考点37 椭圆 -高考数学备考资料

考点37椭圆一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T10同2019·全国卷Ⅰ文科·T12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ()A.x22+y2=1 B.x2C.x24+y23=1 D.【命题意图】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.【解析】选B.如图,由已知可设F2B=n,则AF2=2n,BF1=AB=3n,由椭圆的定义有2a=BF1+BF2=4n,所以AF1=2a-AF2=2n.在△AF1在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·13=4,解得n=3所以2a=4n=23,所以a=3,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为x23+y22=12.(2019·北京高考理科·T4)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为1A.a2=2b2 B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选B.离心率平方e2=c2a2=a2-b2a2=14,即4(a2-b2)=a二、填空题3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T15同2019·全国卷Ⅲ文科·T15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则【解析】已知椭圆C:x236+y220=1可知,a=6,c=4,由M为C上一点且在第一象限,故等腰△MF1F2中,MF1=F1F2=8,MF2=2a-MF1=4,sin∠F1F2M=yM=MF2sin∠F1F2M=15,代入C:x236+y220=1可得xM=3.故M的坐标为(3答案:(3,15)4.(2019·浙江高考·T15)已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.【解析】设线段PF的中点为M.方法一:由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,设P(x,y),可得(x-2)2+y2=16,联立方程x29+y可解得x=-32或x=212(舍),点P在椭圆上且在x求得P-32,152,所以kPF方法二:焦半径公式应用由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,即a-exP=4⇒xP=-32求得P-32,152,所以kPF答案:15三、解答题5.(2019·全国卷Ⅱ文科·T20)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【命题意图】考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的关系以及椭圆的有关运算.【解析】(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的离心率是e=ca=3-1(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,x2+y2=c2,②x2a2+y由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由①知