2020-2021学年宁夏吴忠市青铜峡高级中学高二（上）期末数学试卷（理科） （解析版）

2020-2021学年宁夏吴忠市青铜峡高级中学高二（上）期末数学

试卷（理科）

一、单选题（共12小题）.

1.容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前7组频率之和为0.79,

则剩下3组的频率之和为（）

A.0.21%B.0.21C.21D.无法确定

2.某公司从三位大学毕业生甲、乙、丙中录用二人，这三人被录用的机会均等，则甲被录

用的概率为（）

3.若变量x,y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点（）

X1245

y76910

A.(2,6)B.(3,8)C.(4,9)D.(5,10)

4.圆心为(0,1)且与直线＞=2相切的圆的方程为()

A.(x-1)2+/=1B.(x+1)2+/=1

C./+(厂1)2=[D./+(y+[)2=1

22

5.设椭圆0工+2—=1的左、右焦点分别为Q,FT.,尸是C上任意一点，则尸2的

259

周长为()

A.9B.13C.15D.18

6.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点尸(-4,-2)的抛物线的标准方程是()

A.产=-xB.x2=-8y

C.产=-8》或/=-)‘D.y2=-xsKx2=-8j

22

7.双曲线三匚=1的渐近线方程是()

94

.,3,2„,9„,4

A.y=±yxnB.y=±—C.y=±—xD.y=±—x

Ox3D

8.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（)

9.抛物线＞=%的准线方程是（）

4

A.x=—B.x=-^C.y--1D.y--2

168

22

10.过椭圆幺上=1内一点M（2,1）引一条弦，使弦被点M平分则这条弦所在直线的

164

斜率（）

A.-2B.—C.--D.2

22

22

11.已知A,B是双曲线E：差-J=1的左，右焦点，点M在E上，MQ与x轴垂直,

sin/MBFi=L，则E的离心率为（）

3

A.V2B.-|c.V3D.2

22njr

12.设4,B是椭圆C：3_+2_=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足/4例8=刍「,

3m3

则〃2的取值范围是（）

A.（0,V31U[9,+8）B.（0,1]UL9,+8）c.（0,1]U[4,

+8）D.（0,立]”4,+8）

二、填空题（共4小题）.

2

13.双曲线2--V=1的焦点坐标为______.

3'

14.一只蚂蚁在如图所示的地板砖（除颜色不同外，其余全部相同）上爬来爬去，它最后停

留在黑色地板砖上的概率是.

歌

15.某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：

甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；

乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对

而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；

丙同学说：“茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加”

丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.

以上四人中，观点正确的同学是.

16.已知抛物线V=4x的焦点为E过点尸的直线A8交抛物线于A,B两点,交准线于点

C,若出。=2|8月，则|AB|=.

三、解答题（共6小题，共70分）

17.已知点N（4,0）,点M（xo,州）在圆N+y2=4上运动，点尸（x,y）为线段MN的

中点.

（1）求点P（x,y）的轨迹方程；

（2）求点P到直线3x+4y+4=0的距离的最大值和最小值.

18.近年来，国家大力实施精准扶贫战略，据统计2014年至2018年，某社区脱贫家庭（单

位：户）的数据如表：

年份20142015201620172018

年份代号X12345

脱贫家庭户数y2030506075

55

部分数据经计算得：工y=845,£2

XiXI=55.

i=l1i=l

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数的变化情

况，并预测该社区在2020年脱贫家庭户数.

n

Exiy--nxy

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为:i=l

19.已知离心率e‘但的椭圆C：gZ-l（a>b>0）一个焦点为（-1,0）.

2a*

（I）求椭圆C的方程；

（［［）若斜率为1的直线/交椭圆C于A,8两点，且1ABi=2匹，求直线/方程.

20.日前，《北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告（2016〜2017）》公布，其中提

至IJ,2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上，年增长1%且数学媒体阅

读率首次超过了纸质图书阅读率.

为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配

情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，

得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下（单位：小

（2）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写

出两个统计结论；

（3）平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名

学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率.

