2020-2021年中考数学一轮突破 基础过关 第16讲二次函数

第16讲二次函数

▼备考指南＜,

(1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.

(2)会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数

的性质.

(3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-

课标要求hA+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说

出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际

问题.

(4)会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.

(5)*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.

该内容主要是以填空、选择、二次函数综合题的形式来

考查，特别是二次函数综合题居多，分值为3〜15分.主要

考点为二次函数的图象及性质、确定二次函数的表达式、二

考情分析

次函数与一元二次方程及不等式的关系、二次函数与图形的

综合等.预测2021年中考以上考点依然会出现，建议加强理

解图象与性质，熟练题型与方法，并加以练习巩固.

第1课时

▼基础梳理r

一、二次函数的概念

一般地，形如(a,b,c是常数，且a)的函数，叫做

二次函数.

二、二次函数的基本形式

1.二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成y=a(x—h)2+k的形式，其中

h—

h=-T-,k=--.(h,k)就是二次函数的_______坐标.

2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式

@y=ax2；(2)y=ax2+k；

③y=a(x—h)2；@y=a(x—h)2+k；

(§)y=ax2+bx+c

三、二次函数图象及图象的变换

二次函数的图象是一条,它是轴对称图形，它的对称轴平行或重合

于轴.

1.平移步骤

(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h,k)；

(2)保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法

如下:

I----------1向上(&〉0)［或向下3＜0)］平移四个单位I--------------

|尸苗21---------------------------------------------------------＞|y=axUk

向右(方＞0)［或左(肛0)］

向右(方＞0)

平移阀个单位向右(方＞0)

［或左(JK0)］［或左(左0)］

向上伏＞0)或下伏＜0)

平移同个单位平移向个单位

平移附个单位

"回向上@＞。)威下侪。)］平邸少单位小=”“巴H

2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括

成八个字“左加右减，上加下减”.

四、二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质

二次函数y=ax2+bx+c(a,

b,c为常数，aWO）

条件a>0a<0

图象4

开口方向开口向上开口向下

对称轴直线x=-^-

b4ac-b2

顶点坐标「a，4a)

在对称轴的左侧，即当x＜一在对称轴的左侧，即当X＜—

靠时，y随x的增大而减小；袅寸，y随X的增大而增大；

Nd

增减性

在对称轴的右侧，即当X＞一在对称轴的右侧，即当X＞一

当寸，y随X的增大而增大%寸，y随X的增大而减小

NdNd

当X=一^时，y有最小值为当X=一品时，y有最大值为

Nd

最值

4ac-b24ac~~b2

4a4a

，▼重点突破。

错误!，

二次函数图象的变换

圆n（2018.北部湾经济区，第9小题，3分）

将抛物线y=1x2-6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为

A.y=2（x-8）2+5B.y=2（x-4）2+5

C.y=z（x—8）2+3D.y=T（x—4）2+3

【思路点拨】方法一：先将解析式进行配方变为顶点式，再将顶点平移.抛

物线y=¥—6x+21,可配方成y=T（x—6产+3,顶点坐标为（6,3）.因为图象

向左平移2个单位，所以顶点向左平移2个单位，即新的顶点坐标变为（4,3）,

而抛物线开口大小不变，于是新抛物线的解析式为y=；（x—4/+3.

方法二：直接运用函数图象左右平移的“左加右减”法则进行解题.向左平

移2个单位，即原来解析式中所有的x都要变成（x+2）,于是新抛物线解析式为

y=2（x+2）2—6（x+2）+21,整理，得y=*—4x+U,配方后得y=；（x—4/+

3.

