基础数学（第3章）

BasicMathematicsBasicMathematics第3章函数函数的概念3.1函数的表示方法3.2项目导航函数的性质3.3函数的应用3.4函数——解锁变量间关系的密钥我们去商场买东西时，应付款会随购买物品的种类和数量变化；我们坐车时，车费会随时间和路程的长短发生变化；我们运动时，消耗的热量会随运动的强度和时间发生变化．这些相互依赖与制约的变量关系间存在着各种规律，理解并掌握这些规律，能够为我们的生产和生活带来便利与进步，而函数就是帮助我们认识这些规律、解锁变量间关系的密钥．项目导读1．理解函数的概念．2．掌握函数的三种表示方法．3．理解函数的单调性和奇偶性，并掌握其判定方法．4．了解常见的函数．5．掌握一次函数、二次函数、分段函数的应用．要求3.1函数的概念3.1函数的概念2019年6月5日，我国首次在海上成功发射运载火箭．火箭上升过程中，其离地高度会随时间的变化而变化；火箭外的温度和气压也会随其离地高度的变化而变化．除这些以外，这个过程中还有很多存在相互影响，且其影响具有一定规律的变量，这些变量间的关系可以用什么来反映呢？生活中的数学3.1函数的概念《生活中的变量间关系》请扫描二维码查看知识精讲与初中时学过的函数定义相比，该定义从集合的观点出发，强调了函数的定义域与对应法则，更具有一般性．如果一个量在某过程中是变化的，即可取不同的值，则称这种量为变量；如果一个量在某过程中保持不变，即总取同一个值，则称这种量为常量．头脑风暴

函数的定义中有三个要素，即定义域、对应法则和值域．当函数的定义域和对应法则确定以后，函数的值域也就随之确定了，因此，我们将定义域和对应法则称为确定一个函数的两个关键要素．知识精讲知识精讲如果函数没有明确给出其定义域，那么函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量可取的所有实数的集合．但在实际应用问题中，函数的定义域还要根据自变量的实际意义来确定．函数的定义域可用不等式、集合、区间三种形式来表示．对于比较复杂的函数，可以借助数轴来分析如何用区间表示函数的定义域．例如提示学以致用例1解解解学以致用例2解学以致用例3解解课堂练习1．函数的定义；2．函数的两个关键因素：定义域、对应法则；3．函数定义域的求法；4．函数值的求法。课堂小结3.2函数的表示方法3.2.1解析法3.2.2列表法3.2.3图像法3.2.1解析法生活中的数学知识精讲用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法称为解析法，这个等式称为函数的解析式．用解析法表示函数简单明了，容易根据自变量求出对应的函数值，便于研究函数的性质，但不够直观．例如例如学以致用例1解3.2.2列表法生活中的数学某通信运营商推出了一款套餐，每月的前30min通话费用为0.3元/min，30～60min通话费用为0.2元/min，60min之后通话费用为0.1元/min，每月基本消费20元．为了方便顾客参考，工作人员将总通话费用y与通话时间x（选取了不同的时间节点）之间的关系列成了表格，如下表所示．想一想，这样的表示方法有何特点？知识精讲用表格来表示两个变量间函数关系的方法称为列表法．优点：容易查找与自变量相对应的函数值，缺点：所列数据一般不完整．学以致用例2解3.2.3图像法生活中的数学在医院里，护理人员每天都要在相同的时间点测量住院患者的体温，并将测得的数据作为点的坐标，将这些点连成曲线（见下图），可体现出患者体温随时间的变化趋势，以供医生参考，为医生诊断病情提供依据．观察左图，你能从中得出什么结论？这种表示患者体温与时间之间关系的方法有何特点？知识精讲图中反映了患者体温与时间之间的变化关系，每天相同的时间点都有唯一的体温T与之相对应．知识精讲图像法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况．为了研究函数的某些性质，往往要画出函数的图像，以便观察函数的变化趋势和它自身的一些特点．用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法称为图像法．学以致用例3商店销售某种笔，每支售价为2.5元，应付款是购买支数的函数，当购买支数在5支以内（含5支）时，请用图像法表示该函数．解（1）根据售价，分别计算出购买1～5支笔时的应付款，列成表格，如下表所示．学以致用例4解用计算器求函数值（1）按键，打开计算器，然后按键，再按键，将计算模式设置为“COMP”（即基本算术运算，此为初始缺省计算模式）．（2）先按键，再依次按键键输入被开方数．（3）按键，计算器的显示屏中会出现计算结果“2.645751311”，取小数点后两位，即“2.65”．（4）依次按键和键，关闭计算器.计算器辅助课堂练习超市里瓜子的价格是16元/kg，应付款y（元）是购买瓜子重量x（kg）的函数，请分别用解析法和图像法表示这个函数．课堂小结1．函数的三种表示方法：解析式、列表法、图像法。2．函数图像的画法。3.3函数的性质3.3.1函数的单调性3.3.2函数的奇偶性3.3.3几种常见的函数3.3.1函数的单调性生活中的数学某地气象台记录了当地一天内气温随时间变化的曲线，如下图所示．从图中可以看出，0时至6时气温不断降低，6时至12时气温不断升高．若将气温T看作时间t的函数，从这一现象可以看出函数在这两个区间内具有什么性质？知识精讲

