考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例

考点20平面向量的数量积、平面向量应用举例选择题1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T6)已知向量a,b满足a=5,b=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>= ()A.-1335 B.-1935 C.1735【命题意图】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.【解析】选D.由a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19又a+b=a2所以cos<a,a+b>=a·(a+b)2.(2020·全国卷Ⅲ文科·T6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若·=1,则点C的轨迹为 ()A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线【命题意图】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算,轨迹方程的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【解析】选A.设AB=2aa>0,以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系则:A-a,0,Ba,0可得:=x+a,y,=从而:·=x+ax-a+结合题意可得:x+ax-a整理可得:x2+y2=a2+1,即点C的轨迹是以AB中点为圆心,a2+13.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 ()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)【命题意图】本题考查向量的坐标运算,考查数形结合思想和运算能力,体现了直观想象和逻辑推理等核心素养.【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1<x<3,所以-2<·<6.【方法技巧】向量的数量积运算有两种:一种是利用向量的加法和减法直接用向量数量积的定义;一种是利用向量的坐标运算;当图形较为特殊时,一般建立坐标系用坐标运算.二、填空题4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=.

【命题意图】该题考查的是有关向量的问题,涉及的知识点有向量垂直的坐标表示,属于基础题目.【解题指南】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.【解析】由a⊥b可得a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.答案:55.(2020·全国卷Ⅱ文科·T5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是 ()A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b【命题意图】本题考查平面向量数量积的定义及运算性质、两个平面向量互相垂直的条件,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选D.由已知可得:a·b=a·b·cos60°=1×1×12=1A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=12+2×1=52≠所以本选项不符合题意;B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×12+1=2≠0所以本选项不符合题意;C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=12-2×1=-32≠所以本选项不符合题意;D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×12-1=0所以本选项符合题意6.(2020·全国卷Ⅱ理科·T13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=【命题意图】本题考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【解析】由题意可得:a·b=1×1×cos45°=22,由向量垂直的充要条件可得(ka-b)·a=0即:ka2-a·b=k-22=0,解得k=2答案:27.(2020·北京高考·T13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=12(+),则||=;·=.

【命题意图】考查平面向量的加法、模、数量积等.【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=5,又=(0,-1),所以·=-1.答案:5-1检索号14,168.(2020·北京高考·T14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2,则常数φ的一个取值为.

【命题意图】考查三角函数的图象与性质,三角恒等变换.【解析】因为f(x)的最大值为2,说明sin(x+φ)和cosx可同时取得最大值1,可知sin(x+φ)=cosx,所以φ可以为π2+2kπ,k∈Z答案:π2(答案不唯一9.(2020·天津高考·T15)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-32,则实数λ的值为,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为.

【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.【解题指南】由题可得∠BAD=120°,利用平面向量数量积的定义求得λ的值,然后以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设点M(x,0),则点N(x+1,0)(其中0≤x≤5),得出·关于x的函数表达式,利用二次函数的性质求得·的最小值.【解析】因为=λ,所以AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC=120°,·=λ·=λ·cos120°=λ×6×3×-12=-9λ=-32,解得λ=16.以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为BC=6,所以C(6,0),因为AB=3,∠ABC=60°,所以A的坐标为32又因为=16,则D52,设Mx,0,则Nx+1,0(其中0=x-52,-33·=x-52x-32+-3322=x2所以当x=2时,·取得最小值132.答案:1610.(2020·浙江高考·T17)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤2,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为.

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积及其运算律,考查化归与转化的能力,体现了逻辑推理与数学运算等核心素养.【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=(3e21+e22+4e1·e2)2=(4+4e1·e2)2,所以cos2θ=(=16(1+(10+6