2024届重庆市西南大学附中、重庆育才中学拔尖强基联盟高三上学期9月联考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2024届重庆市西南大学附中、重庆育才中学拔尖强基联盟高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程得到，由定义域得到，从而求出并集.【详解】由题意得，解得，故，又，所以.故选：C2．若随机变量，则（

）A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6【答案】C【分析】由，求出，进而由线性关系计算出.【详解】因为，所以，所以.故选：C3．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，限定出的范围即可比较出它们的大小.【详解】根据题意可知，即可得；由对数函数在上单调递增可知，，即；且，所以.故选：A4．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数解析式和对数运算法则依次求得即可.【详解】，，.故选：B.5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.6．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（

）种A．25 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果.【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法，再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，所以不同的选派方法共有种.故选：D7．定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】C【分析】根据已知条件推出是周期为4，关于、对称的偶函数，再结合、与的平移伸缩关系判断各项的正误.【详解】由为奇函数，则，即，B错；所以关于对称，由，令，则，即，所以关于对称，则关于，即y轴对称，C对；所以，则，故，则，即的周期为4，则，综上，是周期为4，关于、对称的偶函数，将所有横坐标缩短为原来的一半得到函数，所以是周期为2，关于、对称的偶函数，D错；则，A错；故选：C8．对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值.【详解】由题设，令，则，所以，在上恒成立，当，则，不满足题设；当，对称轴为，只需，可得.综上，，故整数的最小值为2.故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．是第三象限角B．角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上的角的集合可表示C．D．若，则【答案】ACD【分析】A利用终边相同的角的集合并求最小正角判断；B写出终边在直线上的角的集合判断；C应用诱导公式、和角余弦公式判断；D根据与、倍角正弦公式判断.【详解】A：与终边相同角的集合，若，故在第三象限，对；B：终边在直线上的角的集合可表示，错；C：，对；D：，则，对；故选：ACD10．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．时，函数的极大值为B．是函数为奇函数的充要条件C．若函数恰有两个零点，则或D．若函数在上单调递增，则【答案】BC【分析】A应用导数研究极值；B根据奇函数及充分、必要性定义判断；C由，问题化为有且仅有一个零点，结合二次函数性质求参数；D由恒成立求参数范围即可.【详解】A：，则，在上，在上，故极大值为，错；B：，则，故，函数为奇函数，充分性成立；，则，必要性成立，对；C：由，显然，要使函数恰有两个零点，只需有且仅有一个零点，即，即，对；D：由题设在上恒成立，即，所以，错；故选：BC11．已知编号为的三个盒子，其中1号盒内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒内装有两个1号球，一个3号球；3号盒内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（

