期权基础知识4-期权的风险参数及特点

期权的风险参数及特点北京物资学院证券期货教研室刘宏主要内容Delta（△或δ）Gamma（Г）Theta（θ）Vega（υ）Rho（rho）刘宏liuhong393@126.com期权的风险参数期权的价格风险主要发生在卖权上，裸露看涨期权和看跌期权均存在较大的价格风险，与其他金融工具对冲目的相似，期权的价格风险也可以采取相应的措施加以规避或对冲。期权的风险参数可用于调整和控制期权及组合的价格风险。目前国际金融市场上不同因素对期权价格的影响分别用不同的希腊字母表示，包括标的物价格、距离到期日时间，波动率、利率以及标的物价格变动的变动对期权价格的影响。以上因素对期权价格的影响分别用delta、theta、vega、rho、gamma等希腊字母表示。刘宏liuhong393@126.com一、期权的Delta期权或资产的Delta（△或δ）被定义为期权或资产价格变动对其标的资产价格变动的比率，数学上看是期权价值对标的资产价格的偏导数，是期权价格与标的资产价格关系曲线的斜率。

式中：f为期权或资产的价格，S为标的资产的价格。△也看可通过布莱克－斯科尔斯期权定价公式求得。不支付红利的看涨和看跌期权的△：如果标的资产为有收益，且其收益率为q,则有：△可通过二叉树的无套利定价模型求得：△Su-△Sd=Cu-Cd

刘宏liuhong393@126.com期权的Delta风险欧式看涨期权的delta欧式看跌期权与标的资产的价格关系Delta风险是指标的资产价格变化引起的期权价格的波动。不仅期权有delta风险，远期、期货等衍生产品同样也有delta风险。远期合约的Δ=1，期货合约的Δ=ert。刘宏liuhong393@126.com期权Delta的特点期权Delta取值：从计算公式看出，期权delta绝对值的范围在0～1之间，欧式看涨期权的delta值总是大于0小于1，而看跌期权的delta值位于-1到0之间，这意味着标的资产价格变动总是大于由其引起的期权价格的变动。Delta的线性特征：对于一个组合价值为Π的投资组合，Π=Wi*Ci，组合的Delta值等于每种资产的Delta的线性和，即：其中,Wi表示组合包含第i种期权的数量。delta值大于0的投资组合被称为牛市组合，delta值小于0被称为熊市组合。刘宏liuhong393@126.com期权Delta特点-标的资产价格与期权Delta的关系对于看涨期权，当期权处于深度虚值，多头几乎不存在行权机会，期权价格非常小，且几乎不随标的资产价格上涨而上涨，当期权虚值程度减弱时，期权价格会随着标的资产价格上涨而上涨，且上涨速度会加快，期权的δ值不断增大。看跌期权delta与标的资产的关系看涨期权delta与标的资产的关系当标的资产价格接近行权价格，即期权接近平值时，标的资产价格稍稍的变动都会导致期权虚、实值转换，因此在上涨接近执行价格时期权价格随标的资产价格上涨程度加大，期权的上涨速度加快，期权的δ值变大，在平值附近时δ最大。刘宏liuhong393@126.com期权Delta特点-标的资产价格与期权Delta的关系标的资产价格在行权价格以上时，随着标的资产价格的上涨，期权价格会随之上涨。当标的资产价格超过行权价格很多，即期权处于深度实值时，标的资产价格的进一步上涨将变得困难，期权价格接近内在价值，期权价格与标的资产价格上涨幅度保持一致，δ值趋近于1，期权价格随标的物价格上涨速度减慢，即δ增大速度变缓。所以，对于看涨期权，随着标的资产价格上涨，δ变化的速度有一个先变大再变小的过程，接近执行价格时的δ变动速度最快。对于看跌期权，由于标的物价格变动方向与期权价格变动方向相反，所以看跌期权的δ为负值。随着标的资产价格的下跌，期权δ的绝对值不断增大，即标的物价格下跌，期权价格上涨，标的物价格接近执行价格时δ值变化速度最快。由于期权δ的绝对值在0～1之间，所以期权变化值始终小于标的资产价格变化值。刘宏liuhong393@126.com看涨期权价格对标的物价格波动的敏感度：Call(European)：K=50，T=20周，r=5%，µ=13%刘宏liuhong393@126.com看跌期权价格对标的物价格波动的敏感度：Put(European)：K=50，T=20周，r=5%，µ=13%刘宏liuhong393@126.com期权Delta特点-到期时间对期权Delta的影响看跌期权delta与到期时间的关系看涨期权delta与到期时间的关系因为对于看涨期权，S实值>S平值>S虚值,由于S越大期权的△值越大，所以△实值>△平值>△虚值。对于实值期权，随着到期日的临近其△不断增大，直至等于1；对于虚值期权随着到期日的临近△不断变小。例如，一个处于深度实值的期权，在其他条件不变的情况下，随着到期日的临近，其处于实值以上的概率将越来越大，期权价格变化将于标的资产价格变化趋于一致，△趋于1。刘宏liuhong393@126.com期权Delta特点-到期时间对期权Delta的影响对于虚值期权，随着到期日的临近标的物价格涨到执行价格以上的概率越小，因此，对于虚值期权，越接近到期其delta越小，而且随时间推移期权的时间价值加速下降，最终下降到零并停留在那里，由于时间太短，标的资产价格变化已难影响到期权，期权的delta值变为零。对于平值期权，不论何时，其价格向上或向下走的概率基本相等，因此平值期权的delta理论上是等于0.5的，但是由于标的资产价格不可能小于0，其价格上行的空间要远大于价格下行的空间，因此平值期权的delta会略高于0.5。平值期权的delta是近似线性的，在到期日delta接近0.5。

