数学应用问题中的三种类型及其解法1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

数学实际应用问题中

三种类型及其解法制作：云南省昌宁第一中学

段怀秦.1.26

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数学实际应用问题中三种类型及其解法

教学目标：难点：灵活利用所学知识正确分析和处理实际问题。1.经过对实际应用问题中三种类型讨论和解法探讨，使学生明确和掌握解答实际应用问题思想方法，深入巩固函数等相关数学知识和方法。

2.经过学习，能利用所学知识处理实际问题，提升分析问题、处理问题能力及综合利用知识能力。3.培养学生理论联络实际，自觉利用所学知识处理实际问题意识。重点：实际应用问题中三种类型及其解法。第2页

一、复习回顾

⑴读题了解：读懂题意、了解实际背景，把“问题情景”译为数学语言，找出问题主要关系（目标与条件关系）；

⑵抽象建模：把问题主要关系近似化、形式化，抽象、归纳成数学问题（数学模型）；

⑶求解模型：把数学问题化归为常规问题，选择适当数学方法求解（解出模型数学结果）；

⑷评价作答：对结果进行验证或评定，对错误加以调整、修正，最终对实际问题作出回答（解释或预测）.解应用问题普通思绪和方法步骤：三种类型及其解法数学实际应用问题中读题--建模--求解--评价第3页

二、学习新课

(一)应用问题中三种类型、理论依据和解题思绪

类型(Ⅰ)：相关“利润最大、产值最高、造价最低”等问题.

处理方法：主要是函数与方程思想方法及函数与不等式思想方法.类型(Ⅱ)：其理论依据有：数列、指数函数、方程、不等式及近似计算等.相关“利率、增加率及翻倍”等问题.

处理方法：主要是结构指数式方程或指数式不等式.其理论依据是：一次函数、二次函数、分式函数、不等式及方程等.数学实际应用问题中三种类型及其解法第4页体问题选择类(Ⅰ)或(Ⅱ)方法.

类型(Ⅲ):改变过程中所遵从一些特定关系.定义型问题，即给定事物发展

其理论依据是:类(Ⅰ)或类(Ⅱ)综合.

处理方法：除遵从题中要求关系外应视具数学实际应用问题中三种类型及其解法象近年来高考应用问题大多属于类型(Ⅲ).第5页

（二）例与练

应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），全部劳力都有工作且作物预计总产值达最高？（每个劳力只种一个作物）

例1．20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻.这些作物每亩地所需劳力和预计产值以下表：作物劳力/亩产值/亩蔬菜1/20.6万元棉花1/30.5万元水稻1/40.3万元解答三类型数学实际应用问题中三种类型及其解法第6页题中显示“产值最高”语句，属类型(Ⅰ)，应从结构相关产值函数关系入手.满足解：设种x亩水稻(0<x≤50)，y亩棉花（0≤y<50）时，总产值为h，且每个劳动力都有工作，则h=0.3x+0.5y+0.6[50-(x+y)]，4≤x≤50，x∈N*.∴欲使h为最大，则x应为最小，故当x=4(亩)时,hmax=26.4万元,

故安排人种亩水稻，人种亩棉花，人种亩蔬菜时，农作物总产值最高，且每个劳力都有工作.148241122分析：此时y=24（亩）.例1且x、y数学实际应用问题中三种类型及其解法第7页

例2．某市1998年底人口为20万，人均住房面积为8m2，计划底人均住房面积达10m2.假如该市每年人口平均增加率控制在1%，要实现上述计划，这个城市每年平均最少要新增住房面积多少万m2（结果以万m2为单位，保留两位小数）.题中显示“增加率”语句，属类型(Ⅱ)，应从结构指数式方程或不等式入手.分析：

解：设平均每年最少要新增住房面积x万m2，四年共新增住房面积4x万m2.此时住房总面积应为(20×8+4x)万m2.另首先，到底总人口为20(1+1%)4万.按人均10m2计，底应有住房面积为20×10×(1+1%)4=200(1+1%)4万m2.三类型数学实际应用问题中三种类型及其解法第8页

故该城市每年最少要新增住房面积12.03万m2，才可达人均住房面积10m2目标.即x≥12.03.∵(1+1%)4=1.014≈1.0406，∴x≥50×1.0406-40=52.03-40=12.03，例2数学实际应用问题中三种类型及其解法依据题意有：20×8+4x≥200(1+1%)4，即x≥50(1+1%)4-40.第9页

例3．某铁道机车每小时运行所需成本由两部分组成，固定部分为a元，变动部分与运行速度V(千米/小时)平方成正比.百分比系数为K(K>0).假如机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省,应以怎样速度运行？故机车以速度但题中显示“成本最省”语句，应选择类型(Ⅰ)处理方法.分析：设机车以速度V匀速运行成本最省，甲、乙两站相距S千米，解：则机车匀速从甲站到乙站所需时间为t=S/V，总成本设为y元，则有y=(a+KV2)t=(a+KV2)(S/V)=S[KV+(a/V)]当且仅当KV=a/V，即时，y有最小值，千米/小时匀速运行时，成本最省.题目结构属类型(Ⅲ).三类型复习数学实际应用问题中三种类型及其解法复习1第10页

