第02讲导数与函数的单调性

第02讲导数与函数的单调性1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常数函数2．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．3．函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)一．函数图象与导函数图象的关系例1．（1）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()【答案】D【详解】由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()【答案】D【详解】从f′(x)的图象可以看出，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内，导数单调递增；在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内越来越陡，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．（3）已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()【答案】C【详解】当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．故选C.（4）已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间的关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解.【详解】由的图像可得：x00对于可得：当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；综上所述：不等式的解集为.故选：D.（5）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.【答案】【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，在区间递减，；在区间递增，.所以的解集.故答案为：【复习指导】：(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．一．不含参的函数的单调性例2．（1）函数的单调递减区间为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求导数，令求解不等式可得答案.【详解】由题可知，由，解得.所以单调递减区间为.故选：A.（2）函数的单调递增区间（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出导函数，令，解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数，所以，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选：C.（3）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出导函数，解不等式可得减区间．【详解】函数的定义域为，由，，故的单调递减区间为，故选：（4）若函数，则的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数进行求导，令即可求解【详解】由可得，令，解得，所以的单调递增区间是，故选：B（5）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域，根据即可求解.【详解】函数的定义域为，，由，解得，所以函数的单调递减区间为．故选：．（6）已知函数，，则的单调递增区间为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，令，求得x的范围，即可得出答案.【详解】解：由，则，令，则，又，则，所以的单调递增区间为.故选：B.【复习指导】：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能遗忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．二．含参的函数的单调性例3．（1）求函数的单调区间．【答案】答案见解析【分析】利用导函数与函数单调性的关系求解.【详解】的定义域是．，当时，令，解得或；令，解得或；当时，恒成立．所以当时，的单调递增区间为和；单调递减区间为和．当时，的单调递增区间为和．（2）已知函数，其中．讨论的单调性．【答案】在上单调递减，在上单调递增【分析】根据函数求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负来讨论函数的单调性即可求解.【详解】函数的定义域为，．当时，由于在上单调递增，所以至多有一解；又，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．（3）已知函数.讨论的单调性．【答案】答案见解析【分析】求出函数的定义域，再求出导函数，对参数分类讨论即得.【详解】由题可得的定义域为，且，当时，成立，所以在上单调递增；当时，由，可得，所以在上为增函数；由，可得，所以在上为减函数.综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.（4）已知函数．讨论的单调性．【答案】答案见解析【分析】求定义域，求导，分与两种情况下，讨论得到函数的单调性.【详解】定义域为R，．当时，则，在R上单调递增，当时，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（5）已知函数．求函数的单调区间．【答案】答案见解析【分析】根据题意，求导得，然后根据与两种情况进行分类讨论，即可得到其单调区间.【详解】函数的定义域为则当，时，恒成立，所以单调递减；当时，令，解得或（舍去），令，，令，所以在上单调递减；上单调递增．综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（6）求函数的单调区间.【答案】见解析【分析】求导分与0的大小关系分别讨论导函数的正负区间与原函数的单调性即可.【详解】因为，所以.由，解得x＝0或x＝2a.当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；当时，当时，；当时，，所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；当时，当时，；当时，，所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.【复习指导】：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．三．函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例4．（1）已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))，f(1)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))的大小关系为()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>f(1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))B．f(1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))>f(1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))>f(1)【答案】A【详解】因为f(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).又当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f′(x)＝sinx＋xcosx>0，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))<f(1)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>f(1)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))，故选A.（2）已知实数，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知的结构特征，构造函数，,求导判断其单调性，从而可判断的大小关系.【详解】令，,则，∴在上单调递减,而,故，又因为，则，则，故选：C.（3）已知，，，其中a，b，，则（

