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第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数极值和最值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结第1页一、多元函数极值和最值1、二元函数极值定义第2页例1例２例３(3)(2)(1)第3页2、多元函数取得极值条件证第4页第5页仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零点，均称为函数驻点.驻点偏导数存在极值点问题：怎样判定一个驻点是否为极值点？注意：第6页第7页第8页例4求函数极值。解求解方程组：得驻点所以，驻点第9页所以，驻点所以，驻点第10页与一元函数类似，可能极值点除了驻点之外，偏导数不存在点也可能是极值点。比如，显然函数不存在。第11页求最值普通方法：将函数在

D内全部驻点处函数值及在

D

边界上最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们能够利用函数极值来求函数最大值和最小值.3、多元函数最值第12页解令第13页无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其它条件.第14页实例：小王有

200元钱，他决定用来购置两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，

y盒录音磁带到达最正确效果，效果函数为

U(x,y)=lnx+lny．设每张磁盘

8元，每盒磁带

10元，问他怎样分配这

200元以到达最正确效果．问题实质：求在条件下极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法第15页条件极值：对自变量有附加条件极值．第16页求解方程组解出x,y,z,t

即得可能极值点坐标.第17页解则例6求表面积为a2而体积为最大长方体体积.

设长方体长、宽、高为x,y，z.体积为V.则问题就是条件求函数最大值.令下，第18页则令即由(2),(1)及(3),(2)得第19页由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入条件，得解得这是唯一可能极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，第20页解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得第21页将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能极值点处取得。故，最大值第22页

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