浑水潜流动量方程的解析解

浑水潜流动量方程的解析解

1对推进重新理解的普及法的解释沙位法是泥沙运动力学的中心主题之一。它对输送沙水流的泥沙运输、基质和底边界条件具有重要意义和价值。它还关系到河流、河口和海洋泥沙运动以及底板和土壤之间的对应关系。为此很多研究人员对挟沙力问题从不同角度进行了探讨和研究［1－7］,取得了大量的研究成果,促进了对挟沙力问题认识的提高。关于挟沙力与各物理量的关系已经进行过大量的探讨,基本方法包括经验分析、因次分析和能量平衡等方法。由于影响挟沙力的各种要素的多样性和相互关系的复杂性,以及认知方式、研究方法、水域特征、资料来源的差异,导致现有的挟沙力公式种类繁多、结构各异。仅从动力影响因子流速来看,指数从0.0~4.0范围存在着大量不同的用于不同水域的量化公式,这还不包含泥沙本身特性的相关因子的影响。目前被人们普遍认可的挟沙能力统一公式并不多见［6］,从理论上严格导出挟沙力公式并解释挟沙力公式形式多样的原因,还没有见到报道。本文从浑水潜流动量方程［8］出发,根据最小能耗率原理［9］对挟沙力的一般形式进行了推导和分析,并根据推导所得挟沙力公式,解释现有挟沙力公式的多样性。最后根据Grass［10］的方法,将所得一般关系推广应用到海洋挟沙力的计算公式,并用实测资料对推得的公式进行了验证和比较,其结果与河流和海洋中的实测数据吻合很好。2计算公式与测量方法Parker等［8，11］根据流体质量守恒和动量守恒定律导出了浑水潜流方程中的动量平衡方程为式中u为垂向平均流速;D为浑水潜流层厚度;R=ρs/ρ-1,ρs为泥沙颗粒密度,ρ为水体密度;g为重力加速度;c为垂向平均体积含沙量;S为底坡,,对于大多数河流情况S远小于1,η为床面坐标;CD为阻力系数;x为沿床面方向坐标;t为时间。将浑水潜流动量方程(1)延拓到整个含沙水流水深,即D→h,h为水深,则式(1)成为式(2)在稳定均匀浑水流动情况下为由式(3)可以得到根据式(4)质量含沙量C可以表示为值得注意的是式(5)的推导过程与含沙量的高低无关,也就是说,式(5)对于高低含沙量都适用。平衡状态下,水流系统遵守最小能耗率原理［9］,即式中α为常数,式(6)表明在平衡条件下无量纲单位流功最小且为常数,则进而式(5)成为CD是一个与流体的雷诺数和床面相对糙率高度有关的函数,其范围一般在0.001~0.01内,在缺乏资料的条件下,可取0.0025近似代替［12］。对于天然情况,阻力系数可以用幂函数形式表示式中p和q为无量纲常数;z0为糙率高度;u*为摩阻速度。Soulsby［12］给出的阻力系数关系与大量的实测和实验数据吻合很好,在河流和海洋水动力计算中得到了广泛的应用,其表达式可以写成Christoffersen和Jonson［13］提出的糙率高度公式与Nikuradse的试验结果吻合很好,其形式为式中ν为运动黏滞系数;ks为Nikuradse糙率高度。Colebrook和White［14］提出的精度相对较低的简单形式为式(8)与确定条件式(10)和式(11)或式(12)一起即为一般形式的挟沙力公式。对于紊流粗糙区水流,即u*ks/ν>70,式(12)成为z0=ks/30;对于紊流光滑区水流,即u*ks/ν<5,式(12)成为z0=ν/9u*;对于紊流过渡区水流,即5<u*ks/ν<70,应满足式(11)或式(12)。一般情况下,淤泥质或平坦的沙质底床上的流动可以视为紊流光滑区或过渡区,粗沙或砾石底床上的流动为紊流粗糙区［12］。为了数学上处理的方便,常将所有的沙质底床上的流动视为紊流粗糙区。在粒径大于60μm时,这种简化近似用于计算临界流速以上的所有摩阻速度u*的误差小于10%。3与其他截沙公式的比较根据水流紊动流特性,针对根据阻力系数CD在不同流区的取值对式(8)进一步讨论并与其他挟沙力公式进行比较。很明显,式(8)中不含泥沙起动流速项,从物理意义上讲,无论水流流速是否达到泥沙起动流速,其挟沙能力都是存在的,泥沙起动流速只是作为挟沙能力的外部条件。3.1泥质底床在层流区,由于CD=3/Re［15，16］,Re为水流雷诺数,则式(8)成为根据紊流理论,淤泥质海床底边界层内流体基本处于层流状态,而挟沙力与近底含沙量在整个水深的平均值成比例关系,故式(13)理论上可用于淤泥质底床。式中F=D0/(DK+a/DK)为泥沙因子,D0=0.11mm为特定粒径,a=0.0024mm2为特定面积,DK为大于等于0.03mm的泥沙粒径,V1为潮流时空平均流速,V2为平均波动流速。式(14)的单纯潮流作用的简单形式为C=0.0273ρsV21/(gh)。刘家驹公式是在总结连云港和天津港海域的实测数据的基础上分析得出的经验公式,在上述海域得到了广泛的验证和应用并载入《海港水文规范》。式(13)说明刘家驹公式从理论上完全可以推导得出,其系数应该不是常数。从式(13)的推导条件来看,河流中缓慢流动的细颗粒泥沙的挟沙力应该可以采用此式计算。3.2u3/gh因子的指数式(16)可以写成式(17)可以写成C=K(u3/ωgh)0.92即为韩其为［17］挟沙力公式,韩其为的公式是用实验数据和实测数据得出的。