专题29双曲线的标准方程及几何性质（原卷板）

专题29双曲线的标准方程及几何性质№专题29双曲线的标准方程及几何性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题29双曲线的标准方程及几何性质命题解读命题预测复习建议双曲线的定义、标准方差、几何性质一直是高考的必考重点知识之一，近几年的高考中多有涉及，从高考的出题来看多集中在选择题和填空题，以中档题为多，灵活多样。在考查中重点是注重学生分析问题和解决问题的能力，注重数学核心素养的考查。预计2024年的高考对于双曲线的考查变化不是很大，还是以选择或者填空为主，但要注意新高考下的多选题的考查，注重能力的考查。集合复习策略：1.理解双曲线的定义以及双曲线的标准方程的形式；2.掌握双曲线的简单几何性质。→➊考点精析←一、双曲线的定义及标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2y2b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2x2b2=二、双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b2y2a2x2b2图形性质范围x≥a或x≤a,y∈R

y≤a或y≥a,x∈R

对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点A1(a,0)A2(a,0)A1(0,a)A2(0,a)渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca,e∈(1,+∞a,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长

→➋真题精讲←1.（2023全国甲卷8）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A. B. C. D.2.（2023全国乙卷11）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A. B. C. D.3.（2023北京卷12）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．4.（2023天津卷9）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.5.（2023全国Ⅰ卷16）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．6.（2023全国Ⅱ卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.→➌模拟精练←1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为A，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B，若，A，B恰好共线，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．32．（2023·江苏常州·校考二模）已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．6 D．73．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．（多选）（2023·湖南邵阳·统考三模）已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（

）A．双曲线C的方程为B．若，则C．若射线n所在直线的斜率为k，则D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为107．（多选）（2023·黑龙江大庆·统考三模）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的标准方程为C．点M到两条渐近线的距离之积为D．若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则8．（2023·山西晋中·统考三模）点A1，A2是双曲线的左、右顶点．若直线上存在点P，使得，则该双曲线的离心率取值范围为_________．9．（2023·湖北·校联考三模）已知双曲线的右焦点为，折线与双曲线的右支交于两点（如图），则的面积为___________．10．（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线，左､右顶点分别为，经过右焦点垂直于轴的直线与相交于两点，且.(1)求的方程；(2)若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于，两点，记直线的斜率为，的斜率为，那么是否为定值？并说明理由.→➍专题训练←1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023·山东聊城·统考三模）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．3．（2023·山东青岛·统考三模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左，右焦点分别为，，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，，△的周长等于12，则（

）A．a＝3 B．双曲线C的渐近线方程为C． D．4．（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是5．（2023·山东潍坊·三模）函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．， B．对称轴方程是C．实轴长为 D．离心率为6．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），．若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为_____7．（2023·安徽黄山·统考三模）如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.(1)求动点的轨迹方程；(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.8．（2023·山东烟台·统考三模）已知双曲线的焦距为4，点在上．(1)求双曲线的方程；(2)设双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且不过的直线与交于点，若为直线斜率的等差中项，求到直线的距离的取值范围．9．（2023·山东德州·三模）已知分别为双曲线的左，右焦点，点在上，且双曲线的渐近线与圆相切．(1)求双曲线的方程；(2)若过点且斜率为的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2023·山东淄博