♦期D（2020.百色,第11小题，3分）

将抛物线y=（x+I）'+1平移得到抛物线y=x2+6x+6，是怎样平移

得到的（）

A.先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度

B.先向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度

C.先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度

D.先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度

错误!,二次函数的图象与性质）

圆囱（2016.玉林、防城港，第8小题，3分）

抛物线y=1x2,y=x2,y=-x2的共同性质是:

①都是开口向上；②都以点（0,0）为顶点；

③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

■朝❷(2017.玉林、防城港，第18小题，3分)

已知抛物线：y=ax2+bx+c(a>0)经过A(—l,1),B(2,4)两点，顶点坐标

为(m,n),有下列结论：

①b<l；②c<2；③0<m<|；④nWL

则所有正确结论的序号是.

■EI(2020•梧州,第9小题,3分)

如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+h交于A、B两点，下列是关

于x的不等式或方程，结论正确的是()

A.ax2+(b—k)x+c>h的解集是：2Vx<4

B.ax2+(b—k)x+c>h的解集是：x>4

C.ax2+(b—k)x+c>h的解集是：x<2

D.ax2+(b—k)x+c=h的解集是：xi=2,X2=4

【思路点拨】ax2+(b—k)x+c>h即为ax?+bx+c>kx+h,即抛物线在直

2

线上方部分的x的取值范围，可根据图象得到ax+(b-k)x+c>h的解集是x<

2或x>4,故选项A、B、C错误；ax2+(b—k)x+c=h的解，即为两函数图象

交点的横坐标，故选项D正确.

国63庖(2015.玉林、防城港,第12小题,3分)

如图，反比例函数y=1的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点错误!(m

>0),则有()

A.a=b+2k

B.a—b—2k

C.k<b<0

D.a<k<0

■E!(2020.贵港,第18小题，3分)

y.力力

对于抛物线yi=-x2+x+l,y2=—x2+2x+l,yj=-x2+3x+l,给出以

下结论：

①这三条抛物线都经过点C(0,1)；

②抛物线y3的对称轴可由抛物线yi的对称轴向右平移一个单位而得到；

③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；

④这三条抛物线与直线y=l的交点中，相邻两点之间的距离相等，其中正

确的结论序号是.

【思路点拨】算出函数与x轴以及y=l的交点，观察函数的对称轴.

解此类题型要认真观察图象，根据题意找到

图象对应对齐的x轴、y轴的部分，这一部

分就是自变量x的取值范围及函数值y的取

值范围.

一期d(2020.梧州，第12小题，3分)

二次函数y=(a—l)x2—(2a—3)x+a—4的图象与x轴有两个公共点，a取

满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不

变，得到一个

新图象，当直线y=kx—2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是

()

A.-1B.—2

C.XD.2

■V达标检测/

1.在抛物线y=—x2+l上的一个点是()

A.(1,0)B.(0,0)

C.(0,-1)D.(1,1)

2.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()

A.y=-(x+2)2B.y=-x2+2

C.y=—(x—2)2D.y=—x2—2

3.对于函数y=-2(x—m)2的图象，下列说法不正确的是()

A.开口向下B.对称轴是直线x=m

C.最大值为0D.与y轴不相交

4.抛物线丫=a*2+5*—3过点(2,4),则代数式8a+4b+l的值为()

A.-2B.2

C.15D.-15

5.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线

上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()

A.(2,3)B.(3,2)

C.(3,3)D.(4,3)

6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax?+bx

+c<0的解集是()

A,—l<x<5

B.x>5

C.xv—l且x>5

D.xv—1或x>5

7.(2020.玉林)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变

换，所得图象的解析式为y=-a(x—l)2+4a,若(m—l)a+b+c《O,则m的最

大值为()

A.-4B.0C.2D.6

8.抛物线y=-2x2+1的对称轴是.

9.抛物线y=(x-l)2+2的顶点坐标是.

10.已知二次函数y=-2x2-2x+3的图象上有两点A(-7,yi),B(—8,

y2),则yi_______y2.(选填“或"=").

11.函数y=x2+mx—4,当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范

围是.

12.把二次函数y=(x-l)2+2的图象绕原点旋转180。后得到的图象的解析

式为.

13.抛物线y=x2—4x+¥与x轴的一个交点的坐标为(L0),则此抛物线

与X轴的另一个交点的坐标是.