对于看跌期权，△小于0，S实值﹤S平值﹤S虚值,

S越小期权△值的绝对值越大，考虑绝对值，△实值>△平值>△虚值。对于实值期权，随着到期日的临近其△得的绝对值不断增大，直至等于-1；对于虚值期权随着到期日的临近△由负值向0趋近。刘宏liuhong393@126.com期权Delta特点-波动率对期权Delta的影响波动率对看涨期权delta的影响之前对delta的讨论都是基于布莱克－斯科尔斯定价公式，基于波动率不变的前提，波动率会对期权delta产生怎样的影响？

标的资产波动率高时，期权处于虚值状态的情形对标的资产价格的变化会相对敏感，而在实值状态下反应相对迟钝。标的资产的波动率越小，看涨期权的时间价值较少，因此在虚值状态它对标的资产价格的变动并不敏感，delta会很小，但是在实值状态，它的delta值就会变得很大。

刘宏liuhong393@126.comDelta对冲——即利用delta计算对冲期权头寸风险的套保比率例1.某金融机构卖出10万份无息票股票的欧式看涨期权，收入30万美元。假设股票价格为49美元，期权执行价格为50美元，无风险利率为每年5%，股票价格的波动率为每年20%，期权期限为20周（0.3846年），股票的期望收益率为每年13%。S0=49，K=50，r=5%，σ=0.20，T=0.3846，

=0.13欧式看涨期权的Δ==0.522Delta为0.522，表明期权价格变化是其标的股票价格变化的0.522倍。刘宏liuhong393@126.comDelta对冲金融机构要对冲100000份看涨期权空头头寸的风险，看通过买入100000*0.522=52200股股票的方式实现。当股票价格由49美元上涨至50美元时，期权价格应该由3美元上涨至3+0.522=3.522美元，100000份期权空头损失0.522*100000=52200美元；而股票多头盈利52200美元。如果股票价格由49美元下跌2美元至47美元时，股票多头合计亏损104400美元，而期权价格应该下跌0.522*2=1.044美元，至1.565美元，100000份空头盈利1.044*100000=104400美元。以上情况看出，无论标的股票上涨还是下跌，组合均可实现盈亏相抵。刘宏liuhong393@126.com考虑资金成本和标的资产价格变化买入股票的资金=49*52200=2557800美元，如果借入资金的成本为5%，借入一周需要资金2557800*5%（4937/360）=2486.75美元。期权头寸的Delat随着标的股票价格的变化而变化，需不断调整股票头寸以使得组合头寸的Delat为0。见下表。对冲期权空头头寸所需股票数45800股,需减持52200-45800=6400股股票。退出资金=6400*48.12=307.97千元,资金占用2557.8-308+2.5=2252.3Delat=N(-0.1054)=1-N(0.1054)=1-0.542=0.458一周后Delat的计算（剩余时间为19周=0.3654年）:刘宏liuhong393@126.com周数股票价格Delta购买股票数量购买股票费用(千)累计现金流(千)利息费用(千)049.000.522522002557.82557.82.5148.120.458-6400-308.02252.32.2247.370.400-5800-274.71979.81.9350.250.59619600984.92966.62.9451.750.6939700502.03471.53.3553.120.7748100430.33905.13.8653.000.706-300-15.93893.03.7751.870.706-6500-337.23559.53.4853.870.674-3200-164.43398.53.3953.000.78711300598.94000.73.81049.880.550-23700-1182.22822.32.71148.500.413-13700-664.42160.62.11249.880.54312900643.52806.22.71350.370.5914900246.83055.72.91452.130.76817700922.73981.33.81551.880.759-900-46.73938.43.81652.870.86510600560.44502.64.31754.870.97811300620.05126.94.91854.620.990120065.55197.35.01955.871.000100055.95258.25.12057.521.00000.05263.3

