离散数学 代数系统的一般性质-1

第5章代数系统的一般性质

代数结构【引例】（1）在Z集合上，x∈Z,则f(x)=-x是将x映为它的相反数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运算的结果。这个运算可表示为函数：

f：Z→Z

5.1二元运算及其性质（2）在R+集合上，x∈R+,则f(x)=1/x是将x映为它的倒数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数运算的结果。这个元算可以表示为函数f:R+

→R+。（3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a，b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加（减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f:R2

→R。上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共同特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯一的,它们都是函数。

把这种数集中的代数运算,抽象概括推广到一般集合上，就得到代数运算的概念。集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。5.1二元运算及其性质二元运算的定义及其实例定义设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f

封闭.特点：变量和函数值的取值限定在同一个集合上。例1

(1)N上的二元运算：加法、乘法.(2)Z上的二元运算：加法、减法、乘法.

(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S={a1,a2,…,an},ai

∘aj=ai，∘为S上二元运算.二元运算的实例（续）

(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即

矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：∪,∩,－,

.(7)SS

为S上的所有函数的集合：合成运算∘.

一元运算的定义与实例定义设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为一元运算.例2(1)Z,Q和R上的一元运算:求相反数

(2)非零有理数集Q*，非零实数集R*上的一元运算:

求倒数

(3)复数集合C上的一元运算:

求共轭复数

(4)幂集P(S)上,全集为S:求绝对补运算~

(5)A为S上所有双射函数的集合，A

SS:求反函数

(6)在

Mn(R)(n≥2)上，求转置矩阵运算符

为了简化n元运算的表示，引入运算符来代替函数。如符号“。”、“*”、“·”、“Δ”、“

”等。①前缀表示法*(a)=b*(a1,a2)=b*(a1,a2,a3)=b②非前缀表示，将运算符写于n个元素之间，如Z×Z→Z的加法：

f(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5

通常将f(〈2,3〉)写成f(2,3)或2+3.5.1二元运算及其性质运算表表示运算

∘

a1

a2

…

an

∘ai

a1a2...ana1∘a1

a1∘a2

…

a1∘ana2∘a1

a2∘a2

…

a2∘an.........an∘a1

an∘a2

…

an∘an

a1a2...an∘a1∘a2

...∘an运算表的实例例4A=P({a,b}),

,∼分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集）

的运算表∼的运算表

{a}{b}{a,b}

X

∼X

{a}{b}{a,b}

{a}{b}{a,b}{a}

{a,b}{b}{b}{a,b}

{a}{a,b}{b}{a}

{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}

运算表的实例（续）例5Z5={0,1,2,3,4},

,

分别为模5加法与乘法

的运算表

的运算表

01234

0123401234

0123412340234013401240123

01234

0000001234024130314204321例：设N3={0,1,2},则N3上的模3加法+3可以使用运算表来表示,如表4.1所示。注意到，运算表是对称的，这表明运算+3满足交换律。+3012001211202201

定义5.2

设S是集合，n为正整数，函数f:S

S

...S→S称为集合S上的n元运算，整数n称为运算的阶。从n元代数运算的定义可知它有三点涵义:A中任意n个元素都有运算结果;运算是封闭的,即运算结果仍在A中;结果是唯一的。5.1二元运算及其性质二元运算的性质定义5.3-5.11

设“*”，“

”均为集合S上的二元运算。（1）若

x,y∈S:x*y=y*x，则称运算“*”在S上满足交换律。

实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。（2）若

x,y,z∈S:x*(y*z)=(x*y)*z，则称运算“*”在S上满足结合律。实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。

如果一个表达式中只有一种运算，该运算满足结合律，则可去掉标记运算顺序的括号：

（x+y）＋（z+w）＝x+y+z+w

5.1二元运算及其性质如果参与运算的是同一个元素，则可以用幂的形式表示。

x*x*...*x=xn

幂运算的性质(m,n都为正整数，＋是正整数上的普通加法，乘是普通乘法)：

xm*xn=xm+n(xm)n=xmn（3）若

x∈A，x*x=x,则称“*”运算满足幂等律

。同时称S中的全体元素都是幂等元。幂集上的满足幂等律；不满足幂等律，但运算有一个幂等元。

5.1二元运算及其性质（4）若

x,y,z∈S：x*(y

z)=(x*y)

(x*z),则称“*”运算对“

”运算满足左分配律；

(y

z)*x=(y*x)