14.如图，已知OP的半径为2,圆心P在抛物线y=1x2—i上运动，当。p

与x轴相切时，圆心P的坐标为.

15.如图，已知二次函数y=—¥+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,一6)

两点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求4ABC

的面积.

16.如图，抛物线y=—1x?+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点

C,且OA=2,OC=3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D(2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点

P,使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理

由.

(注：二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的对称轴是直线x=一会)

第2课时

基础梳理/

一、抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作

用

1.a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.

2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对

称轴是直线x=-B故：

(l)b=O时，对称轴为y轴；

(2月>0(即a,b同号)时，对称轴在y轴左侧；

(3)?<0(即a,b异号)时，对称轴在y轴右侧.

3.c的大小决定抛物线y=ax?+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=

c,所以抛物线y=ax?+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：

(l)c=0,抛物线经过原点；

(2)00,与y轴交于正半轴；

(3)c<0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，

则:<0.

d

二、用待定系数法求二次函数的解析式

1.一般式：y=ax2+bx+c(aW0).已知图象上三点或三对x,y的值，通常

选择一般式.

2.顶点式：y=a(x—h)2+k(a#0).已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶

点式.

3.交点式：已知图象与x轴的交点横坐标xi,X2,通常选用交点式：y=a(x

—xi)(x—X2)(a00).

三、直线与抛物线的交点

1.y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为(0,c).

2.与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,

ah2+bh+c).

3.抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴的两个交

点的横坐标xi,X2是对应一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两个实数根.抛

物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)oA=00抛物线与x轴相切；

③没有交点0△<0Q抛物线与x轴相离.

4.平行于x轴的直线与抛物线的交点同样可能有0个交点、1个交点、2个

交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k,则横坐标是ax?

+bx+c=k(aW0)的两个实数根.

5.一次函数y=kx+n(k#0)的图象1与二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图

fy=kx+n,

象G的交点，由方程组彳2Lu,的解的数目来确定：

[y=ax，十bx十c

(1)方程组有两组不同的解时ol与G有两个交点；

⑵方程组只有一组解时ol与G只有一个交点；(3)方程组无解时ol与G没

有交点.

6.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c(aW0)与x轴

两交点为A(xi,0),B(X2,0),AB=|xi—x2|.

二▼重点突破<

错误!,

用待定系数法求二次函数的解析式

国n求满足下列条件的函数解析式：

(1)已知抛物线经过点(1,3),(-1,1),(0,-1)；

(2)已知抛物线的对称轴是直线x=L且经过点(3,4),与y轴的交点是(0,

1)；

(3)已知抛物线经过点(1,0),(—3,0),(0,6).

【思路点拨】一般地，求二次函数的解析式时，已知三点(不是与x轴的交

点)，用一般式；已知对称轴或顶点坐标，用顶点式；已知与x轴的两个交点，

用交点式.

国曲口经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是.

错误!，

二次函数与一元二次方程的关系

胸❷(2014.柳州,第11小题，3分)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图

象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是()

A.无解

B.x=l

C.x=—4

D.x=-1或x=4

【思路点拨】关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x

轴交点的横坐标.如图，,函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（一

1,0）,（4,0）,关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=—1或x=4.

国曲❷（2016•南宁，第12小题，3分）二次函数丫=2*2+6*+皿70）和

正比例函数y=：x的图象如图所示，则方程ax2+（b—1）x+c=0（aW0）的两根之

和（）

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能确定

错误!,

二次函数图象与系数的关系

国❸（2019.河池，第11小题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴

为直线x=l,则下列结论中，错误的是（）

A.ac<0B.b2—4ac>0

C.2a-b=oD.a-b+c=o

二次函数图象与系数的关系，常见的解题方

法如下：①由抛物线开口方向确定a;②由

对称轴位置确定b,ab;③由抛物线与y轴

的交点位置确定C；④由抛物线与X轴的交点

的个数确定b2-4ac;⑤由对称轴x=±l确定

小结

2a±b;⑥根据特殊点确定由a,b,c组成的

式子，如x=l,根据图象可确定a+b+c与

0的关系，x=—1,根据图象可确定a-b+

c与0的关系，同理可判断x=2,x=-2,

x=3,x=-3时相关的式子与。的关系.

