江西省南昌市高三高考数学一模试卷（理科）

2021年江西省南昌市高三高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{y|y＝sinx}，则（∁RA）∩B＝（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[0，1]2．复数z满足zi＝2+3i，则|z|＝（）A． B． C． D．3．已知椭圆3x2+4y2＝12的左顶点为A，上顶点为B，则|AB|＝（）A． B．2 C．4 D．4．如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是（）A．直线EF，HG有可能平行 B．直线EF，HG一定异面 C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上 D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B＝45°，C＝75°，则b＝（）A．2 B． C． D．6．如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数y＝f（x），则y＝f（x）的图象（）A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝﹣1对称 C．关于y轴对称 D．关于点（0，0）对称7．已知直线l的方程是2x+y+m＝0，则“原点O在直线l的右上方”是“点A（2，﹣1）在直线l的右上方”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知正数a，b，c满足2a＝b2＝log2c＝k（4＜k＜16），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b9．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A．10米 B．20米 C．米 D．米10．已知，则＝（）A．或1 B．或﹣1 C．或1 D．或﹣111．如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．已知f（x）＝|x+a|﹣sin（2x+）的最小值为0，则正实数a的最小值是（）A． B． C． D．1二、填空题（每小题5分）.13．已知＝（1，2），||＝5，•＝10，则向量夹角的余弦值为．14．（2﹣x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为．15．2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：调查人数x300400500600700感染人数y33667并求得y与x的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为．（疫苗的有效率为﹣1≈0.009132；结果保留3位有效数字）16．如图，ABCD是圆台的轴截面，AB＝3CD＝6，AD＝2，过点D与AD垂直的平面交下底圆周于E，F两点，则四面体CDEF的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知{an}为公差不为0的等差数列，且a1＝3，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝2，AC⊥BC，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°，D是棱BB1的中点．（I）求证：BB1⊥平面ACD；（2）设E是A1B1的中点，求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．19．已知函数f（x）＝（x﹣b）ex﹣（a＞0，b∈R，e为自然对数的底数）．（1）当b＝2时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在R上单调递增，求证：ea﹣1≥b．20．为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是．（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？21．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的动直线l与抛物线交于A，B两点，直线l'过点A（x1，y1），且点F关于直线l'的对称点R（x1，﹣1）．（1）求抛物线E的方程，并证明直线l'是抛物线E的切线；（2）过点A且垂直于l'的直线交y轴于点G，AG，BG与抛物线E的另一个交点分别为C，D，记△AGB的面积为S1，△CGD的面积为S2，求的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为：（α为参数），直线l的极坐标方程为：．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设A，B是曲线C与直线l的公共点，P（2，0），求||PA|﹣|PB||的值．[选修45：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|ax+2|（a＞0）．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{y|y＝sinx}，则（∁RA）∩B＝（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[0，1]解：A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|y＝sinx}＝[﹣1，1]，∁RA＝[0，2]，则（∁RA）∩B＝[0，1]，故选：D．2．复数z满足zi＝2+3i，则|z|＝（）A． B． C． D．【解答】解:∵复数z满足zi＝2+3i，∴z＝＝＝3﹣2i,∴|z|＝＝．故选：C．3．已知椭圆3x2+4y2＝12的左顶点为A，上顶点为B，则|AB|＝（）A． B．2 C．4 D．解：椭圆3x2+4y2＝12的方程整理可得：+＝1，由题意可得：A（﹣2，0），B（0，），所以|AB|＝＝，故选：A．4．如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是（）A．直线EF，HG有可能平行 B．