）A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b【答案】B【分析】构造函数利用导数讨论单调性结合题设即可比较大小.【详解】构造函数，令解得，令解得，所以在单调递减，单调递增，因为，所以即，所以，因为，所以即，所以，因为，所以，即，即，因为在单调递增，所以，所以，所以，又因为在单调递减，且a，b，，所以，故选：B.（4）若为奇函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据奇函数的性质求出，再利用导数求出函数的单调性，最后即可求解不等式.【详解】因为为奇函数，则，解得.则即.，而.则，可得，，即根据单调性可得，即.故选：D（5）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性，解不等式.【详解】恒成立，所以函数单调递增，若，则，即，解得：.故选：D（6）已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))【详解】f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R，f′(x)＝ex＋e－x－2≥2eq\r(ex·e－x)－2＝0，当且仅当x＝0时取“＝”，∴f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，即2x－3>0，解得x>eq\f(3,2)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).命题点2根据函数的单调性求参数的值(范围)例5．（1）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围．【详解】，由于函数有三个单调区间，∴有两个不相等的实数根，∴．故选：C．（2）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原命题等价为在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可.【详解】∵函数在R上是增函数，在R上恒成立，∴.故选：B.（3）若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导得到在上恒成立，即，设，计算值域得到答案.【详解】，在上恒成立，即，设，，故，故.故选：A（4）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围.【详解】由已知，函数的定义域为，.由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，即，可转化为在上恒成立，所以．因为，所以，所以．因此实数a的取值范围是．故选：D．【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.（5）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数单调递增，可得在上恒成立，孤立参数，再设，确定的单调性求最值，即可得实数的取值范围.【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，所以，在上恒成立，设函数，则，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，则实数的取值范围是.故选：D.（6）已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将不等式恒等变形成,从而同构函数,并可判断在上单调递增,再利用恒成立,分离参数即可求解.【详解】因为时,不等式恒成立,所以即,令,则,又因为,所以在上单调递增,所以在上恒成立,分离参数得恒成立,令,则只需,而,令得,令,得所以在上单调递减,在上单调递增,所以,故,即.故选:D.（7）已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．【详解】因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则f′(x)=eq\f(1,x)－ax－2<0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a>eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)有解，又当x∈[1,4]时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(2,x)))min＝－1(此时x＝1)，所以a>－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．【复习指导】：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．(2)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()【答案】D【详解】利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是()A．f(x)＝sin2x B．g(x)＝x3－xC．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋lnx【答案】C【详解】h(x)＝xex，定义域为R，∴h′(x)＝(x＋1)ex，当x>0时，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．3．已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（

）A．(,0) B．(1,+∞) C．(,1) D．(0,+∞)【答案】A【分析】对求导得到关于、的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.【详解】由题设，则，可得，而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为(,0).故选：A4．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由导数求单调递增区间.【详解】因为定义域是，且，令，解得：，故单调递增区间是，故选:.5．函数的单调递减区间是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用导数可求得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递减区间是．故选：B．6．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数图象判断函数值的正负，根据函数的单调性判断导数值的正负，即可求得答案.【详解】由函数图象可知当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；故的解集是，故选:C.7．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解.【详解】函数，，由，，可得，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的运算法则求出导函数，属于基础题.8．函数的一个单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用导数求得函数的单调递减区间，利用赋值法可得出结果.【详解】，该函数的定义域为，，，可得，令，可得，即，解得.所以，函数的单调递减区间为.当时，函数的一个单调递减区间为，，对任意的，，，，故函数的一个单调递减区间为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中档题.思路点睛：若，所求区间为的单调增区间；（2）若，则所求区间为的单调减区间.9．已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导函数证明在单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】当时，，因为，所以恒成立，所以在单调递增，又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，所以，所以由可得，解得，故选:D.10．设，，若，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用函数单调性进行求解即可.【详解】不等式等价于，令，则∴不等式等价于，∵，∴当时，，在区间上单调递增，∴若，则，由有；若，则，由，有.综上所述，设，，若，则有.故选：B.11．已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】先求得使成立的的实数a的取值范围，再去选择使其成立的一个必要不充分条件即可.【详解】当时，，则，则是增函数，当时，，则是增函数，又，∴函数在R上是增函数，∵，∴，则，即，解得，则成立的充要条件是∴使成立的一个必要不充分条件的a的范围对应的集合应真包含，故排除ABD，选C.故选：C．12．已知函数，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求导得到，函数单调递增，得到大小关系.【详解】，故，所以在上递增，，所以，故选：D13．函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】二次求导，得到的单调性，再由，，求出，解出实数x的取值范围,【详解】，令，则，因为在R上恒成立，所以在R上单调递增，又，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，由得到，解得：，所以满足不等式的实数x的取值范围是.