豳国EJ（2017・贺州,第17小题,3分）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为

常数，a#0）的图象如图所示，下列结论：

0abc<0；®2a+b<0；（3）b2-4ac=0；©8a+c<0；（§）a：b：c=（-l）：2：3,

其中正确的结论有

■一二达标检测

1.抛物线y=-3x2—x+4与坐标轴的交点个数是（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

2.关于抛物线y=-x2+2x—3,下列结论正确的是（）

A.与x轴有两个交点

B.开口向上

C.与y轴的交点坐标是（0,3）

D.顶点坐标是（1,—2）

3.如图，函数y=-x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（L

0）,B（0,3）,对称轴是x=-l.在下列结论中，错误的是（）

A.顶点坐标为（-1,4）

B.函数的解析式为y=-x2—2x+3

C.当x<0时，y随x的增大而增大

D.抛物线与x轴的另一个交点是（一3,0）

4.（2020.眉山）已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4（a为常数）的图象与x

轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（D）

A.a2—2B.a<3

C.一2《aV3D.一2«

5.（2020.杭州）设函数y=a（x—h/+k（a,h,k是实数，aWO）,当x=l时，

y=l;当x=8时，y=8,（C）

A.若h=4,则aVOB.若h=5,则a>0

C.若h=6,则aVOD.若h=7,则a>0

6.（2020.嘉兴）已知二次函数y=x2,当aWxWb时，mWyWn,则下列说法

正确的是（B）

A.当n—m=l时，b—a有最小值

B.当n—m=l时，b—a有最大值

C.当b—a=l时，n—m无最小值

D.当b—a=l时，n—m有最大值

7.（2020.黔西南州）如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,交过点A

且平行于x轴的直线于另一点B,交x轴于C,D两点（点C在点D右边），对称

轴为直线x=l连接AC,AD,BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线

段OC上，下列结论中错误的是（D）

A.点B坐标为(5,4)

B.AB=AD

C.a=—o7

D.OCOD=16

8.如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线G：y=x2(x20)和抛物线C2：

丫=拳＞20)交于A,B两点，过点A作CD/7x轴分别与y轴和抛物线C2交于点

C,D,过点B作EF〃x轴分别与y轴和抛物线Ci交于点E,F,则^----的值

'△EAD

为()

A或R也C1D1

A.6B.4JD.6

9.抛物线y=ax2+bx+c(a#0)的顶点是A(2,1),且经过点B(l,0),则抛

物线的函数关系式为

10.将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是

11.若抛物线y=ax?+bx+c经过点(-1,10),则a—b+c=.

12.某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a#())的图象时，列出的部

分数据如下表：

X01234

y30-203

经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出

该二次函数的解析式:

13.(2020.无锡)二次函数丫=2*2—32*+3的图象过点人(6,0),且与y轴交

于点B,点M在该抛物线的对称轴上，若AABM是以AB为直角边的直角三角

形，则点M的坐标为

14.如图，二次函数y=ax2—4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点

A（—4,0）.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)在抛物线上存在点P,满足SMOP=8,请直接写出点P的坐标.

15.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴相交于两点A(l,0),

B(3,0),与y轴相交于点C(0,3).

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)若点D(,m)是抛物线y=ax2+bx+c上的一点，请求出m的值，并求

出此时△ABD的面积.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)经过A(-2,

-4),0(0,0),B(2,0)三点.

⑴求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.

17.(2020.杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数yi=x?+bx+a,y2=ax2

+bx+l(a,b是实数，aWO).