直线EF，HG一定异面 C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上 D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上解：∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴，则EH∥BD，且EH＝，又CF＝2FB，CG＝2GD，∴，则FG∥BD，且FG＝，∴EH∥FG，且EH≠FG，∴四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EH＝GF，与EH≠FG矛盾，故A错误；由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝，FG＝，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，则O∈EF，又EF⊂平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误．故选：C．5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B＝45°，C＝75°，则b＝（）A．2 B． C． D．解：由题意可知，A＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可知＝，所以b＝sinB•＝×＝2．故选：C．6．如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数y＝f（x），则y＝f（x）的图象（）A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝﹣1对称 C．关于y轴对称 D．关于点（0，0）对称解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y＝的值，可得当x≥0时，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）是关于直线x＝1对称的二次函数；当x＜0时，y＝﹣x2﹣2x＝﹣x（x+2）是以直线x＝﹣1为对称轴的二次函数，由此可知，该函数关于原点对称，即f（x）+f（﹣x）＝0，则y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称．故选：D．7．已知直线l的方程是2x+y+m＝0，则“原点O在直线l的右上方”是“点A（2，﹣1）在直线l的右上方”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：当原点O在直线l的右上方时，则有2×0+0+m＞0，解得m＞0，当点A（2，﹣1）在直线l的右上方时，则有2×2﹣1+m＞0，解得m＞﹣3，因为（0，+∞）⫋（﹣3，+∞），故“原点O在直线l的右上方”是“点A（2，﹣1）在直线l的右上方”的充分不必要条件．故选：A．8．已知正数a，b，c满足2a＝b2＝log2c＝k（4＜k＜16），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b解：∵4＜k＜16，2a＝b2＝log2c＝k，∴24＜c＜216，2＜a＜4，2＜b＜4．分别画出函数y＝2x，y＝x2的图象，可得：2＜x＜4时，函数y＝2x的图象在下面，y＝x2的图象在上面，由2a＝b2，可得：b＜a＜4，综上可得：b＜a＜c，故选：B．9．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行．现测得下底直径米，上底直径米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A．10米 B．20米 C．米 D．米解：建立如图的坐标系，由题意可知D(10,20),B(10,﹣60),设双曲线方程为：,∴,解得a2＝100,b2＝400,|EF|＝2a＝20，故选：B．10．已知，则＝（）A．或1 B．或﹣1 C．或1 D．或﹣1解：因为，所以sin（）＝cos（2x）＝2cos2（x﹣）﹣1＝cos（x﹣），解得，cos（x﹣）＝1或cos（x﹣）＝﹣，则＝sin（）＝cos（﹣x）＝﹣或1．故选：A．11．如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，对于①，w时v的函数，由于v确定，故h确定，w就确定，故选项①正确；对于②，v时w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故于函数的定义相矛盾，不是函数，故选项②错误；对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称），故于函数的定义相矛盾，不是函数，故选项③错误；对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故选项④正确．故选项①④正确．故选：B．12．已知f（x）＝|x+a|﹣sin（2x+）的最小值为0，则正实数a的最小值是（）A． B． C． D．1解：∵f（x）＝|x+a|﹣sin（2x+）的最小值为0，∴|x+a|≥sin（2x+）恒成立且可取等号，设y1＝|x+a|，y2＝sin（2x+），分别画出y1＝|x+a|和y2＝sin（2x+）的图象如图，观察知，当y1，y2相切时等号成立，设切点为（m，n），y2′＝2cos（2x+），y1′＝1，∴2cos（2m+）＝1，∴cos（2m+）＝，∴m＝0，把m＝0代入y2＝sin（2x+）得，n＝，∴切点为（0，），把（0，）代入y1＝|x+a|得|a|＝，∵a为正实数，∴a＝．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知＝（1，2），||＝5，•＝10，则向量夹角的余弦值为．解：∵，∴．故答案为：．14．（2﹣x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为﹣160．解：（2﹣x）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n＝6，故展开式的通项公式为Tr+1＝•26﹣r•（﹣x）r，令r＝3，可得展开式中x3的系数为﹣•23＝﹣160，故答案为：﹣160．15．2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：调查人数x300400500600700感染人数y33667并求得y与x的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为0.817．（疫苗的有效率为﹣1≈0.009132；结果保留3位有效数字）解：（300+400+500+600+700）＝500，（3+3+6+6+7）＝5，则，则y关于x的线性回归方程为，当x＝10000时，，故N＝109.5，由题意可得，n＝20，则该疫苗的有效率为1﹣≈0.817．