21.已知抛物线C：尸=21过点A(1,2).

(1)求抛物线C的方程；

(2)求过点P(3,-2)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点4不重合).设

直线AM,AN的斜率分别为左，h,求证：心•依为定值.

22

22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：与W-l(a>b>0)的离心率为乂2,点(2,

a，b"2

1)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/与圆。：N+y2=2相切，与椭圆c相交于P,Q两点，求证：NPOQ是定

值.

参考答案

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）

1.容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前7组频率之和为0.79,

则剩下3组的频率之和为（）

A.0.21%B.0.21C.21D.无法确定

解：容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，

若前7组频率之和为0.79,

则由频率分布表的性质得剩下3组的频率之和为P=1-0.79=0.21.

故选：B.

2.某公司从三位大学毕业生甲、乙、丙中录用二人，这三人被录用的机会均等，则甲被录

用的概率为（）

29

A.—B.—C.—D.—

3553

解：由古典概率的计算公式可得：

Cj9

甲被录用的概率为尸=—•=今

O

故选：A.

3.若变量x,y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点（）

X1245

y76910

A.（2,6）B.（3,8）C.（4,9）D.(5,10)

解：由表格中的数据可得：彳=1+2：4+5=3,-=7+6+9+10=8,

44

则样本点的中心的坐标为（3,8）.

即回归直线必过定点（3,8）.

故选：B.

4.圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为()

A.(x-1)2+炉=1B.(x+1)2+y2—1

22

C.x+(y-1)=1D.N+(y+i)2=1

解：设圆方程为/+（y-1）2=凡•.•直线y=2与圆相切，.•.圆心到直线的距离等于半

径r,r=l

故圆的方程为：N+（y-1）2=1,故选：c

22

5.设椭圆C：①4^—=1的左、右焦点分别为尸|，尸2,P是C上任意一点，则△尸QF2的

259

周长为（）

A.9B.13C.15D.18

22

解：根据题意，椭圆c：£4=1，

259

其中a=V^=5,b=M=3,

则c=‘25_9=4,

P是C上任意一点，

则△PFiFz的周长/=|PFi|+|PF2|+|FiF2|=2a+2c=10+8=18；

故选：D.

6.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是()

A.y1--xB.x2=-8y

C.产=-8x或N=-yD.-x^4x2=-8y

解：设抛物线方程为产=侬，

代入点（-4,-2）可得，4=-4m,

解得，机=-1,

则抛物线方程为"=-x,

设抛物线方程为x2=〃y,

代入点（-4,-2）可得，16=-2〃，

解得，n--8,

则抛物线方程为N=-8y,

故抛物线方程为V=-x,或N=-8y.

故选：D.

22

7.双曲线三--工_=1的渐近线方程是（)

94

A,3n,2,9「44

A.y=±yxB.y=±—xC.y=±—xD.y=±—x

乙J3D

22

解：双曲线至__2_=i的a=3,h=2,

94

则双曲线的渐近线方程为：_y=±-^r,

a

即为y=±yr.

故选：B.

8.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

解：第一次执行循环体后，k=l,S=2,不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体后，k=2,S=-1,不满足退出循环的条件；

第三次执行循环体后，&=3,5=-|-,满足退出循环的条件；

故输出S值为小

故选：C.

9.抛物线的准线方程是（）

4

A.v=-B.v=-C.y=-1D.y=-2

X168

解：抛物线丁=32即为

由抛物线x2=2py的准线方程为尸-

可得炉=4丫的准线方程为y=-1.

故选：C.

22

10.过椭圆包工=1内一点M（2,1）引一条弦，使弦被点M平分则这条弦所在直线的

164

斜率（）

A.-2B.—C.--D.2

22

解：设弦与椭圆的交点坐标分别为A（xi,yi）,B（及，”），

代入椭圆方程可得：

说一止次汨(xj+x)(xi-x)(yi+y)(yi-y)公

两式作差可得：一i——2----!——^2—4i2-----i_2J=0…①

164

又M是AB的中点，则XI+X2=4,户+”=2,代入①化简可得:

‘匚‘2=一工，所以这条弦所在直线的斜率为-

X[-X222

故选：C.