(z*x)，则称“*”运算对“

”运算满足右分配律。若二者均成立，则称“*”运算对“

”运算满足分配律。

(5）设“*”，“

”均可交换，若

x，y∈A,有

x*(x

y)=xx

(x*y)=x

则称运算“*”和“

”运算满足吸收律。幂集上的和运算满足吸收律。

5.1二元运算及其性质Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2；P(B)为幂集；AA为A上全体函数，|A|

2.集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+有有无普通乘法

有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法

无有无P(B)并

有有有交有有有相对补无无无对称差有有无AA函数复合

无有无5.1二元运算及其性质集合运算分配律吸收律

Z,Q,R普通加法+与乘法

对+可分配无+对不分配

Mn(R)矩阵加法+与乘法

对+可分配无+对不分配

P(B)并

与交

对

可分配有

对

可分配交

与对称差

对可分配无对不分配5.1二元运算及其性质例3

设A={a,b},A上的运算“*”、“。”分别如表所示。*abababba从“*”运算表可知，“*”是可交换的。因为

(a*a)*b=a*b=b

a*(a*b)=a*b=b

(a*b)*b=b*b=aa*(b*b)=a*a=a所以“*”是可结合的。5.1二元运算及其性质

ababaaab从“

”运算表可知，“

”是可交换的。因为

(a

a)

b=a

b=aa

(a

b)=a

a=a(a

b)

b=a

b=aa

(b

b)=a

b=a所以“

”是可结合的。5.1二元运算及其性质（1）b

(a*b)=b

b=b(b

a)*(b

b)=a*b=b（2）a

(a*b)=a

b=a,(a

a)*(a

b)=a*a=ab

(a*a)=b

a=a,(b

a)*(b

a)=a*a=ab

(b*b)=b

a=a,(b

b)*(b

b)=b*b=aa

(a*a)=a

a=a,(a

a)*(a

a)=a*a=aa

(b*b)=a

a=a,(a

b)*(a

b)=a*a=a

所以“

”对“*”是可分配的。（由于“

”运算满足交换律成立，因此右分配也成立。）（3）b*(a

b)=b*a=b(b*a)

(b*b)=b

a=a故“*”对“

”是不可分配的。又由b*(b

b)=b*a=a可知“

”和“*”不满足吸收律。由运算表可知，“

”满足幂等律，而“*”不满足幂等律。5.1二元运算及其性质消去律定义设∘为V上二元运算，

x,y,zV，若x∘y=x∘z,且x不是零元，则y=z

若y∘x=z∘x,且x不是零元，则y=z那么称∘

运算满足消去律.实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律;幂集P(S)上

满足消去律Zn关于模n加法满足消去律，当n为素数时关于模n乘法满足消去律.当n为合数时关于模n乘法不满足消去律.5.1二元运算及其性质二元运算的特异元素单位元定义设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）

S，使得对任意x∈S都有

el∘x=x(或x∘er=x)，则称el(或er)是S中关于∘运算的左(或右)幺元（单位元）.若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于∘运算的幺元.例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1

Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵

P(S)上

的么元是

，

的幺元是S5.1二元运算及其性质例：R*是非零实数集，

是R*上的二元运算，对R*中任意a,b,有a

b＝a

则

运算不存在左幺元，存在无数个右幺元，因此不存在幺元定理5.1设

为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右幺元，则el=er=e，且e为S上关于∘运算的惟一的幺元.

证：el=el

er=el

er=er

所以el=er,将这个幺元记作e.假设e’也是S中的幺元，则有e’=e

e’=e.惟一性得证.5.1二元运算及其性质零元

设∘为S上的二元运算,如果存在θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有

θl∘x=θl(或x∘θr=θr)，则称θl(或θr)是S中关于∘运算的左(或右)零元.若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算∘

的零元.类似地可以证明关于零元的惟一性定理（定理5.2）.例：N上乘法的零元是0，加法没有零元

Mn(R)上乘法的零元是0矩阵，加法没有零元

P(S)上

的零元是S

，

的零元是

5.1二元运算及其性质【例4.3.5】

在实数集

R中，对加法“+”运算，没有零元；在实数集

R中，对乘法"×"运算，0是零元；对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元；对于全集E的子集的交"∩"运算，

是零元;5.1二元运算及其性质可逆元素及其逆元

令e为S中关于运算∘的幺元.对于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得

yl

x=e（或x

yr=e），则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元

).

关于

运算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.