）A．如果将10个相同的小球放入这三个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有36种B．第二次抽到3号球的概率为C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为【答案】BCD【分析】A应用插棍法求不同放法数；B应用全概率公式求第二次抽到3号球的概率；C应用贝叶斯公式求3号球来自不同盒子的概率比较大小；D根据题意写出条件概率即可.【详解】将10个相同的小球放入这三个（不同）盒子内，应用插棍法，把10个小球和3个盒子排成一列有12个空（不含两端），再用2根棍插入其中两个空，所以不同的放法有种，A错；表示第一次抽取到1号球，表示第一次抽取到2号球，表示第一次抽取到3号球，所以，表示第二次抽到3号球，则，所以而，所以，B对；第二次抽到的是3号球来自1号盒，第二次抽到的是3号球来自2号盒，第二次抽到的是3号球来自3号盒，所以第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，C对；表示第二次抽到2号球，则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率，D对.故选：BCD12．已知函数有两个极值点，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A选项，转化为有两个不同的根，令，求导得到其单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到；B选项，先得到，且，故；C选项，得到，且，，D选项，构造，利用导数得到，从而得到，再由在上单调性得到答案.【详解】A选项，定义为R，且，由题意得有两个变号零点，令，即有两个不同的根，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，且，又当时，，当时，，画出的图象，如下，故，A正确；B选项，由A选项可知，，且，故，B错误；C选项，由A选项可知，，且，，C正确；D选项，设，，则，因为，所以，，则，故，故在上单调递增，又，而，故，即，又，所以，其中，，而由A选项可知，在上单调递减，所以，即，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.三、填空题13．已知函数在点处的切线与直线平行，则实数.【答案】【分析】利用导数的几何意义有，即可求参数值.【详解】由题设，则，故.故答案为：14．已知展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为.【答案】【分析】先根据第3项与第6项的二项式系数相等求出，从而得到展开式的通项公式，得到答案.【详解】由题意得，解得，故展开式通项公式为，令得，故展开式中含项的系数为.故答案为：15．已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则.【答案】/【分析】根据已知得，且，应用差角正弦公式求角的大小.【详解】由题设，，即，而，故，则，所以，则.故答案为：16．函数在上单调递增，则的取值范围是.【答案】【分析】对函数求导，将问题化为在上恒成立，构造函数，得到，结合导数求满足条件的参数范围即可.【详解】，在上恒成立，由，则，所以在上恒成立，令，则，所以，可得，令，则，即在递增，而，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据区间单调性，将问题转化为在上恒成立为关键.四、解答题17．已知，求下列代数式的值.（1）；（2）.【答案】(1);(2).【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化解，即可求得所给式子的值.（2）把要求的式子的分母看成1，再利用同角三角函数的基本关系化为关于正切的式子，从而求得它的值.【详解】由，可得：，解得：.（1）．（2）【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题18．已知函数是定义域上的奇函数，当时，的最小值为4.(1)求实数的值;(2)令，对，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根据奇函数性质可得，利用基本不等式求出最小值可得；（2）利用换元法构造函数，，求得函数值域根据不等式恒成立解出实数的取值范围即可.【详解】（1）根据题意可知，对应定义域内任意，函数满足，即，即，解得；所以，当时，，即，解得；所以，.（2）由（1）可得，令，，则，易知当时，，此时函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以；令，则可化为，因为二次函数的对称轴为，所以函数在上单调递增，又对，都有，即即可；所以，即，解得，所以；综上可得，实数的取值范围是.19．ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数(万人)，详见下表:X（月份）12345Y（万人）3.66.411.718.6427.5(1)根据表中数据信息及模型(1)与模型(2)，判断哪一个模型更适合描述变量和的变化规律（无需说明理由），并求出关于的经验回归方程;(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表:基本适应不适应合计年龄小于30岁10050150年龄不小于30岁7575150合计175125300根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考公式与数据:，;155597967.84263.561120.240.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)更适合，回归方程为(2)该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关【分析】（1）根据增量变化确定模型，再应用最小二乘法求回归方程即可；（2）应用卡方公式求卡方值，由独立试验的基本思想下结论即可.【详解】（1）根据表格数据知：随月份变化，用户人数的增量在变大，则更适合，而，，则，所以，故.（2）由，所以小概率的独立性检验，该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关.20．已知定义在上的函数，其导函数为.(1)求的单调区间;(2)若函数，求关于的方程的解的个数.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）构造，利用导数研究其单调性；（2）构造，利用导数研究其零点个数即可，注意分类讨论参数.【详解】（1）令，则，当时，，则在上递减；当时，，则在上递增；所以的递减区间为，递增区间为.（2）由题设，即求解的个数，令，则，当时，恒成立，即递增，又，即此时仅有一个零点；当时，当时，，则在上递减；当时，，则在上递增；则，令，则，所以，，故递增；，，故递减；则，即，而趋向于或时都趋向，所以，当时，，此时仅有一个零点；当且时，，此时有两个零点；综上，或，仅有一个解；且，有两个解.21．某公司在一种传染病毒的检测试剂吅上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列;(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才可以确定为“感染高危户”率为，若该家庭被确定为“感染高危户”，且当时，最大，求的值.【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）分别求出两类试剂和检测合格的概率，再求出所有可能取值的概率即可得分布列；（2）根据题意可得，利用换元法构造函数解析式根据由基本不等式即可求出最大时的的值.【详解】（1）根据题意可知，试剂检测合格的概率为，试剂检测合格的概率为；易知的所有可能取值为；，，，所以的分布列为012（2）根据题意可知，检测3个人可以确定为“感染高危户”的概率为，检测4个人可以确定为“感染高危户”的概率为；所以可得，令，所以，则可化为，因为，当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为；此时，即.22．已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）讨论参数a，利用导数研究函数单调性；（2）问题化为在上仅有一个解，构造，利用导数研究其在的单调性，结合零点存在性判断区间零点个数，即可求参数范围.【详解】（1）由，且，当，则，此时在上递