刘宏liuhong393@126.comDelta对冲——利用Delta计算对冲股票组合风险的套保比率例2.假设有一个复制沪深300指数的股票组合，价值为3000万元。股票组合的管理人计划持有该组合半年，并为该组合设置了5%的止损线，即当组合价值跌到2850万以下时平仓出局。为了股票组合的价值得到充分保护，投资人最理想的办法是能买入一个执行价格为2850万元的看跌期权，还有一种办法就是通过delta复制，创造出所需要的期权（卖出标的资产同时买进看涨期权，等同于买进看跌期权）。假设无风险利率为3%每年，红利收益率为1%每年，市场波动率25%，于是有：S0=3000元，K=2850元，r=3%，q=1%，T=6/12，σ=25%。可以算出所需期权的初始delta值为：刘宏liuhong393@126.com如果交易者用看跌期权来对冲股票组合的风险，需买进10000/0.3184份看跌期权。如果股票价格下跌3%，价格跌至3000*（1-3%）=2910，价格下跌3000-2910=90元，股票组合的市值降至2910万元，下跌90万元。看跌期权价格会上涨，每张期权会上涨90*0.3184元，期权总头寸将上涨（10000/0.3184）*90*0.3184=90万元，组合头寸盈亏平衡。随着股票价格的下跌，对于期权的delta的绝对值增加，所需期权空头头寸应该减少。刘宏liuhong393@126.com例1中，金融机构10万份看涨期权空头头寸的Delta为：0.522*（-100000）=-52200美元。Delta中性每股股票的Delta为1，52200股股票多头的总Delta为52200美元。股票头寸的Delta与期权头寸的Delta抵消，金融机构组合头寸的Delta为0。Delta为0的头寸被成为Delta中性。表明金融机构所持标的股票每股涨跌Δ美元，期权总头寸将反向变化52200美元。由于Delta会变动，投资者的Delta策略（或Delta中性状态）只能维持在一段短暂的时间里，要实现对冲风险的目的，对冲策略需要不断调整，持续保持Delta中性。刘宏liuhong393@126.comDelat动态调整的特点要维持Delat中性就要根据标的物价格的变化而导致的Delat值的变化对股票持仓进行调整。因此，Delat动态调整的缺陷是追涨杀跌！！当使用标的股票空头对冲看跌期权空头时，标的股票上涨时期权Delat的绝对值减少，需买入一定量的股票头寸保持组合的Delat中性；当标的股票下跌时Delat绝对值增大，需卖出更多的股票头寸对冲看跌期权空头。Delat度量的是标的资产价格变化引起的期权价格的近似变化，标的资产价格变化引起的Delat的近似变化用Г表示。刘宏liuhong393@126.com期权的Г是指证券组合价值Delta变化与标的资产价格变化的比率。是证券组合关于标的资产价格的二级偏导数，gamma也被称作期权价格与标的资产价格关系曲线的曲率。二、期权的Gamma（Г）例1的Г值等于0.0656，表明当股票价格变化ΔS时，期权的价值变化为0.522ΔS，Delta变化为0.0656ΔS。Г是度量Delta对标的资产价格波动敏感度的指标，Г风险是指标的物价格波动引起的期权Delta的波动。当gamma的绝对值较大时，表明delta对标的资产价格波动十分敏感，标的资产的微小变动会导致期权的大幅变动，期权的Г风险很大，此时若不对delta中性投资组合的持仓进行调整就将产生较大的价格风险。调整的目标是使组合头寸的gamma等于0，gamma为0的投资组合被称为gamma中性。刘宏liuhong393@126.com同一标的资产的看涨和看跌期权的gamma值相等。期权Gamma（Г）的特点只要是期权多头，无论是看涨还是看跌，Г值均大于0；反之，只要是期权空头，无论是看涨还是看跌，Г值均小于0。买入期权又被称为买入Г，Г为正值,买入期权即期权多头，又称为期权长头寸，所以买入Г包括看涨期权长头寸和建立看跌期权长头寸；卖出期权被称为卖出Г，Г为负值，卖出Г包括看涨期权短头寸和看跌期权短头寸。

之前对△的分析可知，当标的资产价格在执行价格附近时，期权△的变动最快。所以平值期权的Г最大。随着标的资产价格的增长△值不断变大的，所以delta对标的资产价格的偏导数应为一个正值，即Г值总是大于0。

