第二讲 向量与矩阵运算

第二讲向量与矩阵运算第1页，课件共18页，创作于2023年2月a=[1:1:4]

==>a=[1,2,3,4]b=[0:pi/3:pi]

==>

b=[0,1.0472,2.0944,3.1416]c=[6:-2:0]

==>

c=[6,4,2,0]例：（2）冒号表达式生成利用冒号表达式自动建立一个向量:

冒号表达式可以自动产生一个行向量，一般格式是：

>>X=e1:e2:e3

其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。

第2页，课件共18页，创作于2023年2月（3）用linspace函数产生行向量。其调用格式为：

>>linspace(a,b,n)

其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数(采用等分）。

>>a=linspace(1,3,3)

a=[1,2,3]第3页，课件共18页，创作于2023年2月矩阵（m行n列的数表）的生成向量与矩阵运算(1)直接输入:两行之间用;或回车隔开元素之间用空格或,隔开.>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9](2)由向量生成,每一行为一个向量例：>>

x=[1,2,3];y=[2,3,4];>>

A=[x;y]>>A=[X,Y]等于什么?第4页，课件共18页，创作于2023年2月(3)利用函数生成矩阵zeros(m,n)生成一个m行n列的零矩阵，m=n时可简写为zeros(n)ones(m,n)生成一个m行n列的元素全为1的矩阵,

m=n时可写为ones(n)eye(m,n)生成一个主对角线全为1的m行n列矩阵,

m=n时可简写为eye(n)，即为n维单位矩阵常见矩阵生成函数第5页，课件共18页，创作于2023年2月矩阵元素的操作提取矩阵的部分元素：冒号运算符

A(:,k)A的第k列，A(k,:)A的第k行

A(:,k:m)A的第k到第m列组成的子矩阵A(k:m,:)A的第k到第m行组成的子矩阵双下标:

A(i,j)

位于A的第i行第j列的元素

单下表:A(i)

矩阵A的第i个元素（按列从左到右排列)元素的标识

A(:,[k，m])A的第k、m列，第6页，课件共18页，创作于2023年2月向量与矩阵运算>>a=[123456789]a=123456789>>a([1,3],:)%第一、三行ans=123789第7页，课件共18页，创作于2023年2月矩阵元素的操作

A(k:m)A的第k到第m个元素删除A的第k~m行，构成新矩阵:A(k:m，：)=[]

删除A的第k~m列，构成新矩阵:A(:,k:m)=[]

将矩阵A和B拼接成新矩阵：[A

B]；[A；B]

第8页，课件共18页，创作于2023年2月二、矩阵基本运算

矩阵的加减：对应分量进行运算要求参与加减运算的矩阵具有相同的维数例：>>

A=[123;456];B=[321;654]>>

C=A+B;D=A-B;矩阵的普通乘法要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则例：>>

A=[123;456];B=[21;34;56];>>

C=A*B第9页，课件共18页，创作于2023年2月矩阵基本运算

矩阵的除法：/、\右除和左除

若A可逆方阵，则A\B

<==>A的逆左乘B<==>inv(A)*BB/A

<==>A的逆右乘B<==>B*inv(A)X=A\B

<==>A*X=BX=B/A

<==>X*A=B

通常，矩阵除法可以理解为第10页，课件共18页，创作于2023年2月矩阵的乘方

A是方阵，p是正整数A^p

表示A

的p

次幂，即p

个A

相乘。

第11页，课件共18页，创作于2023年2月三、矩阵的数组运算数组运算：对应元素进行运算点与算术运算符之间不能有空格！

数组运算包括：点乘、点除、点幂

相应的数组运算符为：“.*”，“./”，“.\”和“

.^”参与运算的对象必须具有相同的形状！对应元素进行相应的运算例：>>

A=[123;456];B=[321;654];>>

C=A.*B;D=A./B;E=A.\B;F=A.^B;第12页，课件共18页，创作于2023年2月函数取值设x是变量，f

是一个函数

当x=a是标量时，f(x)=f(a)也是一个标量当x=[a,b,…,c]是向量时，f(x)=[f(a),f(b),…,f(c)]函数作用在矩阵上的取值若A是矩阵，则f(A)是一个与A同形状的矩阵

f

作用在x的每个分量上第13页，课件共18页，创作于2023年2月函数取值例：>>

x=[0:pi/4:pi];A=[123;456];>>

y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);例：第14页，课件共18页，创作于2023年2月1.矩阵的逆

对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：A·B=B·A=I(I为单位矩阵),则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。

例用求逆矩阵的方法解线性方程组。

Ax=b

其解为：

x=A-1b第15页，课件共18页，创作于2023年2月a=[123;456;235];》b=inv(a)b=-2.33330.33331.00002.66670.3333-2.0000-0.6667-0.33331.0000第16页，课件共18页，创作于2023年2月2方阵的行列式

把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。3矩阵的秩

矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。

第17页，课件共18页，创作于2023年2月4.矩阵的特征值与特征向量

在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有：

(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。

(2)[V,D]=e