故选：D14．函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得在区间上恒成立，解出即可.【详解】，函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，而在区间上单调递减，，∴k的取值范围是，故选：B．15．已知函数f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln2)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．c>b>a【答案】A【详解】f(x)的定义域为R，f′(x)＝cosx－sinx－2＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－2<0，∴f(x)在R上单调递减，又2e>1,0<ln2<1，∴－π<ln2<2e，故f(－π)>f(ln2)>f(2e)，即a>c>b.16．已知，若，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.【详解】因为，定义域关于原点对称，，所以为上的偶函数，当时,，设，则，，，所以即在上单调递增，所以,所以在上单调递增，又因为为偶函数,所以在上单调递减，又因为,所以,又因为,因为,，所以,所以，即,所以,所以,即.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.17．（多选）已知（其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】首先构造函数，并利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小，其中注意.【详解】构造函数，，，得，当，，单调递增，当，，单调递减，，因为，所以，即，.故选：BC18．（多选）若为正实数，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据幂函数与对数函数单调性分别判断AB；构造函数，进而研究其单调性判断C；构造函数，进而研究其单调性判断D.【详解】解：对于A选项，因为函数在上单调递减，故当时，，故A选项错误；对于B选项，由于函数在上单调递增，故当时，，故B选项正确；对于C选项，令，则，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以与大小不定，故C选项错误；对于D选项，令，则在上恒成立，故函数在上单调递增，所以，当时，，即，故D选项正确.故选：BD19．（多选）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.【详解】因为的定义域为R，，令得：或，所以在区间，上单调递增．故选：AC．20．（多选）若函数，则存在（其中，且），使下列式子对任意的恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】首先将赋值，利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断AB；根据对称性判断CD.【详解】，当时，，则在上单调递增，又，∴，∴A正确；此时，，则，∴，∴B正确；由，则当时C式子成立，∴C正确；若任意满足，则函数关于点对称，但是的唯一对称中心为，∴D错误，故选：ABC21．(多选)若函数g(x)＝exf(x…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数不具有M性质的为()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝sinx D．f(x)＝x【答案】ACD【详解】对于A，f(x)＝eq\f(1,x)，则g(x)＝eq\f(ex,x)，g′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，当x<1且x≠0时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；对于B，f(x)＝x2＋1，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)，g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2>0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数；对于C，f(x)＝sinx，则g(x)＝exsinx，g′(x)＝ex(sinx＋cosx)＝eq\r(2)exsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，显然g(x)不单调；对于D，f(x)＝x，则g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x<－1时，g′(x)<0，所以g(x)在R上先减后增；∴具有M性质的函数的选项为B，不具有M性质的函数的选项为A，C，D.22．(多选)若0<x1<x2<1，则()A．x1＋lnx2>x2＋lnx1 B．x1＋lnx2<x2＋lnx1C．> D．<【答案】AC【详解】令f(x)＝x－lnx，∴f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，当0<x<1时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递减．∵0<x1<x2<1，∴f(x2)<f(x1)，即x2－lnx2<x1－lnx1，即x1＋lnx2>x2＋lnx1.设g(x)＝eq\f(ex,x)，则g′(x)＝eq\f(xex－ex,x2)＝eq\f(exx－1,x2).当0<x<1时，g′(x)<0，即g(x)在(0,1)上单调递减，∵0<x1<x2<1，∴g(x2)<g(x1)，即<，∴>，故选AC.23．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．【答案】(－∞，－1)∪(0,1)【详解】因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．24．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))，则实数m的值为______________，函数f(x)的单调递增区间是________________．【答案】－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))，(1，＋∞)【详解】f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，因为f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))，所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－eq\f(3,2)，x2＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝0，,f′1＝0，))解得m＝－eq\f(3,2).由f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)x－\f(3,2)))ex＝eq\f(1,2)(x－1)(2x＋3)ex，得f′(x)>0时，x<－eq\f(3,2)或x>1.25．函数y＝f(x)在定义域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)【详解】因为y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上单调递减，所以在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上f′(x)<0.26．已知函数，则不等式的解集是___________.【答案】【分析】由题可得函数为奇函数，利用导数可得的单调性进而即得.【详解】因为，定义域为R，故为奇函数，又，所以为增函数，由，可得，则，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.27．已知函数，若，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据导数确定函数的单调性，即可得，解一元二次不等式即可.【详解】因为恒成立，所以函数在上单调递增，若，则，解得.故答案为：28．已知函数，则不等式的解集为______________．【答案】【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.【详解】令，定义域为R，且，所以为奇函数，变形为，即，其，当且仅当，即时，等号成立，所以在R上单调递增，所以，解得：，所以解集为.故答案为：29．若函数在上严格减，则a的取值范围是________．【答案】【分析】求导得到，则在恒成立，得到答案.【详解】由题意知，则在恒成立，即，故.故答案为：30．