与△一样，证券组合的Г值就等于组合内各种衍生证券Г值的总和。对于远期、期货等收益曲线为线性的金融工具而言，他们的Г为0。刘宏liuhong393@126.com期权Gamma（Г）的特点——Delat对标的物价格波动的敏感度：Call和Put(European)：K=50，T=20周，r=5%，µ=13%刘宏liuhong393@126.com实值、平值、虚值期权受到期时间变化的影响不同。

期权Gamma（Г）的特点-到期时间对Г的影响对于平值期权，期权价格会紧随标的资产价格变动而变动，越临近到期，delta值变化越剧烈，其gamma值越高。因此平值期权在临近到期时，gamma会变得很大。依据对delta和标的资产价格的关系，随着标的资产价格的提供，delta的变化速度是先大后小，在平值期权附近delta变化速度最大，所以接近平值时的gamma值最大，虚值期权的gamma高于实值期权的gamma。当期权的到期时间还有很长时，标的资产价格变化对期权价格的影响相对较小，delta随时间变化十分缓慢而稳定，相对应的gamma值也比较稳定且数值不大。

Gamma也可用来估计一个delta中性的投资组合当价格变化时该投资组合价格的变动。刘宏liuhong393@126.com期权Gamma（Г）的特点-到期时间对Г的影响gamma与距离到期时间的关系

刘宏liuhong393@126.comGamma（Г）对冲要规避投资组合的价格风险，不仅要保持delta中性，delta对标的资产变化比较敏感时，还要保持组合的gamma中性。由于标的资产及其衍生出来的期货和远期合约的Gamma（二阶导数）等于0，所以不能通过他们来改变投资组合的gamma。要实现Gamma中性，只有使用像期权那样价格与标的资产价格呈非线性关系的工具来进行对冲。当在组合中加入新的期权合约时，也改变了投资组合的delta值，为了使投资组合重新实现delta中性，还需要计算新的delta值并利用标的资产或者标的资产的远期（期货）合约来进行对冲，以期实现新的delta中性状态。Gamma中性策略可以看做是delta中性策略的一个补充。当标的资产价格变动较小的时候，delta中性即可为投资组合提供足够的保护，但是当价格发生较大的变化时，则需要利用gamma中性来提供额外的保护。刘宏liuhong393@126.comGamma（Г）对冲假设某delta中性的有价证券组合其gamma值为-4500，某具有相同标的资产的看涨期权的gamma值为1.5，delta值为0.51，我们用这个期权来实现gamma中性，需要购入4500/1.5=3000份这一期权。购入期权后，新的组合的delta值为0.51*3000=1530。为了实现新的delta中性，需要卖空1530份标的资产。

投资者先决定用于gamma对冲的期权，再计算加入新的期权后整个投资组合的delta值，然后选择相应数量与方向的标的资产进行delta对冲即可。但是，与Delta对冲类似，Gamma对冲也只能保持短时间Gamma中性，要完全的对冲掉gamma的风险也需要进行动态对冲。

刘宏liuhong393@126.comGamma（Г）对冲例：假设某delta中性的投资组合gamma为-10000，当资产价格在极短的时间内发生-1或者+1的变动，该投资组合的价值将减少（1/2）*10000*12=5000。对冲该Gamma风险，可采用看涨期权长头寸或看跌期权长头寸策略。如果采用看涨期权长头寸来实现Gamma中性，新组合的delta会大于0，需卖出一定量的标的资产来实现delta中性；如果采用看跌期权长头寸来实现Gamma中性，新组合的delta会小于0，需买进一定量的标的资产来实现delta中性。刘宏liuhong393@126.com期权的Theta定义为在其他条件不变时，证券组合价值变化与时间变化的比率。Theta也被称为时间的损耗（timedecay）。对于一个无股息股票的欧式看涨期权，根据Black-Scholes-Merton模型，期权的Theta为：三、Theta（θ）在计算θ时，时间以天为单位，因此θ为在其他条件不变时，在一天过后交易组合价值的变化。如果计算每日历天θ，上面的公式必须除以365，如果计算交易日θ，上面的公式应该除以252。d1和d2可由Black-Scholes-Merton模型求得.刘宏liuhong393@126.com前例中，不支付股利的股票看涨期权，股票价格为49美元，期权执行价格为50美元，无风险利率为5%，期限为20周（0.3846年），股票价格的波动率为20%。计算期权的θ。每日历天的Theta为-2.98/365=0.00815，每交易日的Theta为-2.98/252=-0.1183。N(d1)=0.5216,N(d2)=0.4722刘宏liuhong393@126.comΘ用来衡量投资组合时间损耗的速度。随着组合持有时间的增长，到期日越来越临近，期权的时间价值越来越小，因此买权和卖权的Θ值通常为负数，而随着时间的流逝，期权空头方将得到时间价值，所以买权和卖权空头的Θ值一般为正数。

Theta（θ）的特点Theta