11.已知Q,F2是双曲线E：%-9=1的左，右焦点，点”在E上，MF1与x轴垂直,

sin/MF2n='•，则E的离心率为（）

A.&B.I"C.V3D.2

解：由题意，M为双曲线左支上的点，

可得:2bA=卓壮,即J02=ac,又/=〃2+按,

可得^-e-&=0,

e>\,解得e=6.

故选：A.

229TT

12.设A,B是椭圆C：工_+2_=l长轴的两个端点，若C上存在点M满足NAM8=工丁,

3m3

则机的取值范围是（）

A.（0,证]U19,+8）B.（0,1]U[9,+8）C.（0,1]U[4,

+8）D.（0,加]U[4,+8）

解：当椭圆的焦点在x轴上时，则0〈机V3时，

假设m位于短轴端点时，/AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足/AMB=120。，

则NAM82120。,所以NAMO260°,

则tan/MlO=-解得0<〃W1,

,Vm

当椭圆的焦点在y轴上时，则，〃>3,

假设M位于短轴的端点时，N4历B取得最大值，要使椭圆C上存在点M满足

120°,

则NAMB2120°,所以NAMO》60°,

则「tan/4Mo=强>7^，解得，〃29,

所以m的取值范围为（0,1]U[9,+8）,

故选：B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

2

13.双曲线2_-产=1的焦点坐标为（±2,0）.

3

解：由双曲线的方程可知，足=3,拄=1,

则c2=a2+fe2=3+l=4,即c=2,

故双曲线的焦点坐标为：（±2,0）,

故答案为：（±2,0）

14.一只蚂蚁在如图所示的地板砖（除颜色不同外，其余全部相同）上爬来爬去，它最后停

留在黑色地板砖上的概率是4-

-9-

髭

解：一只蚂蚁在如图所示的地板砖（除颜色不同外，其余全部相同）上爬来爬去，

:地板砖共有9块，其中黑色地板砖有4块，

•••它最后停留在黑色地板砖上的概率是

故答案为：.

15.某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：

甲同学说：”在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；

乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对

而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；

丙同学说：“茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加”

丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.

以上四人中，观点正确的同学是乙丙.

解：由频率分布直方图的性质得：

在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1,故甲同学的观点错误；

由随机抽样的性质得：

简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较'极端’的样本，

相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，故乙同学的观点正确；

由茎叶图的性质得：

茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示，故丙同学的观点正确；

由标准差的性质得标准差越大，数据的离散程度越大，故丁同学的观点错误.

故答案为：乙丙.

16.已知抛物线产=以的焦点为足过点b的直线A8交抛物线于48两点，交准线于点

C,若|BC|=2|Bf],则|AB|=_¥^.

3

解：作AM、BN垂直准线于点M、N,则=设准线与x轴交于G,

.|BN||BN|2

又得

|BQ=2|BN|,"IFGI=pT

OA

得18M=2pO，|CF|=3|BM=4,

33

..|FG||CF|.24解得

.|AH|=|CA|'1''|AFr=47iAF||AF|=4,

416

：.\AB\=|BF|+|AF|=3M,

33

故答案为：学.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知点N(4,0),点M(xo,yo)在圆x2+y2—4上运动，点P(x,y)为线段MN的

中点.

(1)求点P(x,>')的轨迹方程；

(2)求点尸到直线3x+4)，+4=0的距离的最大值和最小值.

解：(1)因为点P(x,y)是MN的中点，

，即《

y。[y0=2y

22

又+4

Xoyo・.(2%-4)2+(2y)2=4,

即(x-2)2+y2=l.

所以点P的轨迹方程为(x-2)2+)a=i.

(2)由(1)知点尸的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆.

