第五章 地球的形状及重力场

第五章地球的形状及重力场第1页，课件共147页，创作于2023年2月第五章地球的形状及重力场地球深部结构及海洋洋流变化固体地球均衡响应及冰后回弹地幔和岩石圈密度变化地球物理勘探地球重力场与国防、军事

第2页，课件共147页，创作于2023年2月大地测量学重力测量学重力测量仪重力学固体潮与地壳形变地球重力学重力勘探卫星重力学行星重力学微重力测量学引力波地球动力学重力（位场）数据计算与分析处理计算地球物理学第3页，课件共147页，创作于2023年2月18世纪中叶以前，人们单纯采用几何大地测量方法测定地球形状。1743年法国的克莱罗在其著作《地球形状理论》中，假设地球内部处于静力平衡状态，地球的质量密度分布是从地球质心向外随距离的增加而减小的。在这种假定下，他认为地球的外表面应是一个水准椭球，即椭球表面上各点的重力位相等，从而论证了重力值（物理量）和地球扁率（几何量）之间的数学关系，这一论证称为克莱罗定理。这一定理奠定了用物理方法研究地球形状的理论基础。第五章地球的形状及重力场第4页，课件共147页，创作于2023年2月19世纪初，法国的拉普拉斯和德国的高斯、贝塞尔等都认识到椭球面不足以代表地球表面。1849年，英国的斯托克斯（Stokes）提出了斯托克斯理论，即在地球的外重力位水准面上给定重力和重力位，已知地球离心力位，可以求出这个外重力位水准面的形状和外部重力位，无须对地球内部物质分布作任何假设。但为了求得唯一解，水准面外部不能有质量存在。斯托克斯理论是克莱罗定理的进一步发展。第五章地球的形状及重力场第5页，课件共147页，创作于2023年2月1873年，利斯廷(Listing)提出用大地水准面代表地球形状，由此可将斯托克斯理论用于研究大地水准面形状。但由于大地水准面外部存在大陆，所以必须通过重力观测值的归算移去这些物质，这将使大地水准面发生形变，并且必须知道归算范围内岩层密度分布的数据。所以归算问题一直成为经典的斯托克斯理论的障碍。尽管如此，斯托克斯理论还是推动了大地水准面形状的研究工作。第五章地球的形状及重力场第6页，课件共147页，创作于2023年2月1945年，苏联的莫洛坚斯基（Molodensky）提出了用地面重力观测来确定地球形状的理论，从而回避了长期无法解决的重力归算问题。但是仍然存在资料（重力数据）不足的矛盾。在平原或丘陵地区应用经典方法，虽然归算在理论上不严密，但不足以影响大地水准面的计算精度。困难在于莫洛坚斯基理论虽然严密，但在高山地区所需要的数据众多，当时条件下很难满足。第五章地球的形状及重力场第7页，课件共147页，创作于2023年2月1957年第一颗人造地球卫星发射成功，开创了卫星重力探测时代根据卫星轨道摄动理论，观测卫星轨道摄动确定低阶位系数利用卫星海洋雷达测高确定高精度高分辨率海洋重力场模型和大地水准面模型GPS技术结合水准测量直接测定大陆大地水准面本世纪初利用卫星跟踪卫星和卫星重力梯度测量技术可以确定全球更高精度和分辨率的静态重力场模型和时变重力场模型第五章地球的形状及重力场第8页，课件共147页，创作于2023年2月卫星重力探测技术的发展，突破了人们过去获取重力场信息的局限性，使得物理大地测量的研究从局部或区域性扩展到全球，从测定静态地球重力场发展到测定时变重力场。第五章地球的形状及重力场第9页，课件共147页，创作于2023年2月在基础理论方面，重力学的研究内容包括地球重力场的空间分布特征与规律，重力场变化所反映的物质质量分布、密度分布的状态、性质、特征与规律，以及重力场因天体运动和地球内部物质运动引起的周期性变化规律与非周期变化的性质、机理。在应用方面，重力学的研究内容主要为重力测量技术和观测数据解译技术以及相关的理论，即“重力勘探”。第五章地球的形状及重力场第10页，课件共147页，创作于2023年2月人类对于重力现象的认识过程经历了三次大飞跃:古希腊的伟大学者亚里士多德(公元前384～公元前322年)曾提出：运动物体的下落时间与其重量成比例。直到16世纪才被伽利略(1564～1642年)所否定。他从大量的实验中总结出：物体坠落的路径与它经历的时间的平方成正比，而与物体自身的重量无关。这是人类第一次对重力现象有了科学的认识。第五章地球的形状及重力场第11页，课件共147页，创作于2023年2月荷兰物理学家惠更斯提出了数学摆和物理摆的理论，并研制出第一架摆钟。此后的200多年间，测定重力的唯一工具就是摆钟。1672年，里舍(1630-1690年)在利用摆钟从巴黎到南美洲赤道附近卡宴（Cayenne）进行天文观测时发现重力加速度在各地并非恒值，这一消息被牛顿和惠更斯得知后，两人不谋而合地指出：这种现象与他们认为地球是旋转的扁球体的推论相符。从而在理论上阐明了地球重力场变化的基本规律。第五章地球的形状及重力场第12页，课件共147页，创作于2023年2月牛顿(1642～1727年)提出的万有引力定律。万有引力定律是解释重力场的最基础理论，是人类认识重力的最重要的里程碑。第五章地球的形状及重力场开普勒发表行星运动三大定律后，很多科学家都在研究行星为什么要沿开普勒轨道运行。胡克（1635～1703）、哈雷（1656～1742）、等人，都按照圆形轨道由开普勒第三定律和惠更斯的向心力公式推导出太阳与行星之间存在的吸引力，是一种和距离平方成反比的力，但这种力为什么会形成椭圆轨道？他们没有能够从理论上得到证明。彻底解决这个问题的人是牛顿，他从研究月球绕地球运动入手，运用自己的力学和微积分成就，从理论上证明了引力跟距离的平方成反比。万有引力定律揭示了天体运动的规律。第13页，课件共147页，创作于2023年2月1735-1745年，法国科学家布格（Bouguer）在秘鲁安第斯山脉附近测量子午线曲率期间，发现安第斯山的物质不能抵消巨大的垂向偏差（重力变化），几年后，R.J.Boscovitch由此推测安第斯山底下可能有低密度物质存在。1854年，英国人普拉特（J.H.Pratt)在尼泊尔喜马拉雅山附近进行大地测量时也发现了这一现象，喜马拉雅山的物质不能抵消巨大的垂向偏差（重力变化），由此推测喜马拉雅山底下有巨大的低密度物质存在。从此，人们开始注意到地下物质密度不均匀体引起的重力变化。第14页，课件共147页，创作于2023年2月20世纪初，由于厄特沃什研制成适用于野外作业的扭秤，在匈牙利进行了持续的扭秤观测，结果表明扭秤可以反映地下区域的密度变化。在应用地球物理方法勘探石油之初就是使用扭秤。1934年拉科斯特研制出了高精度的金属弹簧重力仪，沃登研制了石英弹簧重力仪，这类仪器的测量精度约达0.05-0.2mGal，到1939年，这类重力仪完全取代了扭秤。从此，重力测量迅速发展，应用于大地测量、地球内部构造、地球动力学、资源勘探、工程建设、灾害预防等基础性科学和应用基础性科学的各个方面。第15页，课件共147页，创作于2023年2月第16页，课件共147页，创作于2023年2月第一节地球的形状地球形状的基本概念地球形状的直观感觉第17页，课件共147页，创作于2023年2月第一节地球的形状地球形状的基本概念地球形状，是指大地水准面形状。它的定义就是与平均海洋表面最逼近的那个重力等位面。

