第一章 1.4.1 第3课时　空间中直线、平面的垂直

第一章1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第3课时空间中直线、平面的垂直点击此处进入图书配套内容内容概览教材认知掌握必备知识点击进入合作探究形成关键能力点击进入【素养导引】1.理解线面的位置关系与向量的联系.(数学抽象)2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系.(数学运算)3.会用向量法判断并证明空间中的垂直关系.(逻辑推理)教材认知掌握必备知识空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l1,l2

的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0线面垂直设直线l

的方向向量为u,平面α

的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn面面垂直设平面α,β

的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0【批注】空间中垂直关系向量的坐标表示:(1)线线垂直:设直线l1

的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线l2

的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.(2)线面垂直:设直线l

的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α

的法向量是u=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R).(3)面面垂直:若平面α

的法向量为u=(a1,b1,c1),平面β

的法向量为v=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.[诊断]1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. (

)(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面垂直. (

)(3)两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (

)提示:(1)当两条直线的方向向量数量积为0时,两直线垂直,但不一定相交.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面平行或者在平面内.(3)两个平面的法向量垂直,这两个平面就垂直.××√

合作探究形成关键能力2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则CE垂直于 (

)A.AC

B.BD

C.A1D

D.AA1

【思维提升】坐标法证明线面垂直的两种思路(1)建立空间直角坐标系;(2)将直线的方向向量u用坐标表示;方法一:(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量a,b;(4)分别计算两组向量的数量积,得到u·a=0,u·b=0.

方法二:(3)求出平面的法向量n;(4)判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行.提醒:如果平面的法向量很明显,可以用方法二,否则常常选用方法一解决.【即学即练】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B,DC的中点,求证:AE⊥平面A1D1F.【补偿训练】

如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1

的各棱长都为2,D

为CC1

的中点.求证:AB1⊥平面A1BD

.学习任务三

向量法证面面垂直(数学运算、逻辑推理)【典例2】如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.

【思维提升】