若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】求出函数的导数，结合导函数正负以及定义域即可得到结论．【详解】，又在上是减函数，在上恒成立，即，即故答案为：.31．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】由在上恒成立分离常数，结合三角函数的值域求得正确答案.【详解】因为在上单调递增，则恒成立，即恒成立，由于，所以，即的取值范围是.故答案为：32．设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______．【答案】【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可.【详解】解：∵定义域为，，在上是单调减函数，∴恒成立；∴，，∵，，，当且仅当时取等号.∴，∴，即：k的取值范围是．故答案为：.33．已知函数，若，则实数的取值范围为____________.【答案】【分析】根据偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数性质化简不等式求其解.【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域关于原点对称，又所以为偶函数,当时,，所以，当且仅当时取等号，在上是增函数,由得,,,解得或所以实数的取值范围为.故答案为：.34．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为______．【答案】【分析】由题意得到在上恒成立，参变分离，只需，求出，从而得到答案.【详解】，由题意得在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需，其中，所以.故答案为：35．若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是__________.【答案】【分析】问题转化为在恒成立，分离参数后求最大值即可求解.【详解】若函数在上单调递增,只需在恒成立，故在恒成立,而在递减,所以，故,即实数t的取值范围是.故答案为：36．设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是．【答案】(1,2]【详解】易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－eq\f(9,x).又x>0，由f′(x)＝x－eq\f(9,x)≤0，得0<x≤3.因为函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,a＋1≤3，))解得1<a≤2.37．若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为．【答案】(1,2]【详解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋ex－cosx.∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集为(1,2]．38．函数y＝f(x)在定义域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)【详解】因为y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上单调递减，所以在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和区间(2,3)上f′(x)<0.39．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f(lnx)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))<2f(1)的解集为．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))【详解】f(x)＝xsinx＋cosx＋x2是偶函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＝f(－lnx)＝f(lnx)．则原不等式可变形为f(lnx)<f(1)⇔f(|lnx|)<f(1)．又f′(x)＝xcosx＋2x＝x(2＋cosx)，由2＋cosx>0，得当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴|lnx|<1⇔－1<lnx<1⇔eq\f(1,e)<x<e.40．函数．讨论函数的单调性．【答案】答案见解析【分析】由题可得导函数，分和两种情况讨论即得.【详解】函数，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，此时单调递减，令，此时单调递增；综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.41．已知函数，讨论的单调性．【答案】答案见解析【分析】求出函数的导数，再就，，分类讨论后可得函数的单调性.【详解】函数定义域R，求导得，若，当时，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增；若，恒有.即在上单调递增；若，当时，；当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增，所以当时，函数的递减区间是，递增区间是和；当时，函数在上单调递增；当时，函数的递减区间是，递增区间是和.42．已知函数，求证：当时，.【答案】证明见解析【分析】利用导数，求函数单调性，证明不等式.【详解】证明：，函数定义域为，，当时，，∴在上是增函数.于是当时，．43．已知函数．(1)当时，求函数的单调增区间．(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)函数的单调递增区间有和；(2)答案见解析.【分析】（1）求出导函数，根据导函数与函数的单调性的关系求单调递增区间；（2）求出导函数，通过对a的分类讨论，结合导数与函数单调性的关系求解.【详解】（1）函数的定义域为，当时，，所以.故当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以函数的单调递增区间有和；（2）由可得：.①当时，，在上单调递增；②当时，时，时，在上单调递增；时，时，在上单调递减；时，，在上单调递增；.③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增；④当时，时，时，在上单调递增；时，时，在上单调递减；时，，在上单调递增；.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；44．设函数．(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的值．【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合构造函数法进行求解即可.【详解】（1）的定义域为．．若，则，在上单调递增．若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；（2）由（1）知，若，则当时，，矛盾．因此．由（1）知此时．恒成立等价于恒成立．设，即恒成立，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，显然函数在处有唯一零点，且．而恒成立，所以，所以．45．已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性．【答案】(1)；(2)答案见解析【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；（2）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到函数单调性.【详解】（1）当时，，则，，又，在点处的切线方程为：，即.（2）由题意得：定义域为，；当时，，在上单调递增；当时，若，则；若，则；在上单调递增，在上单调递减；当时，若，则；若，则；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.46．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，求在上的最大值与最小值．【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)最大值为1，最小值为．【分析】（1）对参数分类讨论，结合导数研究每一种情况下对应的单调性即可；（2）根据（1）中所求函数的单调性，即可求得函数的最值.【详解】（1）因为．当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，若，；若，，所以在上单调递减，在，上单调递增；当时，若，；若，．所以在上单调递增，在，上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减.（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为．因为，，所以在上的最小值为．综上所述：的最大值为