第18页，课件共147页，创作于2023年2月大地水准面

重力等位面并不是一个抽象的数学概念，事实上，在日常生活中经常可以看到，甚至加以应用。一个平静的水面就是某个重力等位面的一部分。可以想象，若平静的水面上重力位不相等，那么位能差就会使水流动而不能静止。在局部区域内，平静的水面恰似为一个平面，这一现象很早就被应用到地形测绘中，用于标定高度或高差。因此，在测绘技术中称重力等位面为水准面。同一个水准面上的高度或高程是相等的，而且它与用一根悬吊静止重物时的铅垂线垂直，这个铅垂线实际上代表了重力方向。第19页，课件共147页，创作于2023年2月第一节地球的形状地球形状的物理含义是重力等位面形状不规则其形状反映了地球的质量分布和转动惯性。地球形状是引力、离心力和内部应力平衡的产物。

第20页，课件共147页，创作于2023年2月第一节地球的形状确定地球形状的步骤先选择一个与大地水准面同重力位而又很逼近的等位面做为参考面（旋转椭球面，参考椭球面），这个参考面的形状简单，便于计算精确测定大地水准面与这个简单曲面的偏离，包括纬度方向上的偏离，经度方向上的偏离，以及局部偏离。实测表明，大地水准面与参考椭球面的最大偏离不超过地球半径的十万分之一。若选取三轴椭球面做为参考面对实际的精度并无好处，计算上却复杂得多了。第21页，课件共147页，创作于2023年2月地球的形状地球总体上是椭球形，数学上可以用一个椭球来描述——地球椭球。地球椭球是用来代表地球形状的椭球，它是地球表面的几何数学模型。

历史上由于受到技术条件的限制，不能勘测整个地球椭球的大小，只能用个别国家和局部地区的大地测量资料推求椭球体的元素（长轴半径、扁率等）。这些根据地方数据推算得出的椭球有局限性，只能作为地球形状和大小的参考，故称为参考椭球。参考椭球是具有区域性质的地球数学模型，且仅具有数学性质而不具物理特性。它具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。第22页，课件共147页，创作于2023年2月球形地球扁球形地球梨形地球

第23页，课件共147页，创作于2023年2月重力的定义

地球重力由两部分组成，地球上任何一个物体，都同时受到地球的引力F和因随地球自转而产生的惯性离心力C的作用。由牛顿万有引力定律，有物体单位质量m所受万有引力为[G=6.6732×10-11m3/(kg·s2)]第二节地球的重力位第24页，课件共147页，创作于2023年2月物体所受的惯性离心力为两者的矢量合为重力，即第二节地球的重力位地球重力场：在地球内部及其附近存在重力作用的空间。第25页，课件共147页，创作于2023年2月在地球物理学中所称的重力就是指重力场强度，重力场强度实际上就是重力加速度。重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力。重力加速度：重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。重力加速度重力重力场强度第二节地球的重力位第26页，课件共147页，创作于2023年2月重力的单位：衡量重力大小的单位有两个系统，一个是高斯制（CGSM)，另一个是国际制（SI）。CGSM:Gal（伽），mGal（毫伽），μGal（微伽）SI:m/s2，g.u.(10-6m/s2)1Gal=10-2m/s2=104g.u.1mGal=10-5m/s2=10g.u.1uGal=10-8m/s2=10-2g.u.目前，最好的重力仪测量精度可达到微伽级。第二节地球的重力位第27页，课件共147页，创作于2023年2月质点引力场可以证明，rotf(p)=0，因此，必然存在一个标量（位）函数u(p)，使得即

地球引力场p(x,y,z)m=σvXYZOp’(ξ,η,ζ)lRpRp’c=0第28页，课件共147页，创作于2023年2月地球引力场在地球外部，引力的散度为零，即