像这种，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质称为函数的单调性．知识精讲学以致用《“任意”是关键》请扫描二维码查看知识精讲知识精讲可见，函数的单调性是对函数定义域内的某个区间而言的，它是一个局部性质．判定一个函数是增函数还是减函数，关键是确定它的单调区间．判断一个函数在某个区间内是否单调，可以通过观察函数图像直接进行判断，也可以利用函数单调性的定义去证明．学以致用例1解学以致用例2解课堂练习3.3.2函数的奇偶性生活中的数学观察投篮时产生的抛物线和北京天坛（见下图）的外形结构，可以发现它们都是轴对称图形，这样的图形反映在函数图像上又具有什么特点呢？3.3.2函数的奇偶性《常见的对称图形》请扫描二维码查看知识精讲知识精讲知识精讲判断函数的奇偶性学以致用解解例3学以致用解解例3课堂练习《考点链接：函数的奇偶性》请扫描二维码查看3.3.3几种常见的函数生活中的数学图像只有一条直线的函数是什么函数？图像为两条中心对称的曲线的函数是什么函数？图像为抛物线的函数是什么函数？这些函数的定义域、值域、单调性、奇偶性是怎样的？知识精讲一次函数1.（a）（b）（c）（d）知识精讲一次函数1.学以致用解例4知识精讲反比例函数2.（a）（b）

学以致用解例5知识精讲二次函数2.学以致用解例6学以致用解例6课堂练习1．函数单调性的定义。2．函数单调性的判定方法。课堂小结3.4函数的应用3.4函数的应用在我们的日常生活中，经常会遇到已知某些条件求解变量的实际问题，如购买商品、泳池加水、出租车计费、个人所得税计算等，若能建立合适的函数模型，便能高效地解决这些问题．那么你在生活中遇到过哪些可以通过建立函数模型来解决的问题？你觉得生活中哪些地方用到了函数？生活中的数学提示建立数学模型就是用数学的方法获得实际问题的数学描述，得到的描述形式就是数学模型．函数模型就是常见的数学模型，一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型都是常见的函数模型知识精讲一次函数的应用1.学以致用例1某公司要用1

000元的预算购买一批2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的钥匙扣送给员工，花131元可购买2个，花247元可购买4个，价格中均包含了相同的邮费．若钥匙扣的总价y（元）是单价x（个）的一次函数，则这个函数的解析式该如何表示？该公司的预算最多可以购买多少个钥匙扣？学以致用解学以致用“冰墩墩”是2022年北京冬奥会的吉祥物，它以其可爱的外貌和美好的寓意赢得了世界各国人民的喜爱．“冰墩墩”是一只熊猫，它身穿富有“超能量”的冰晶外衣，服装的头部造型取自冰雪运动所用的头盔，并装饰了彩色光环，整体形象酷似航天员，设计简约却不简单．“冰墩墩”寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．人们喜欢“冰墩墩”不仅是因为它的可爱，更是因为它代表了开拓进取、不断超越的精神，而这也是当代青年孜孜以求的精神力量．拓展视野课堂练习现要给一个泳池匀速加水，已知泳池的最大容量为225，上水前泳池中已有50的水，加水20min后，泳池中有120的水．若泳池内的水量y（）是加水时间x（min）的一次函数，这个函数的解析式是什么？若要将水加至泳池的最大容量，需要加水多长时间？知识精讲一次函数的应用1.学以致用例2某农业示范村要建一个新的矩形养鸡场，养鸡场需要建造围栏，围栏材料共有100m，用这些材料可围出的养鸡场最大面积是多少？解课堂练习一辆满载货物的汽车要通过一个隧道，隧道横截面为抛物线形，隧道底部宽4m，顶部距地面4.4m，车上货物的顶部距地面2.7m，宽度为2.4m，请建立二次函数模型判断这辆汽车能否通过隧道．知识精讲分段函数的应用3.在我们的日常生活中，电费、水费、出租车费、航空行李托运费、通信费、银行利息、个人所得税等的计费方式，都有一个共同的特征，那就是不同取值范围内的计费方式有所不同，可以分段用不同的函数来表示，那么这种函数有什么特点？又要如何应用呢？下面我们先观察以下函数

可以看出，这个函数在自变量x的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示，我们将这种函数称为分段函数．知识精讲分段函数的应用3.知识精讲分段函数的应用3.《身边的分段函数》请扫描二维码查看学以致用例3某厂对每月用电不超过100度的职工的收费办法是：当用电不超过50度时，按每度0.6元收费；当用电超过50度时，其中前50度仍按原标准收费，超过部分按每度0.8元收费，试写出职工每月用电不超过100度时应缴纳的电费与用电量之间的函数解析式．解学以致用例4某市通信营业厅为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：固定月租费用为10元；每月拨打市内电话不超过120min时，每分钟收费0.2元；超过120min时，超过部分每分钟收费0.1元；不足1min按1min计费．请写出某用户一个月的市内电话费y（元）与拨打时间x（min）之间的函数解析式，并作出函数图像．学以致用解课堂练习通过生活实例