故答案为：0.817．16．如图，ABCD是圆台的轴截面，AB＝3CD＝6，AD＝2，过点D与AD垂直的平面交下底圆周于E，F两点，则四面体CDEF的体积为．解：如图，连接AB，DC，设AB交EF于O，连接DO，CO，∵AD⊥平面DEF，DO⊂平面DEF，∴AD⊥DO，过D作DP⊥AB于P，则DP⊥圆台底面，由AB＝3CD＝6，结合圆台的对称性可得，AP＝2，又AD＝，可得DP＝2，由射影定理可得，AO＝，则O为AB的一个三等分点，可得CO∥DP，则CO⊥圆台底面，∵CO⊂平面EFC，∴平面EFC⊥圆台底面，EF＝＝＝，则，又DC⊥平面EFC，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知{an}为公差不为0的等差数列，且a1＝3，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d(d≠0)，由题设可得：a42＝a1a13，又a1＝3，∴(3+3d)2＝3(3+12d)，解得：d＝2，∴an＝3+2(n﹣1)＝2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：＝＝(﹣)，∴Sn＝(1﹣+﹣+•••+﹣)＝(1﹣)＝．18．如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝2，AC⊥BC，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°，D是棱BB1的中点．（I）求证：BB1⊥平面ACD；（2）设E是A1B1的中点，求二面角E﹣CD﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：连接CB1，因为侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°，D是棱BB1的中点，所以△CB1B是正三角形，所以B1B⊥CD，因为侧面AA1C1C是矩形，所以AC⊥C1C又因为B1B∥C1C，所以B1B⊥AC，因为AC∩CD＝C，所以B1B⊥平面ACD．（2）解：过E作EF∥B1B，交AB于F，交AD于M，又由（1）知B1B⊥平面ACD，所以EF⊥平面ACD，因为E为A1B1中点，所以M为AD中点，取CD中点N，连接NM、NE，则MN∥AC，MN＝AC＝1，又因为AC⊥C1C，AC⊥BC，C1C∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C，又因为CD⊂平面BB1C1C，所以AC⊥CD，所以MN⊥CD，因为MN为NE在平面ACD内射影，所以CD⊥NE，所以∠EMN为二面角E﹣CD﹣A的平面角，其大小设为θ，tanθ＝＝＝，cosθ＝＝．19．已知函数f（x）＝（x﹣b）ex﹣（a＞0，b∈R，e为自然对数的底数）．（1）当b＝2时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在R上单调递增，求证：ea﹣1≥b．解：（1）当b＝2时，f（x）＝（x﹣2）ex﹣（x﹣2+1）2＝（x﹣2）ex﹣（x﹣1）2，f′（x）＝（x﹣2）ex+ex﹣•2（x﹣1）＝（x﹣1）ex﹣a（x﹣1）＝（x﹣1）（ex﹣a），（a＞0）令f′（x）＝0得x＝1，x＝lna，当1＝lna，即a＝e时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当1＜lna，即e＜a时，在区间（0，1），（lna，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在区间（1，lna）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当1＞lna，即0＜a＜e时，在区间（0，lna），（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在区间（lna，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上所述，当a＝e时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当e＜a时，f（x）在区间（0，1），（lna，+∞）上单调递增，在区间（1，lna）上单调递减，当0＜a＜e时，f（x）在区间（0，lna），（1，+∞）上单调递增，在区间（lna，1）上单调递减．（2）证明：因为f（x）在R上单调递增，所以任意x∈R，f′（x）＝ex（x﹣b+1）﹣a（x﹣b+1）≥0恒成立，即任意x∈R，（ex﹣a）（x﹣b+1）≥0恒成立，令f′（x）＝0得x＝lna，x＝b﹣1，所以lna＝b﹣1，即b＝lna+1，所以要证ea﹣1≥b，只需证ea﹣1≥lna+1，设g（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1（x＞0），所以g′（x）＝ex﹣1﹣，在（0，+∞）上单调递增，又g′（1）＝0，所以在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝e1﹣1﹣ln1﹣1＝0，所以g（x）≥0恒成立，所以ea﹣1≥b．20．为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是．（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？解：（1）小明答对三道题，有以下两种情况，①第一类错一题：P1＝＝，②第二类错一题，P2＝＝，所以所求概率为P＝P1+P2＝；（2）得分期望如下：①若抽2个第二类：10+10×++2×15+×40＝45（分），②若抽3个第二类：10+（﹣15）+3××10+3××35+×60＝51.25（分），抽取三个第二类题的期望较大，所以应选3道二类题．21．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的动直线l与抛物线交于A，B两点，直线l'过点A（x1，y1），且点F关于直线l'的对称点R（x1，﹣1）．（1）求抛物线E的方程，并证明直线l'是抛物线E的切线；（2）过点A且垂直于l'的直线交y轴于点G，AG，BG与抛物线E的另一个交点分别为C，D，记△AGB的面积为S1，△CGD的面积为S2，求的取值范围．解：（1）R（x1，﹣1）在定直线m：y＝﹣1上，|AR|表示A到直线m的距离，因为F关于l'的对称点为R，故|AF|＝|AR|，即抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线m的距离，直线m即为准线，所以﹣＝﹣1，即p＝1，抛物线的方程