考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系

考点36圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【命题意图】本题考查圆的简单几何性质,以及几何法求弦长,属于基础题.【解题指南】根据直线和圆心与点(1,2)连线垂直时,所求的弦长最短,即可得出结论.【解析】选B.圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9,设圆心为C,所以圆心C的坐标为C(3,0),半径为3,设P(1,2),易知点P在圆内部,当过点P的直线和直线CP垂直时,圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短,根据弦长公式最小值为29-|CP|22.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为 ()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0【命题意图】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题.【解题指南】由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且AB⊥MP,根据PM·AB=2S△PAM=2PA可知,当MP⊥l时,PM·AB最小,求出以MP为直径的圆的方程,根据圆的知识即可求出直线AB的方程.【解析】选D.圆的方程可化为x-12+y-12=4,点M到直线l的距离为d=2×1+1+222依圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且AB⊥MP,所以PM·AB=2S△PAM=2×12×PA×AM=2PA而PA=MP2当MP⊥l时,MPmin=5,PAmin此时PM·AB最小.所以MP:y-1=12x-1即y=1由y=12x+122x+y所以以MP为直径的圆的方程为x2+y2-y-1=0,两圆的方程相减可得:2x+y+1=0,即为直线AB的方程.（2020·全国卷Ⅱ文科·T5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 ()A.55 B.255 C.35【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式和点到直线的距离公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选B.因为已知圆与两坐标轴都相切,所以可设圆心坐标为a,a(a>0),则半径为a,由此圆过点(2,1)得,a-22+a-12=a2,解得a=1或5,所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),圆心到直线4.(2020·全国卷Ⅱ理科·T5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 ()A.55 B.255 C.35【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式和点到直线的距离公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选B.因为已知圆与两坐标轴都相切,所以可设圆心坐标为a,a(a>0),则半径为a,由此圆过点(2,1)得,a-22+a-12=a2,解得a=1或5,所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),圆心到直线5.(2020·全国卷Ⅲ文科·T8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ()A.1 B.2 C.3 D.2【命题意图】该题考查的是有关解析几何初步的问题,涉及的知识点有直线过定点问题,利用几何性质是解题的关键.【解析】选B.由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)距离最大,即为|AP|=2.6.(2020·北京高考·T5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 ()A.4 B.5 C.6 D.7【命题意图】考查点与圆的位置关系,两点间距离,最值问题等.【解析】选A.由题意,圆心到点(3,4)的距离为1,所以圆心到原点的距离的最小值为32+填空题(2020·天津高考·T12)已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.

【命题意图】本题主要考查圆的弦长问题,涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式,属于基础题.【解题指南】根据圆的方程得到圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d,进而利用弦长公式|AB|=2r2-d【解析】因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=4由|AB|=2r2-d2可得6=2r2答案:57.(2020·浙江高考·T15)设直线l:y=kx+b(k>0),圆C1:x2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=1,若直线l与C1,C2都相切,则k=;b=.

【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查运算求解能力,体现直观想象与数学运算等核心素养.【解析】由题意作图如下:易知直线l经过(2,0),所以,b=-2k,l:y=kx-2k,由直线与圆相切得,(0,0)到直线的距离为半径,d=2kk2+1=1,解得k=33答案:338.(2020·江苏高考·T14)在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满足PA=PB【命题意图】本题主要考查直线与圆相交问题,通过设圆心角表示面积,利用导数求最值.突出考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:如图,作PC所在直径EF,交AB于点D,因为PA=PB,CA=CB=R=6,所以PC⊥AB.要使面积S△PAB最大,则P,D位于C的两侧,并设CD=x,计算可知PC=1,故PD=1+x,AB=2BD=236-故S△PAB=12AB·PD=(1+x)36设∠BCD=θ,则x=6cosθ,S△PAB=(1+x)36-x2=(1+6cosθ)·=6sinθ+18sin2θ,0<θ<π2记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ,则f'(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ-6),令f'(θ)=6(12cos2θ+cosθ-6)=0,解得cosθ=23(cosθ=-34<0显然,当0<cosθ<23时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减当23<cosθ<1时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增结合cosθ在0,π故cosθ=23时,f(θ)最大,此时sinθ=1-cos故f(θ)max=6×53+36×53×23即△PAB面积的最大值是105.方法二:由已知PC=1,设12∠AC