭集呢？

问题1:定理中改为有界闭集，怎么结构隔离？

第16页定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集，x∈Rn，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)又Ａ为闭集，故y∈A,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证实：由可得第17页定理（距离可达性定理2）：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A,y∈B,使得d(x,y)=d(A,B)因为A有界，故证实：由AB第18页又B为闭集，故y∈B,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而x∈A，并可得{yni}有界因为当ni充分大时，

d(x,yni)≤d(x,xni)+d(xni,yni)≤1+(d(A,B)+1/ni）第19页证实：利用d(x,E)≤d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)z∈E定理设E为Rn中非空点集，则d(x,E)是Rn上关于x一致连续函数所以d(x,E)是Rn上关于x一致连续函数。可得d(x,E)≤d(x,y)+d(y,E)，同理d(y,E)≤d(x,y)+d(x,E),故有|d(x,E)-d(y,E)|≤d(x,y)第20页定理：设F1，

F2为Rn中两个互不相交非空闭集，则存在Rn上连续函数f(x)，使得（1）0≤f(x)≤1，x∈Rn（2）f(x)=0，x∈F1;f(x)=1,x∈F2注：可推广到普通拓扑空间（参见：拓扑学教材），即Urysohn引理.第21页6.R中相关紧性两个结论

⑴Bolzano-Weierstrass定理：若E是Rn中一个有界无限集，则E最少有一个聚点.

注：此定理对无限维度量空间不一定成立。(参见P306例2)第22页⑵Heine-Borel有限覆盖定理

设F为Rn中有界闭集，若开集簇覆盖F，即，则中存在有限个开集U1，U2，…,Un，它一样覆盖F

注：比较下面几个不一样证法周民强，实变函数p-36尤承业，基础拓扑学p-52熊金城，点集拓扑讲义p-202教材p-42注：Heine-Borel有限覆盖定理逆命题也成立第23页定义（紧集）：设M是度量空间X中一集合，是X中任一族覆盖了M开集，假如可从中选出有限个开集U1，U2，…,Un依然覆盖M，则称M是X中紧集定理（紧集充要条件）（P303）：设X是度量空间，M是X中一子集，则M是X中紧集充要条件为对M中任何点列，都存在子列收敛于M中一元素.紧集第24页但在普通度量空间中，紧集必为

有界闭集，而有界闭集不一定为紧集定理：设M是度量空间中紧集，则M是X中有界闭集举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例2）结论：中紧集与有界闭集等价第25页可数覆盖定理设F为Rn中一集合，若开集簇覆盖F（即），

则中存在可数个开集U1，U2，…,Un，…，它一样覆盖F

提醒：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径圆全体为可数集，开集中点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密第26页7自密集和完备集定义自密集：设，假如，则称E为自密集，也即集合中每点都是这个集合聚点，或没有孤立点集合为自密集。例：有理数集Q为自密集完备集：设，假如，则称E为完备集。例：任何闭区间及全直线都为完备集第27页第四节直线上开集,闭集,完备集结构第二章点集第28页7.直线上开集结构

定义（组成区间）设G为直线上开集，假如开区间而且端点不属于G，则称为G组成区间。比如：()(())abcc’d’d

(a,b),(c,d)为组成区间（c’,d’）不是第29页定理：直线上任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交组成区间并，又当非空开集表示成互不相交开区间和集时，这些区间必是组成区间()()()()(⑴直线上闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交开区间所得之集.开集构造性定理第30页⑵直线上闭集孤立点必是其余区间某两个相邻开区间公共端点;（4）Rn中开集普通不能表示成至多可数个互不相交开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交半开半闭区间之并，且不唯一.()()()()(（3）（完备集结构定理）直线上完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交没有公共端点开区间而得到集合第31页8.Cantor集第n次去掉开区间留下闭区间12n⑴定义：令称P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为Cantor集第32页⑵Cantor集性质a.分割点一定在Cantor集中Cantor集P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n开区间b.P“长度”为0，去掉区间长度和第33页c.P没有内点()x-εxx+ε第n+1次等分去掉区间第n次等分留下区间但由Cantor集作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而内最少有一点不属于P，所以x不可能是P内点。证实：对任意x∈P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下2n个长为1/3n互不相交某个闭区间中第34页d.P中点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P聚点，当然不为孤立点。证实：对任意x∈P，只要证：由Cantor集作法知而两个端点定在P中，第n次等分留下区间()x-δxx+δ第35页数进位制介绍十进制小数对应于对[0,1]十等分二进制小数对应于对[0,1]二等分三进制小数对应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分端点有两种表示，如0.000…0.1999999…（十进制小数）第