地球引力场满足Laplce方程（拉普拉斯）

第29页，课件共147页，创作于2023年2月地球引力场在地球内部，引力的散度为该点密度的函数，即

地球引力场满足Poisson方程（泊松）第30页，课件共147页，创作于2023年2月

尽管地球自转角速度随时间有微小的变化，但通常还是把它视为常数.可以证明，rotC(p)=0，因此，必然存在一个标量（位）函数Q(p)，使得即

地球离心力场r→0,

c=0CrRpXYZOFg

第31页，课件共147页，创作于2023年2月离心力场C(p)的散度地球表面离心力场强度为若按一个恒星日计，地球自转一周的角速度为则地球离心力场的分布是有规律的，在赤道处最大，约为引力的1/288，在两极为零。地球离心力场第32页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场地球重力可表示为地球重力位为重力场的各分量分别为

地球重力场第33页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场

地球外部重力场满足

地球内部重力场满足

——重力位不是调和函数。地球重力场第34页，课件共147页，创作于2023年2月重力位的高阶导数

在场源以外空间，重力位具有连续高阶偏导数，各阶偏导数都有相应的物理意义。例如，重力位的一阶偏导数等于重力在求导方向的分量。根据前面的讨论，在求导方向与重力方向一致时，重力位的一阶偏导数等于重力。重力位二阶导数的意义是重力在某一坐标轴方向的分量沿同一或另一坐标轴方向的变化率。重力位共有六个独立二阶偏导数，即：式中Wxx、Wyy

、Wzz

、Wxy

、Wxz

、Wzy为各二阶偏导数的常用符号，简明易用。

地球重力位及其高阶导数第35页，课件共147页，创作于2023年2月重力位的高阶导数重力位二阶偏导数表达式

地球重力位及其高阶导数第36页，课件共147页，创作于2023年2月重力位的高阶导数

重力位高阶导数是重力场空间变化的表征，这些变化是地球重力场的重要特征。重力位高阶导数突出重力场信号中那些变化相对较大成分，以便进行场源特征的分析。例如，在重力位二阶导数中惯性离心力位函数变为常数，其它一些变化平缓的成分也会相应“降阶”而变得简单，而那些变化相对剧烈的成分的特征得以显现。重力位二阶导数是最常被用到的高阶导数，在分析局部重力资料时，有时也用到重力位三阶、四阶导数。地球重力位及其高阶导数WWxxWzz第37页，课件共147页，创作于2023年2月重力位的高阶导数的单位

重力位二阶导数的单位：厄缶（或艾维）1E=10-91/s2（1/秒2）1E相对于每公里重力值变化变化0.1毫伽。三阶导数的单位：地球重力位及其高阶导数第38页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力位等位面——水准面

重力位对任一方向l求导数即为重力在该方向上的分量或重力在该方向上的投影，即可表示为当重力方向与l方向垂直时，有

可见，上式为一簇曲面方程，任意一个方程为一个重力等位面——水准面，且任意两个等位面或水准面不相交。地球重力场第39页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力位等位面——水准面由于地球内部物质密度的不均匀性，地球重力位等位面之间的一般是不平行的。重力位在等位面内法线方向n上的偏导数为该处的重力值，即重力等位面既不相交，又不平行，而重力又与之垂直，可见，重力线一定是一条曲线，而通常所说的铅锤线，则是重力线在该处的切线，它代表着该处的重力方向。

地球重力场第40页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力位等位面——水准面

大地水准面是一个特殊的重力等位面。由于地球表面70%以上为海水覆盖，因此，通常用大地水准面表示地球的基本形状。如果海水面是一个平静，这个水准面即为大地水准面。但海水面永远不会平静，所以，一般是将平均的海平面作为大地水准面，大地水准面也是一个十分复杂的曲面。

地球重力场第41页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场

地球重力的基本特征

地球重力的数值依不同地点的海拔高度和纬度而异。以海平面计算，在地球赤道的重力值约为9.780m/s2，在两极约为9.832m/s2，一般而言同一海拔高度下，位于赤道地区重力最小，而处于两极处的重力最大。而海拔越高，地球重力越小，这也就是在物体在卫星或飞船上总是处于“微”重力的缘故。地球不是标准的球体，其赤道平均半径要略大于两极平均半径，形状上好似一个两级压扁的椭球体。显然，即使地球内部是均匀的，在其表面产生的引力也将是不同的。测量结果表明，地球两极地区引力值要比赤道地区的高出约0.018m/s2。

第42页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场

实际地球表面是凹凸不平，而且内部的物质密度不均匀，这也将导致引力各处不同。导致地球重力随纬度变化的另一个重要因素是惯性离心力。如果地球稳定地围绕地轴匀速旋转，物体受到的惯性离心力仅与它的到地轴的距离有关。惯性离心力在赤道上最大，约为0.0339m/s2，而在两极处等于零。赤道处离心力大致等于为地球平均引力的1/300，相对地球引力较小，因此惯性离心力对地球引力的方向改变不大。所以说，地球重力大致由测量地点指向地心。第43页，课件共147页，创作于2023年2月地球的引力：惯性离心力：

地球重力场的解析表达式CrRAXYZOFg

第44页，课件共147页，创作于2023年2月

为了便于计算，可将向量积分式式进行分解，写成引力沿x、y、z坐标轴方向的分量积分。令引力与三坐标轴夹角的方向余弦分别为：引力场的各分量分别为

地球重力场的解析表达式第45页，课件共147页，创作于2023年2月惯性离心力与三坐标轴夹角的方向余弦分别为惯性离心力场的各分量分别为

地球重力场的解析表达式第46页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力可表示为重力场的各分量分别为

