2022年四川省绵阳市第四中学高三数学文期末试题含解析

2022年四川省绵阳市第四中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．3π B．5π C．10π D．20π参考答案：D【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】由题意，直观图是以俯视图为底面，侧棱垂直与底面的四棱锥，求出该几何体的外接球的半径，可得结论．【解答】解：由题意，直观图是以俯视图为底面，侧棱垂直与底面的四棱锥，∴该几何体的外接球的半径为=，∴该几何体的外接球表面积为4π?5=20π，故选D．2.已知实数满足约束条件若函数的最大值为1，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误

B．小前提错误C．推理形式错误

D．非以上错误参考答案：A4.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】说明M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．画出图形，连接PF1，OM，说明OM为△PF2F1的中位线．通过PF2⊥PF1，可得|PF2|=，设P（x，y），推出c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可．【解答】解：如图9，∵，∴M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．连接PF1，OM．∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为△PF2F1的中位线．∵OM=a，∴|PF1|=2a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，设P（x，y），则c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2a），过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a．由勾股定理得y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4a2=4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2有e2﹣e﹣1=0，所以e=，负值已经舍去．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．5.的展开式中，的系数为（

）A．154

B．42

C.－42

D．126参考答案：B6.能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是(

)A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=ex+e﹣x参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可．【解答】解：∵f（x）=x3+x2不是奇函数，∴f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称，∴f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=ln是奇函数，∴f（x）=ln的图象关于原点对称，∴f（x）=ln是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=sinx+cosx不是奇函数，∴f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称，∴f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=ex+e﹣x不是奇函数，∴f（x）=ex+e﹣x的图象关于原点不对称，∴f（x）=ex+e﹣x不是椭圆的“亲和函数”．故选：B．【点评】本题考查椭圆的“亲和函数”的判断，是基础题，解题时要准确把握题意并合理转化，注意函数的奇偶性的合理运用．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面参考答案：B根据面面平行的判定定理易得答案.选B.

8.设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．9.已知是虚数单位，复数的模为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：，选D．10.在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A． B． C． D．1﹣参考答案：D【考点】几何概型．【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P==1﹣．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量，，且∥，则______参考答案：12.已知向量，且，则实数

．参考答案：解：．由13.在等差数列中，设数列的前项和为，则= 参考答案：设等差数列{an}的公差为d，依题意，14.a，b，c，d四封不同的信随机放入A，B，C，D四个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a没有放入A中的概率是．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】由排列组合的知识可得总的投放方法有=24种，其中a放入A中的有=6种方法，由概率公式可得．【解答】解：由题意可得总的投放方法有=24种，其中a放入A中的有=6种方法，∴所求概率P=1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合的应用，属基础题．15.在区间（0，）上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率等于．参考答案：

【知识点】几何概型K3解析：∵0＜tanx＜1，x∈（0，）∴0＜x＜，以区间长度为测度，可得所求概率为=,故答案为：．【思路点拨】求出满足0＜tanx＜1，x∈（0，）的x的范围，以长度为测度，即可求得概率．16.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为，则球的表面积为

．参考答案：17.直线（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线被圆截得的弦长为，则实数的值为

.参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使得，求实数的取值范围参考答案：19.

在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且（1）确定角的大小；

（2）若＝,且的面积为,求的值．参考答案：解：（1）锐角三角形中,由正弦定理得,因为A锐角

又C锐角

---------------6分w

(2)三角形ABC中，由余弦定理得即

--------8分w又由的面积得

.即

---------10分由于为正，

所以---------12分

略20.（12分）已知函数f（x）=sinωx﹣sin（ωx+）（ω＞0）．（1）若f（x）在[0，π]上的值域为[，1]，求ω的取值范围；（2）若f（x）在[0，]上单调，且f（0）+f（）=0，求ω的值．参考答案：【考点】三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性求得ω的取值范围．（2）利用正弦函数的单调性、周期性求得ω的取值范围，根据函数的一个对称中心为（，0），故有﹣=kπ，k∈Z，由此ω的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sinωx﹣sin（ωx+）=sinωx﹣sinωxcos﹣cosωxsin=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），在[0，π]上，ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，sin（ωx﹣）∈[﹣，1]，∴ωπ﹣∈[，]，ω∈[，]．（2）∵f（x）在[0，]上单调，∴﹣0≤=，∴0＜ω≤3．∵f（0）+f（）=0，∴f（）=0，故函数的一个对称中心为（，0），故有﹣=kπ，k∈Z，∴ω=2k+2，∴ω=2．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性以及图象的对称性，属于中档题．21.(本小题满分l3分)如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE，ADE的余弦值为，AE=3．(I)若F为DE的中点，求证：BE//平面ACF；(II)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

参考答案：（Ⅰ）连结交于，