数学人教A版（2019）必修第一册 1全称量词与存在量词

第一章

集合与常用逻辑用语1.5.1全称量词与存在量词1.理解全称量词、全称量词命题的含义.2.理解存在量词、存在量词命题的含义.3.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，会判断真假.教学目标重点、难点1.重点：全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的含义.2.判断全称量词命题、存在量词命题及真假.情境导学德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个猜想：“任意取一个奇数，都可以把它写成三个素数之和，比如77，77＝53＋17＋7.”同年欧拉肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且提出此猜想可以有另一等价的版本：每一个大于2的偶数都是两个素数之和，即“1＋1”(1表示1个素数)，如8＝3＋5.这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．后来，数学家们陆续证明出了“9＋9”“7＋7”“6＋6”…“3＋3”“2＋3”，200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1＋2”，即：任意一个充分大的偶数都可以写成一个素数和最多不超过两个素数之积的和，如8＝2＋2×3＝3＋5.从陈景润的“1＋2”到“1＋1”似乎仅一步之遥，但迄今为止它仍然没有得到正面证明，也没有被推翻．不难发现，要想正面证明它就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，但想要推翻它只需“存在一个”反例.（1）x>3 （2）2x+1是整数（3）对所有的x∈R，x>3（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数思考：语句（3）~（4）与（1）~（2）之间有什么关系呢？我们把短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。将p(x)表示含有变量x的语句，M表示变量x的取值范围：全称量词命题：“对M中任意一个x，p(x)成立”符号简记为∀x∈M,

p(x).概念学习补充：常见的全称量词还有：“一切”、“每一个”、“任给”等课堂练习

举反例啊新知探究判断全称量词命题真假的思维过程全称量词命题经证明为真或与性质、定理等真命题相符可举出反例真命题假命题概念引入

下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？（1）2x+1=3；（2）x能被2和3整除；（3）存在一个x∈R，使2x+1=3；（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.思考概念引入

思考（１）（２）不是命题而（3）（4）都是真命题，请观察回答，(3)(4)分别增加了怎样的短语？要理解“存在一个”“至少有一个”这些短语含义。概念引入

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existentialquantifier），并用符号“

”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（existentialproposition）.概念例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题．概念理解

结构特点：集合M中至少存在一个元素x，满足条件p.一般形式：存在M中的元素x，使得p（x）成立.用符号简记为：

x∈M,p（x）.理解存在量词命题的真假判断

要判定存在量词命题“x∈M，p（x）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p（x）成立即可

要判定存在量词命题“x∈M，p（x）”是假命题，需要对集合M中的任意一个元素x，证明p（x）都不成立（1）有一个实数，使（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（3）有些平行四边形是菱形.以下命题是存在量词命题吗？例：判断以下存在量词命题的真假.思考：对于存在量词命题我们怎样判断其真假？找特例说明存在量词命题为真，找不到特例，则该存在量词命题为假.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？

（1）自然数的平方都大于或等于零。

（2）存在实数x，满足x2≥3。

（3）有些平行四边形的对角线不互相垂直。

（4）任意一个正方形，它的四条边都相等。∃∃∀∀判定一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：方

法

总

结①首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．②若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．③当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质，只有全称量词才可省略，而存在量词不可省略。判断命题的真假：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；解

举反例：6能被3整除，但是6不是奇数，

所以该命题是假命题.对

点

训

练(2)存在一个实数x，使x2+2x+3=0；分析

“有一个实数x，使x2+2x+3=0”的含义是“方程x2+2x+3=0有解”.

判断全称量词命题的方法：举反例判断存在量词命题的方法：找存在元素可以举出反例----假举不出反例-----真找到存在元素----真找不到存在元素-----假判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法：方

法

总

结已知命题p:∀x∈R，x2+2x+3-a>0为真命题，求实数a的取值范围。解析：因为命题p为真命题,因此方程y=x2+2x+3-a的图像恒在x轴上方，

因方程y=x2+2x+3-a的开口向上，

此时方程y=x2+2x+3-a=（x+1)2+2-a有最小值2-a，

只要令2-a>0，则实数a的取值范围为｛a|a<2｝巩

固

提

升含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关。解题技巧就是利用代数恒等式来确定参数的值。方

法

总

结例如一元二次不等式恒成立问题：①恒大于0，则最小值大于0即可；

恒小于0，则最大值小于0即可。②配方③求范围全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“∀”表示．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，

可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

.存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，

并用符号“∃”表示．存在量词命题的表述形式：全称量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，

可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”.全称量词命题真假的判断：

若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0

,使得P(x0

)不成立即可.存在量词命题真假的判断：

要判