地球重力场的解析表达式第47页，课件共147页，创作于2023年2月

理论上，只要已知了地球内部物质的密度分布，就可以计算地球内部和外部空间重力场。但事实上这种计算方法还很难实现。尽管近几十年来地球探测工作的成果已经部分地揭示了地球内部全球或大陆尺度的地球内部结构、物质组成，而迄今为止人类对地球内部尤其地球深部的物质组成、性态等还知之甚少，以致无法准确地构建出地球内部物质密度分布函数。科学家通常会用一些其它证据（如地震波速、岩石高温高岩试验等）估计地球内部物质的密度分布，但利用这样的物质密度分布很难计算出真实的地球重力场。根据位场理论，准确地获得地球重力场的空间分布，需要依靠大量的地球表面或附近空间的重力测量资料。

地球重力场的解析表达式第48页，课件共147页，创作于2023年2月地球内部物质密度分布对地球内部重力场的了解依赖于对地球内部密度分布的了解。1798年，卡文边什在实验室中根据两个物体的相互引力测得地球的平均密度为

m＝5.5克/厘米3，……地球的密度应大体成层分布；地球内部物质密度随深度增大而增加；地球的平均密度比地球表层的密度大一倍以上。

地球内部重力场第49页，课件共147页，创作于2023年2月地球内部重力场如果把地球视为呈层状均匀的球体，则可通过积分获得地球内部重力场。若不考虑离心力，地球内部引力位可视为由不同密度的层圈在p点处产生的引力位，即可以证明则地球内部重力场pp

lr

e

iR第50页，课件共147页，创作于2023年2月地球内部重力场

将密度代入上式计算，可得出地球内部重力场的随深度的变化。按照上述假设，自地面到深度为2400公里处，重力场变化很小，可近似视为常量，在核幔边界上达到最大值，这是由于地核密度突然增大的缘故。进入地核以后，重力值随深度迅速衰减，至地心重力位为零。地球内部重力场第51页，课件共147页，创作于2023年2月地球引力位公式—麦克拉夫（MacCullagh)公式假定P点远离M，即(r′/r)«1,则：

第52页，课件共147页，创作于2023年2月式中第一项表示全体质量集中于质心的引力位。第二项为零，这是因为取物体质心为原点的缘故，因此该项仅与坐标选取有关，没有实际的物理意义。第三项中的积分可改写为：式中的A、B、C是相对于x、y、z轴的转动惯量。因此,该项与地球相对于三个轴的质量分布有关。第53页，课件共147页，创作于2023年2月第四项中的积分表示地球相对于OP的转动惯量，以I表示，因此，该项与地球相对于OP联线的质量分布有关。于是，麦柯拉夫第一公式为：由于在公式推导中，忽略了(r′/r)的三次和三次以上小量，所以它是一个描述离地球较远处的引力位的近似公式。在推导中，取质心为坐标原点和取三轴为主惯性轴，并不是推导条件，仅是为了表述整齐而采取的数学技巧。公式对地球的形状也没有要求。第54页，课件共147页，创作于2023年2月麦克拉夫第二公式假设地球为旋转椭球,即A=B

C。由于

其中l、m、n表示OP联线相对于x、y、z轴的方向余弦，其中n=cos

(

为P点余纬)，则：于是：于是：第55页，课件共147页，创作于2023年2月麦克拉夫第二公式则：

其中：也可表示为：

上两式即麦柯拉夫第二公式（旋转椭球引力位公式）。

第一项是质量全部集中于质心的影响；第二项反映地球形状的影响。

第56页，课件共147页，创作于2023年2月扁球方程椭球方程式中，a、c分别为半长轴和半短轴，若用极坐标，有：代入上式，则得：第57页，课件共147页，创作于2023年2月扁球方程引入几何扁率：则得：则得：代入上式，得：第58页，课件共147页，创作于2023年2月扁球方程这就是扁球方程式。它与椭球方程式的形式不同，但在赤道处所得r的值均为a；在两极处所得r的值均为c。第59页，课件共147页，创作于2023年2月克莱罗方程设静止海平面的重力位为W0，则W0

＝常数，利用麦柯拉夫第二公式和地球离心力位公式，则得大地水准面方程：在赤道处，r=a,θ=90°，则与赤道重力位相等的各点组成的等位面方程为：第60页，课件共147页，创作于2023年2月克莱罗方程令上两式相等，则：根据实侧结果：J2＝(C—A)／Ma2与q的数量级为10-3，第61页，课件共147页，创作于2023年2月克莱罗方程第62页，课件共147页，创作于2023年2月克莱罗方程克莱罗方程静止海平面(重力等位面)的近似方程扁球方程在的高阶小量情况下，克莱罗扁球方程中的可理解为地球的几何扁率第63页，课件共147页，创作于2023年2月第三节地球扁率的测定和地球形状的研究牛顿在1687年第一次近似计算地球扁率。1909年海福特(Hayford)等人，根据天文大地测量资料，得到地球扁率为1/297。这个数值，在1924年由国际大地测量协会正式采用，并且一直使用到20世纪60年代人造卫星出现。1979年国际大地测量与地球物理协会通过了1980大地参考系，采用的地球扁率为1/298.257。第64页，课件共147页，创作于2023年2月地球扁率的测定－扁率的定义几何扁率：重力扁率：动力扁率：第65页，课件共147页，创作于2023年2月地球扁率的测定－天文大地测量法天文大地测量法又称天文测量法(指测量纬度变化)或大地测量法(指测量地面长度)。包含两个内容：测天文纬度(铅垂线与赤道面夹角)；再测纬度改变1º时的地面长度，即一度弧距。大地天文法测量扁率原理实际观测表明，高纬度弧距大于低纬度弧距。弧距大者曲率小；弧距小者曲率大。依曲率之大小逐点连结，则成一椭圆。由不同纬度处的纬度值和相应弧距，代入一定公式，可算出扁率。这样得出的扁率为几何扁率。典型值：1/298.256第66页，课件共147页，创作于2023年2月地球扁率的测定－地面重力法由旋转椭球体的重力位对r的微分可以得到沿矢径的重力g为：式中ge为赤道重力加速度，