练习：1．一商人购进某种商品400个，进货原价为每个80元，若按90元一个售出时，可全部卖出.已知这种商品每个涨价1元，其销售数就降低20个，问他售价应为多少时所取得利润最大？2．某工厂在今年年初向银行贷款a万元，年利率为r；从今年年末开始，每年末向银行偿还一定金额，预计五年内还清，问该厂每年末平均偿还金额应是多少？3．某人进一批货，进货时已按原价a扣去了25%，现他希望对货物定一个新价，方便按新价让利20%后，仍可取得实际售价25%纯利，试写出他经营这种货物件数x与让利总额y间函数关系.练习1练习2练习3小结数学实际应用问题中三种类型及其解法第11页

1．分析：题中显示“利润最大”语句，属类型(Ⅰ).应从结构相关利润函数关系入手.（利润=售额-成本）

答：售价为95元时赢利最大，其最大值为4500元.此时销售量为400-20x，则

y=(90+x)(400-20x)-(400-20x).80解：设售价为90+x元时利润为y，=20(20-x)(10+x)=20[-(x-5)2+225]，由二次函数性质知，当x=5时，ymax=4500（元）.练习小结数学实际应用问题中三种类型及其解法第12页

2．分析：题中显示“利率”语句，属类型(Ⅱ)，应从结构指数式方程或不等式入手.

解：设平均每年末应向银行偿还x万元，则每年尚欠银行款依次为：第1年：a+ar-x=a(1+r)-x，第2年：a(1+r)-x+[a(1+r)-x]r-x=a(1+r)2-x(1+r)-x，……第5年：a(1+r)5-x[(1+r)4+(1+r)3+…+(1+r)+1].

依据题意，第5年欠款应等于零，即a(1+r)5-x[(1+r)4+(1+r)3+…+(1+r)+1]=0,

亦即答：平均每年末向银行偿还金额是万元.数学实际应用问题中三种类型及其解法练习第13页注：本题也可从两方面去计算本利.即整存整取a万元，五年本利有M万元，零存整取x万元，四年本利有N万元，若五年内还清，则相关系：N+x≥M.练习小结数学实际应用问题中三种类型及其解法第14页

3．分析：题目结构属类型(Ⅲ).题中虽显示“让利”等语句，但最终还是以“利润大”为目标，故应选择类型(Ⅰ)处理方法.处理此题关键是搞清让利、纯利等含义，搞清原价、进价、新价之间关系，尤其是要求出新价与原价之间关系式，还要注意函数定义域.解：设新价为b，则售价为b(1-20%),进价为a(1-25%),由题意得：b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,∴b=5a/4，∴y=b·20%·x=ax/4,(x∈N).练习数学实际应用问题中三种类型及其解法第15页

三、归纳小结

今天我们主要归纳和讨论了数学实际应用问题中三种类型及它们处理思想和方法，并经过例题和练习进行了解题思绪和方法探索实践。

相关“利润最大、产值最高、造价最低”等问题，主要是利用函数与方程思想方法及函数与不等式思想方法处理；相关“利率、增加率及翻倍”等问题，主要是利用结构指数式方程或指数式不等式处理；对于定义型问题，处理方法除遵从题中要求关系外，应视详细问题选择类(Ⅰ)或(Ⅱ)方法处理.数学实际应用问题中三种类型及其解法练习第16页四、布置作业求这种商品日销售额最大值?

1.某商品在最近100天内价格f(t)与时间t函数关系式是,销售量g(t)与时间t函数关系是

2.某工厂现有职员2a人(140＜2a＜280)，且a为偶数，每人每年可创利b万元，据评定在生产条件不变条件下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利1%，但每年需付下岗职员0.4b万元生活费，而且该厂正常运转所需人数不得小于现有职员3/4,为取得最大经济效益，该厂应裁员多少人?数学实际应用问题中三种类型及其解法第17页

3.某工厂生产某产品x吨所需费用P元，而卖出x吨价格为每吨Q元，已知P=1000+5x2+(X2/10)，Q=a+(x/b),若生产出产品能全部卖掉，且当产量为10吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a、b值.参考答案：

1.808.52.a-70人.3.a=45，b=-30.数学实际应用问题中三种类型及其解法第18页五、板书设计

课题：一、复习(二)例与练解应用问题普通例1练习：1思绪和方法23二、新课例2(一)应用问题中三、小结

三种类型、理论依据和解题思绪例3四、作业数学实际应用问题中三种类型及其解法第19页

应用问题中三种类型和解题思绪

类型(Ⅰ)：相关“利润最大、产值最高、造价最低”等问题.

处理方法：主要是函数与方程思想方法及函数与不等式思想方法.

类型(Ⅱ)：相关“利率、增加率及翻倍”等问题.

处理方法：主要是结构指数式方程或指数式不等式.

类型(Ⅲ)：定义型问题，即给定事物发展改变过程中所遵从一些特定关系.

处理方法：除遵从题中要求关系外应视详细问题选择类(Ⅰ)或(Ⅱ)方法.例1例2例3数学实际应用问题中三种类型及其解法第20页

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