由式(17)可见,u3/ωgh因子的指数为11/12≈0.92时,水流流动应在紊流光滑区。泥沙粒径与水深的比值一般在10－8~10－3内,阻力系数变动在紊流光滑区,从而在理论上证实u3/ωgh因子的指数多取0.92是合理的,验证实测结果与计算结果吻合精度较高。3.3卡东南角公式的简介代入式(8)得式(19)与维利卡诺夫公式形式一致。在天然情况下,河流和海水的流动多为紊流粗糙区,所以维利卡诺夫公式被广泛地应用。谢才系数实质上也是一个与阻力有关的系数,从理论上讲,在不同的流区,谢才系数的计算公式是不同的。但谢才公式是根据实际明渠资料得到的,而实际明渠水流绝大多数为粗糙区的紊流。对谢才系数的研究一般都在紊流粗糙区内进行,得到的现有谢才系数的计算公式,包括曼宁公式,一般只能适用于紊流粗糙区。这也导致了式(20)只能用于紊流粗糙区。3.4阻力系数与雷诺数指数关系的提出从紊流光滑区到粗糙区的阻力系数与雷诺数的指数关系在-1/4~0范围内变化,阻力系数可以用该范围的指数与雷诺数逐段拟合。式(21)也可以解释衍生挟沙力公式的多样性,将维利卡诺夫公式与刘家驹公式线性组合的挟沙力公式形式,也应归于此类挟沙力公式。从上述分析可知,阻力系数CD与雷诺数的指数关系从层流区的-1次方到紊流光滑区的-1/4次方,再到紊流粗糙区的0次方,对应挟沙力公式中的u3/ωgh因子的指数从2/3≈0.67到11/12≈0.92,再到1而成为维利卡诺夫公式。从而说明因子u3/ωgh的指数介于0.67和1之间,范围小于张瑞瑾认为的0.3745到1.43的区间,超出该范围的指数在理论上的合理性需要进一步探讨。鉴于从层流区到紊流粗糙区雷诺数影响的复杂性,式(8)阻力系数的影响可以直接与因子u3/ωgh幂次相关,写成下面的形式从上面分析可以看出,m为常数,与因子u3/ωgh无关,m范围介于0.67和1之间。K为待定常数,其值是水沙特性、水深、沉速的函数,与因子u3/ωgh无关。式(22)与张瑞瑾公式形式上完全一致。4讨论4.1er公式的求解对于Manning-Strickler公式,p=0.0474,q=1/3,那么将式(24)代入式(8),得4.2方均根波浪轨道速度urs根据Grass［10］的方法,如果由于流单独作用导致的单宽输沙率可以表示为式中qc为流单独作用下的单宽输沙率;U为流的速度;AG和n为系数。则波流联合作用的单宽输沙率可以表示为式中qt为波、流共同作用下的单宽输沙率;urms为方均根波浪轨道速度;对于小振幅波动,G为常数,Grass认为G=0.08,Soulsby［12］认为G=0.08只适用于urms<U时,对于沙波底床根据实测数据G可以校正为0.018。根据Grass的方法,式(8)考虑波、流联合作用时的关系式为对于小振幅波式中Hw为波高,L为波长,T为波周期。上述波流联合作用挟沙力公式用于海洋中是认为潮流为恒定流,这显然与实际不符,由于潮流的周期性,上式U应改为方均根流速［32］式中Urms为方均根流速或有效速度,在河流中Urms=U。5水文、泥沙、泥沙的实测研究采用河流和近岸实测数据对式(8)进行验证,验证情况如图1和图2。实测数据包括文献[19-31]中的包括长江、黄河以及国外的14条河流3456个实测站位的实测数据以及浙江和福建海域的舟山、瓯江口、台州、大渔湾和三门湾海域共30个海湾和河口的水文、泥沙实测站位资料。其中河流中泥沙粒径的范围为0.02~7.6mm,近岸泥沙粒径的范围为0.0015~0.05mm,近岸实测数据均包含大、中、小潮过程,有效速度由对应完整潮周期内的实测流速计算得到。6“紊流粗糙度区”从理论上导出了挟沙力的一般公式,在不同水流条件下,该公式与刘家驹、张瑞瑾、韩其为、窦国仁和维利卡诺夫等公式形式一致,也即各挟沙力公式为该式在一定条件下的结果。论文公式中包含的阻力系数的不同将导致公式指数的变化,直接影响到挟沙力的公式形式及计算,也是各家公式形式上差异的主要原因。式(8)为一般公式,因子u3/ωgh无需添加指数,张瑞瑾公式中的指数只是体现在阻力系数中。从理论上指出张瑞瑾公式中的指数应介于0.67和1之间,缩小了张瑞瑾在实际中得到的0.3745到1.43的范围。刘家驹公式应适用于淤泥质海域,水流为层流或接近层流,且公式前的系数不为常数,是一个水流特征(黏滞系数)、泥沙特征(沉速、粒径)或底床特征(糙率高度)与水深的函数。指出了韩其为公式指数为0.92应适用于水流流动在紊流光滑区的情况。维利卡诺夫及窦国仁公式适用于紊流粗糙区的水流条件,天然河流和一般的明渠水流一般都处于阻力平方区,阻力系数只取决于边壁的相对糙率。式(13)中,取,即,则式(13)与刘家驹单纯水流作用的情况相一致。刘家驹公式为同时考虑潮流和波浪作用的挟沙力公式,其表达式为在紊流区,阻力系数采用幂函数的形式进行讨论。当阻力系数,即时,代入式(8)得对于紊流光滑区水流,),阻力系数,代入式(8)得对于紊流粗糙区水流,。采用被广为接受的关系式ks=2.5d50,那么在紊流粗糙区,CD