为重力扁率。测出不同纬度

的一系列重力加速度g，采用最小二乘法同时得出ge和(·ge),再相除得出。

其它方法得到q典型值：1/297.3

克拉索夫斯基考虑二阶项

第67页，课件共147页，创作于2023年2月地球扁率的测定－人造卫星法典型值：1/298.256月球或太阳使有凸起的地球产生进动,类似地,凸起的地球也会使它的卫星产生进动，卫星沿轨道转动一周，节点移动的角变化为：第68页，课件共147页，创作于2023年2月

我国建立的1954年北京坐标系（简称北京54坐标系）应用的是克拉索夫斯基椭球参数；建立1980年国家大地坐标系（简称国家80坐标系）应用的是1975年国际大地测量与地球物理联合会（IUGG）推荐的椭球参数；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数；下表列出了几种椭球参数。参数克拉索夫斯基椭球体1975年IUGG椭球体WGS-84椭球体a6378245.0000000000（m）6378140.0000000000（m）6378137.0000000000（m）c6356863.0187730473（m）6356755.2881575287（m）6356752.3142（m）

1／298.31／298.2571/298.257223563地球的形状的表示方法—参考椭球（地球椭球）第69页，课件共147页，创作于2023年2月名称年代和国家长半轴扁率德兰布尔1800法国63676531:334白塞尔1841德国63773971:299.15克拉克1801英国63782491:293.47海福特1910美国63783881:297克拉索夫斯基1940苏联63782451:298.3IAG16届推荐参数1975IAG63781401:298.257IAG17届推荐参数1979IAG63781371:298.257IAG18届推荐参数1983IAG63781361:298.257国际上曾经采用的椭球参数

第70页，课件共147页，创作于2023年2月地球形状的研究－布隆斯公式同一点的重力位W与正常重力位U有微小的差别,称为扰动位T，于是大地水准面上P0点的重力位为地球椭球体面上的正常重力位为

布隆斯公式

第71页，课件共147页，创作于2023年2月地球形状的研究－斯托克司定理英国物理学家斯托克司在1849年提出了一个定理：如果知道了一个水准面的形状

和它内部所包含的物质的总质量M，以及整个物体绕某一固定轴作匀速旋转的角速度

0，则这个水准面上及其外部所有点上的重力位都可以单值地被确定，而无需知道地球内部质量的具体分布情况。第72页，课件共147页，创作于2023年2月地球形状的研究－斯托克斯公式利用斯托克斯积分，得扰动位：其中：称为斯托克斯函数第73页，课件共147页，创作于2023年2月地球形状的研究－斯托克斯公式在大地水准面上，r=R,则：其中：即大地水准面上任意点的扰动位，可通过全球重力异常的积分求得。第74页，课件共147页，创作于2023年2月地球形状的研究－大地水准面高度公式将斯托克斯公式代入布隆斯公式，则：上式称为计算大地水准面高度的斯托克斯公式。第75页，课件共147页，创作于2023年2月

近年来的卫星大地测量和卫星重力测量成果表明，全球高程异常的分布具有区带性，总体上高程异常正、负区带由南至北贯穿。高程异常幅度为-107m至+84m；最低处位于印度半岛南方赤道附近，低于地球椭球面超过100m；最高处位于澳大利亚东北面的所罗门海附近，高于地球椭球面超过70m

。地球形状—大地水准面形状第76页，课件共147页，创作于2023年2月地球形状—大地水准面形状大地水准面形状基本特征：

1.大地水准面是一个十分复杂的曲面；2.从宏观上看，大地水准面与椭球面差异不大，变化幅度为-105m至+77m，相对精度小于10-5，基本可视为旋转椭球面；3.大地水准面的最大偏离在印度半岛南方赤道上；4.大地水准面的实际形呈“梨”状（King-Hele,1969)。第77页，课件共147页，创作于2023年2月卫星重力测量结果地球形状—大地水准面形状第78页，课件共147页，创作于2023年2月卫星重力测量结果

地球形状—大地水准面形状第79页，课件共147页，创作于2023年2月地球的总质量

在前面的讨论中，我们把地球的总质量作为地球引力场的场源。地球总质量既包含了固体地球内部及其表面的附着的物质（如海洋、湖泊、江河）质量，也包含了固体地球周边的大气及外部空间其它浮动物质（如宇宙残片等）的质量。所以地球上物体感受到的引力，不仅源于的地球内部质量，还包括大气及外部空间物质的质量。由于地球大气及地球外围空间物质的总质量不足固体地球及其水圈质量的百万分之一，它们对地球重力的贡献十分微小。

地球形状—几个相关的概念第80页，课件共147页，创作于2023年2月地球的总质量可以通过天体物理的方法来测算。根据近年来天文观测数据，许多科学家计算出的地球总质量都接近六十万亿亿吨。2009年美国宇航局（NASA）公布的地球的总质量为，而地球的平均密度为SourcesResultBeichner,JewettandRaymond,2000.5.98

×

1024

kg"Earth."TheWorldBookEncyclopedia.Vol.

