考点21 数系的扩充与复数的引入

考点21数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T2)若z=1+2i+i3,则|z|= ()A.0 B.1 C.2 D.2【命题意图】本题主要考查向量的模的计算公式的应用,属于容易题.【解题指南】先根据i2=-1将z化简,再根据向量的模的计算公式即可求出.【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=12+12.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T1)若z=1+i,则|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.2 D.2【命题意图】本题主要考查复数的基本运算,重点考查复数的模长公式.【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.(2020·全国卷Ⅱ文科·T2)(1-i)4= ()A.-4 B.4 C.-4i D.4i【命题意图】本题考查了复数的乘方运算,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选A.(1-i)4=[(1-i)2]2=4.(2020·全国卷Ⅲ理科·T2)复数11-3i的虚部是A.-310 B.-110 C.110【命题意图】本题主要考查复数的除法运算,涉及复数的虚部的定义.【解析】选D.因为11-3i=1+3i(1-3i)(5.(2020·全国卷Ⅲ文科·T2)复数z·(1+i)=1-i,则z= ()A.1-i B.1+i C.-i D.i【命题意图】本题主要考查复数的除法运算,涉及共轭复数的概念.【解析】选D.因为z=1-i1+i=(1-i)6.(2020·新高考全国Ⅰ卷)2-i1+2i=A.1 B.-1 C.i D.-i【命题意图】本题考查复数的运算法则,考查运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.【解析】选D.2-i1+2i=(2-7.(2020·北京高考·T2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ()A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i【命题意图】考查复数的有关概念、乘法运算、复数的几何意义.【解析】选B.z=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.8.(2020·浙江高考·T2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= ()A.1 B.-1 C.2 D.-2【命题意图】本题主要考查复数的基本概念,考查逻辑思维能力,体现数学抽象的核心素养.【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.填空题9.(2020·天津高考·T10)i是虚数单位,复数8-i2+【命题意图】本题考查复数的四则运算,属于基础题.【解题指南】将分子、分母同乘以分母的共轭复数,然后运算化简可得结果.【解析】8-i2+i=(答案:3-2i10.(2020·全国卷Ⅱ理科·T15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.

【命题意图】本题考查复数的加减运算、复数的模、复数的几何意义,意在考查学生的运算求解能力.【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=3+i,所以2(cosθ4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化简得cosθcosα+sinθsinα=-12所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|=4=8-8(cosθ答案:23【光速解题】在复平面内记复数z1,z2对应的向量分别为,,记z3=z1+z2=3+i,+=(如图),则复数z3对应的向量为,由平行四边形法则可知:OAPB是边长为2,一条对角线长为2的菱形,故另一条对角线的长为|z1-z2|