13X2+4X0+41

圆心（2,0）至|J直线3x+4），+4=0,的距离d".3242~2>1-

所以点P到直线版+4）y4=0,的距离最大值为2+1=3,最小值为2-1=1.

18.近年来，国家大力实施精准扶贫战略，据统计2014年至2018年，某社区脱贫家庭（单

位：户）的数据如表：

年份20142015201620172018

年份代号X12345

脱贫家庭户数y2030506075

55

部分数据经计算得:£Xjy.=845,Zx2=55

1

i=li=l

（1）求y关于X的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数的变化情

况，并预测该社区在2020年脱贫家庭户数.

n___

£x^^y.-nxy

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：°：I=1

g2-2

i=l

解：⑴•.•祥塔』,仁2。+3。+5尸60+75―

55

£xiyi=845,£Xj2=55,

i=li=l

•:845-5X3X47--*_

,,b=~55-5X9-=14，a=y-bx=47-14X3=5-

•••），关于x的线性回归方程为

y=14x+5'

（2）由（1）知，b=14>0'

故2014年至2018年该社区的脱贫家庭户数逐年增加，平均每年增加14户.

令x=7,得y=14X7+5=10W

故该社区在2020年脱贫家庭户数为103户.

L22

19.已知离心率的椭圆C：今+^1Q〉1）〉0）一个焦点为（-1,0）.

2a'b"

（I）求椭圆c的方程；

（H）若斜率为1的直线/交椭圆C于A,8两点，且1ABi=3匹，求直线/方程.

解：（I）由题知c=l,e工班,

a2

•*-a=V2>b=l,

2c

*,•椭圆C：——+v=i-

2，

（II）设直线/方程为y=x+加，点A（xi,y\},B（及，力），

（2c

x.2_-

由方程组12y

y=x+m

化简得：312+4团工+2m2-2=0,

由a=16，疼-12（2"於-2）=-8m2+24>0,可得形2V3.

・・4m2m2-2

*xl+x2=->xlx2=^^一，

22

IAB|=71+kIx2-xi|=圾-^（x2+xi）-4xJ2，

一户学=挈,

解得m=+l.

二直线/方程y=x+l或y=x-l.

20.日前，《北京传媒蓝皮书：北京新闻出版广电发展报告（2016〜2017）》公布,其中提

至IJ,2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上，年增长1%且数学媒体阅

读率首次超过了纸质图书阅读率.

为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配

情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，

得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下（单位：小

时）：

学生12345678910II12131415

编号

数字235830604151645355675125334547

阅读

时间

纸质286636534562484742525021304242

阅读

时间

(1)求被调查的15名学生中男生的人数；

(2)请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写

出两个统计结论；

(3)平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名

学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率.

解：(1)根据题意，15x45喧10=8(名)；

所以被调查的15名学生中共有8名男生；

(2)被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间，

用茎叶图表示如下；

通过观察茎叶图可知，平均每周的数字阅读时间比纸质阅读时间长，

且纸质阅读时间数据更集中些；

(3)由表中数据可知，平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生编号分别是1,2,

3,5,6>

其中数字阅读时间不超过40小时的学生编号是1,3；

从这5名学生中随机抽取两名学生，所有可能的抽取结果为

12,13,15,16,23,25,26,35,36,56共10个基本事件；

设“从这5名学生中随机抽取两名学生，

这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时”为事件4,

则A共有7个基本事件，分别为12,13,15,16,23,35,36；

故所求的概率为P(4)=工.

数字阅读时间纸质阅读时间

53218

30306

75142224587

853115023

74066

21.已知抛物线C：y2=2px过点A(1,2).

(1)求抛物线。的方程;

(2)求过点P(3,-2)的直线与抛物线。交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设

直线AM,AN的斜率分别为依，依，求证：心•依为定值.

2

解：(1)抛物线C：1y=2px过点A(1,2).

得2P=4,所以抛物线方程为y=4工------------------------------------

(2)设M(xi,yi),N(也，”)，直线MN的方程为1-3=1(y+2),

代入抛物线方程得y2-4)-8L12=0.

所以△=