6.Chiacago:WorldBookInc.,2001.6.0

×

1024

kgSmith,PeterJ.,1986.5.83

×

1024

kgLarouse,1981.6.0

×

1024

kg地球形状—几个相关的概念第81页，课件共147页，创作于2023年2月在地球物理学中所称的重力就是指重力场强度，重力场强度实际上就是重力加速度。重力场强度:单位质量的物体在重力场中所受的重力。重力加速度：重力加速度在数值上(包括方向)等于单位质量所受的重力，也就是等于重力场强度。重力加速度重力重力场强度第四节地球重力场特征第82页，课件共147页，创作于2023年2月重力的单位：衡量重力大小的单位有两个系统，一个是高斯制（CGSM)，另一个是国际制（SI）。CGSM:Gal（伽），mGal（毫伽），μGal（微伽）SI:m/s2，g.u.(10-6m/s2)1Gal=10-2m/s2=104g.u.1mGal=10-5m/s2=10g.u.1uGal=10-8m/s2=10-2g.u.目前，最好的重力仪测量精度可达到微伽级。第四节地球重力场特征第83页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场地球重力可表示为地球重力位为重力场的各分量分别为

地球重力场第84页，课件共147页，创作于2023年2月重力位的高阶导数

在场源以外空间，重力位具有连续高阶偏导数，各阶偏导数都有相应的物理意义。例如，重力位的一阶偏导数等于重力在求导方向的分量。根据前面的讨论，在求导方向与重力方向一致时，重力位的一阶偏导数等于重力。重力位二阶导数的意义是重力在某一坐标轴方向的分量沿同一或另一坐标轴方向的变化率。重力位共有六个独立二阶偏导数，即：式中Wxx、Wyy

、Wzz

、Wxy

、Wxz

、Wzy为各二阶偏导数的常用符号，简明易用。

地球重力位及其高阶导数第85页，课件共147页，创作于2023年2月重力位的高阶导数

重力位高阶导数是重力场空间变化的表征，这些变化是地球重力场的重要特征。重力位高阶导数突出重力场信号中那些变化相对较大成分，以便进行场源特征的分析。例如，在重力位二阶导数中惯性离心力位函数变为常数，其它一些变化平缓的成分也会相应“降阶”而变得简单，而那些变化相对剧烈的成分的特征得以显现。重力位二阶导数是最常被用到的高阶导数，在分析局部重力资料时，有时也用到重力位三阶、四阶导数。地球重力位及其高阶导数WWxxWzz第86页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场

地球重力的基本特征

地球重力的数值依不同地点的海拔高度和纬度而异。以海平面计算，在地球赤道的重力值约为9.780m/s2，在两极约为9.832m/s2，一般而言同一海拔高度下，位于赤道地区重力最小，而处于两极处的重力最大。而海拔越高，地球重力越小，这也就是在物体在卫星或飞船上总是处于“微”重力的缘故。地球不是标准的球体，其赤道平均半径要略大于两极平均半径，形状上好似一个两级压扁的椭球体。显然，即使地球内部是均匀的，在其表面产生的引力也将是不同的。测量结果表明，地球两极地区引力值要比赤道地区的高出约0.018m/s2。

第87页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场

实际地球表面是凹凸不平，而且内部的物质密度不均匀，这也将导致引力各处不同。导致地球重力随纬度变化的另一个重要因素是惯性离心力。如果地球稳定地围绕地轴匀速旋转，物体受到的惯性离心力仅与它的到地轴的距离有关。惯性离心力在赤道上最大，约为0.0339m/s2，而在两极处等于零。赤道处离心力大致等于为地球平均引力的1/300，相对地球引力较小，因此惯性离心力对地球引力的方向改变不大。所以说，地球重力大致由测量地点指向地心。第88页，课件共147页，创作于2023年2月地球内部物质密度分布对地球内部重力场的了解依赖于对地球内部密度分布的了解。1798年，卡文边什在实验室中根据两个物体的相互引力测得地球的平均密度为

m＝5.5克/厘米3，……地球的密度应大体成层分布；地球内部物质密度随深度增大而增加；地球的平均密度比地球表层的密度大一倍以上。

地球内部重力场第89页，课件共147页，创作于2023年2月地球内部重力场如果把地球视为呈层状均匀的球体，则可通过积分获得地球内部重力场。若不考虑离心力，地球内部引力位可视为由不同密度的层圈在p点处产生的引力位，即可以证明则地球内部重力场pp

lr

e

iR第90页，课件共147页，创作于2023年2月地球内部重力场

将密度代入上式计算，可得出地球内部重力场的随深度的变化。按照上述假设，自地面到深度为2400公里处，重力场变化很小，可近似视为常量，在核幔边界上达到最大值，这是由于地核密度突然增大的缘故。进入地核以后，重力值随深度迅速衰减，至地心重力位为零。地球内部重力场第91页，课件共147页，创作于2023年2月

在重力测量线下方有不同的构造及岩石；每个测点相对地下构造的位置不同；每个测点相对周边的地形不同；每个测点高程的不同。第五节重力校正与重力异常第92页，课件共147页，创作于2023年2月地球重力场变化的成因分析两极扁平的球体的引力，在同一个水准面上的两极处数值最大，赤道处最小；而惯性离心力则距旋转轴越远数值越大，显然在地球表面赤道处最大，两极处为零；总体上，地球重力的数值随纬度变化，并且在两极处最大，赤道处最小。在地面进行重力测量时，地下分布有各种地质构造和岩石，其密度不尽相同，作为引力场源，它们在不同测点上产生引力也不同。在起伏的地形上进行重力测量时，测点的高程的变化会产生三种效应：①测点高程变化意味着距地心距离变化，地球在测点的引力会变化；②每个测点周边地表物质在的测点产生引力也不同；③每个测点因高程变化相对地下构造和岩石的位置也在变化，地质构造和岩石产生的引力也不同。第93页，课件共147页，创作于2023年2月问题的提出及讨论

研究地球重力的变化，需要建立一个标准，即所谓“正常重力”。这个正常重力应该反映地球形状的特点以及惯性离心力的存在（如随纬度的变化）。可以把地球内部物质分布和表面形状理想化，构造一个“正常的地球重力”，即假设

⑴地球是一个两极压扁的旋转椭球体且表面光滑，正常地球的表面就是正常重力的等位面；⑵地球内部物质密度均匀或呈层状均匀（层面共焦点，层内均匀），正常地球的总质量等于实际地球的总质量，而且两者质心重合；⑶地球是一个刚体，围绕唯一的旋转轴旋转时内部各质点位置不变；⑷地球的质量、自转角速度不变，正常地球的旋转轴与实际地球的旋转轴重合，两者角速度相等。正常重力及其表达式第94页，课件共147页，创作于2023年2月正常重力公式

地球从总体上说处于流体平衡状态，大地水准面接近于旋转椭球体面。所以人们假定——个旋转椭球作为真实地球的理想模型，称为地球椭球。它产生的规则的重力场称为正常重力场。椭球表面重力场的数学表达式便称为正常重力公式。第95页，课件共147页，创作于2023年2月正常重力公式地球椭球必须满足四个基本条件，即椭球表面为等位面(称为正常大地水准面)；它的位W0与真实地球大地水准面的位相等；椭球的质量M、惯性矩之差(C-A)以及自转角速度

都和地球的相同。第96页，课件共147页，创作于2023年2月正常重力公式获得正常重力公式的两个途径：重力位级数展开→取前面若干低阶项→化简→取与椭球面相近的等位面；直接从椭球面上引力位方程求解。第97页，课件共147页，创作于2023年2月正常重力公式建立正常重力公式的假设：满足上述四个条件；地球内部物质呈层状均匀，且各层面为与标准椭球面共焦点的椭球面。第98页，课件共147页，创作于2023年2月拉普拉斯正常重力位

在球坐标系中，地球外部引力位可写成设

为r与r′之间的空间夹角，则有

正常重力及其表达式第99页，课件共147页，创作于2023年2月可以证明则有

上式引力位前三项即n=0,1,2之和视为简单规则部分，用V-表示，则有

2.2正常重力及其表达式第100页，课件共147页，创作于2023年2月由于假设了地球是以Z轴为旋转轴的旋转椭球体，简单规则的引力位和重力位可表示为：正常重力及其表达式第101页，课件共147页，创作于2023年2月当

=0时，有r=a（赤道半径），即其中m表示赤道上离心力与引力之比，约为1/288。n与m是同等量级的小量。将m,n代入上式，得正常重力及其表达式第102页，课件共147页，创作于2023年2月正常重力

正常重力公式指的是计算地球椭球在其表面上的正常重力值的公式。我们知道，将要求椭球体面上某一点的正常重力

，只要对该点的正常重力位求梯度即可。重力方向就是正常重力位的梯度方向，也即是椭球面内法线n的方向。从数值上说，求椭球体面上某一点的正常重力

就等于正常重力位W0

对位函数内法向n求导数。

正常重力及其表达式B

第103页，课件共147页，创作于2023年2月就位函数对r求导，并将（克莱罗方程）

代入，化简，略去高阶项，得正常重力公式：正常重力及其表达式当

=0时，有赤道上的重力第104页，课件共147页，创作于2023年2月则有正常重力及其表达式令则（克莱罗正常重力公式）在

=

/2处，有得到地球重力扁率第105页，课件共147页，创作于2023年2月

正常重力公式的一般形式正常重力及其表达式第106页，课件共147页，创作于2023年2月正常重力及其表达式

地球从总体上说处于流体平衡状态，大地水准面接近于旋转椭球体面。所以假定：一个旋转椭球作为真实地球的理想模型，称为地球椭球。它产生规则的重力场称为正常重力场。正常重力——椭球表面上正常地球重力场的数学表达式；其计算公式称为正常重力公式。第107页，课件共147页，创作于2023年2月正常重力及其表达式常用的正常重力公式赫尔默特1909-1911年公式与赫尔默特公式配合使用的是克拉索夫斯基地球椭球，赫尔默特公式是精确到

2量级的正常重力公式，即卡西尼1930年公式与海福特国际椭球配合使用的卡西尼正常重力公式为1979年国际地球物理和大地测量联合会颁布的公式第108页，课件共147页，创作于2023年2月常用的正常重力公式我国勘探行业2008年技术规范规定实用的公式由国际大地测量协会（IAG）推荐的1980年大地测量参考系统中的正常重力公式计算大地水准面上的重力值，即基于WGS84椭球的公式正常重力及其表达式第109页，课件共147页，创作于2023年2月2.3.1重力异常的概念在这里，我们所指的重力值不包括重力随时间变化的那部分。一般意义上重力异常是指在地面上观测到的重力值与正常重力值相比较后的差值。一般异常概念：重力值与相应位置上的正常重力值之差，即而这样的重力异常往往意义不明确，因为造成重力异常的原因有两个方面，一是地形起伏，二是地下物质分布不均。为了使重力异常具有明确的物理意义，根据不同的目的，可对上述异常进行不同的校正，可得出不同物理意义的重力异常。重力异常的定义与物理意义椭球引力与惯性离心力地形物质引力高程固体潮第110页，课件共147页，创作于2023年2月自由空间校正与自由空间异常如果在起伏地表进行重力测量，地面重力将随着高程变化而变化。需对重力测量数据进行高度影响校正。我们先考虑高程变化的第一个影响：测点距地心距离变化导致测点处引力和惯性离心力与椭球面上对应处的不同。处理这个问题，实际上只需把测点高程所在的正常重力计算出来即可。计算高程为h的正常重力值可以通过正常重力在椭球面附近的垂向变化率乘以高程来获得。h地球表面大地水准面重力异常的定义与物理意义第111页，课件共147页，创作于2023年2月

由此，高程为h处的正常重力值为

上式相当与对原椭球面上的正常重力值进行了一项校正，这种校正称为“自由空间”校正，也称为“高度校正”，其表达式为通常可以将自由空间校正量近似为

(h为测点高程，单位m)mGal）

重力异常的定义与物理意义

第112页，课件共147页，创作于2023年2月自由空间校正系数是正常重力在大地水准面附近垂向梯度的近似值。自由空间(FreeAirAnomaly)异常为

自由空间校正只是将重力测量值中高程变化的部分影响去掉，其物理意义在于：将大地水准面或地球椭球面上的正常重力值换算到测点高程处正常重力值。

重力异常的定义与物理意义椭球引力与惯性离心力地形物质引力高程固体潮第113页，课件共147页，创作于2023年2月hA地球表面大地水准面AＣ●B●hA以上地形物质hA以下缺失的物质A点所在水准面地形物质引力作用与校正——起伏地形物质引力校正

地形物质的引力针对不同测点而作用不同。因此，消除地形影响的的最直接的办法，就是将每个测点周边的地形“夷平”，即将高于和低于测点的物质引力计算出来，将它们在铅锤方向的分量加到重力测量值中。这时，每个测点周边的都可视为是一个“平的”地面。重力异常的定义与物理意义

第114页，课件共147页，创作于2023年2月地形物质引力作用与校正——起伏地形物质引力校正

注意到前面所叙述的一句话“将它们在铅锤方向的分量加到重力测量值中”。由于高于测点高程的地形物质在测点上产生的引力沿铅锤方向上分量都是使该点重力值减小，“夷平”后这些物质不存在了，所以这些物质的在测点的引力应该加回到测点重力值中。而低于测点高程的地形物质是“夷平”过程中填进去的，这些物质在测点上产生的引力之铅锤分量自然要加到该点重力值中。

重力异常的定义与物理意义

hA地球表面大地水准面AＣ●B●hA以上地形物质hA以下缺失的物质A点所在水准面第115页，课件共147页，创作于2023年2月地形物质引力作用与校正——起伏地形物质引力校正

地形校正（TC）：将测点周围起伏地表与该测点所在水准面所包含的（无论高于或是低于测点的）物质在测点处产生的引力之铅锤分量加到观测重力值中。

引力计算时采用的岩石密度一般采用地表或上地壳物质平均密度。重力异常的定义与物理意义

第116页，课件共147页，创作于2023年2月地形物质引力作用与校正——中间层校正

从前面讨论可知，上述地形校正并没有把地形物质的引力完整去掉。因为“夷平”后不同高程上的测点彼此之间存在一个等厚的物质层，测点高程不同，物质层厚度就不同，所产生的的引力也不同，这就是所谓的“中间层”。由于这个物质层总是在测点下方，所以中间层产生的引力总是使测点重力值增大，因此，需要将其从重力测量值中减掉，即作中间层校正。重力异常的定义与物理意义

B●hA地球表面大地水准面AＣ●hA以上地形物质A点所在水准面hA以下缺失的物质第117页，课件共147页，创作于2023年2月地形物质引力作用与中间层校正

中间层校正是以大地水准面或地球椭球面作为基准面，将以各测点高程为厚度的物质层在测点处产生的引力之铅锤分量，该点从重力观测值中减去。重力异常的定义与物理意义

B●hA地球表面大地水准面AＣ●hA以上地形物质A点所在水准面hA以下缺失的物质第118页，课件共147页，创作于2023年2月地形物质引力作用与中间层校正

严格地说，中间层校正应该计算以测点处水准面与大地水准面所挟的曲面等厚层产生的引力，对于全球范围，则是一个球层的引力。但通常勘探范围都不大，所以可以把局部范围内的中间层近似为一个无限大的“平板”，只需计算无限平板的引力即可，其校正量为重力异常的定义与物理意义

B●hA地球表面大地水准面AＣ●hA以上地形物质A点所在水准面hA以下缺失的物质第119页，课件共147页，创作于2023年2月中间层校正公式的推导重力异常的定义与物理意义

第120页，课件共147页，创作于2023年2月（简单）布格校正与（简单）布格异常

由于以测点高程为厚度的无限平板的引力作为中间层校正量，其与高程为线性关系，在我国的许多教科书和勘探规范中，都将中间层校正与自由空间校正合为一体，称为(简单）布格校正（沿用前苏联国家的称法），即布格校正为其近似的计算式为其中h为测点的高程，单位为m，

为密度，单位为g/cm3。中间层校正的密度与地形校正一致。重力异常的定义与物理意义

第121页，课件共147页，创作于2023年2月(完全）布格校正与(完全）布格异常

将测点上观测的重力值，经过自由空间校正、地形校正、和布格校正，在与正常重力进行比较，得到的重力异常只反映地下物质密度不均匀状态，这种异常称为（完全）布格异常。所以，我们说，布格异常是单纯反映地下物质密度不均匀的重力异常。布格异常的计算如下：重力异常的定义与物理意义

椭球引力与惯性离心力地形物质引力高程固体潮第122页，课件共147页，创作于2023年2月重力校正与相应重力异常的物理意义

重力异常的定义与物理意义主要重力校正与相应重力异常示意图

第123页，课件共147页，创作于2023年2月布格校正与布格异常

有一问题需要澄清。地形校正和中间层校正并非把大地水准面以上的物质的引力效应全部去掉，而是按照“地表或上地壳“正常密度”计算的引力，一些与“正常密度”有差异的地质体所形成的剩余质量的引力仍然存在。

重力异常的定义与物理意义

地球表面大地水准面Ｃ●B●A●第124页，课件共147页，创作于2023年2月

单纯反映地下物质不均匀的重力异常：地下剩余质量在测点产生的引力在重力方向上的投影。

重力异常的定义与物理意义

gF

g≈

|g

||

|=|F|×cos

第125页，课件共147页，创作于2023年2月

布格重力异常与地球内部构造

重力异常的定义与物理意义

第126页，课件共147页，创作于2023年2月

布格重力异常与地形的关系重力异常的定义与物理意义

第127页，课件共147页，创作于2023年2月

中国地区自由空间重力异常

第128页，课件共147页，创作于2023年2月

中国地区布格