(1)若函数yi的对称轴为直线x=3,且函数yi的图象经过点(a,b),求函数

yi的表达式；

(2)若函数yi的图象经过点(r,0),其中rNO,求证：函数y2的图象经过点

(p°)；

(3)设函数yi和函数、工的最小值分别为m和n,若m+n=0,求m,n的

值.

第3课时

-V基础梳理＜

一、二次函数的应用

1.二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)

值.

2.二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量

之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题.

3.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量；

(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解;

(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等.

二、与二次函数有关的综合题

二次函数综合题，一般涉及待定系数法求函数解析式、抛物线的对称轴、顶

点坐标；图形平移、对称、旋转的性质；等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、

正方形、圆等特殊图形的性质；转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程

思想等多种数学思想.

,■点突破，

错误!，

二次函数的实际应用

团n(2015.玉林、防城港，第24小题，9分)某超市对进货价为10元/千克

的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）

存在一次函数关系，如图所示.

203Qr/（元/千克）

⑴求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

⑵应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多

【思路点拨】⑴认真观察图象，把点（20,20）,（30,0）分别代入y=kx+b

建立方程组即可求出k,b的值，从而得出y关于x的函数关系式.（2）求出利润

与销售价x之间的函数关系式，再根据相关函数的性质确定最大利润.

应用二次函数解决实际问题中的最优化问

题，实际上就是求函数的最大（小）值.解题时

要先根据题目提供的条件，确定国数关系

式，再根据二次函数的性质确定最大（小）值,

从而确定最优方案.

国寄II（2019.梧州，第24小题，10分）我市某超市销售一种文具，进价为

5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价

每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件（x26,

且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大，每件文具售价

为多少元？并求出最大利润.

错误!，

与二次函数有关的综合题

圆❷(2020.贵港，第25小题，11分)如图，已知抛物线y=*+bx+c与

x轴相交于A(—6,0),B(l,0)两点，与y轴相交于点C,直线1_LAC,垂足为

C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若直线I与该抛物线的另一个交点为D,求D的坐标；

(3)设动点P(m,n)在该抛物线上，当NPAC=45。时，求m的值.

【思路点拨】(1)将A、B两点带进去即可求得b、c的值；(2)利用三角形相

似求出1的解析式，进而联立方程组求出交点的横坐标；(3)分类讨论点P的位

置，通过求AP延长线于1的交点坐标，进而得到AP所在直线的解析式为解题

突破口.

在几何图形中建立函数关系式，体现了数形

结合的数学思想，要注意运用图形的有关性

小结

质或公式(如相似、几何图形面积等)建立有关

关系式，从而将几何问题转化为代数问题.

，国❷(2020.玉林，第26小题，12分)

已知抛物线yi=-x2—2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y

轴交于点C.

(1)直接写出点A,B,C的坐标；

(2)将抛物线y.经过向右和向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B,B，

两点(B，在B的右侧)，顶点D的对应点D。若NBD，B，=90。，求点B，的坐标及

抛物线y2的解析式；

(3)在(2)的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线yi或y2上是否存在点P,

使以B，，C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条

件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

■V达标检测/

1.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一

个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状,

身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低

点距地面的距离为米.

2.如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运

动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t—5t2,那么小球从抛出至回落到地面所

需要的时间是S.

3.某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公

式h=-5t2+150t+10表示.经过________s,火箭达到它的最高点.

4.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为

y=ax2+bx+c（a^0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时

间中炮弹所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒

C.第12秒D.第15秒

5.（2019.无锡）某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年

7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y=x—42（x2168）.若

宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还

需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，

应将房间定价确定为（B）

A.252元/间B.256元/间

C.258元/间D.260元/间

6.（2020.贺州）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为:米,

出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=-

^x2+bx+c,当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则

该学生推铅球的成绩为米.

7.（2020.广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：

mm）:9.9,10.1,10.0,若用a作为这条线段长度的近似值，当a=mm

时，（a—9.9）2+（a—10.1）2+（a—10.0）2最小.对另一条线段的长度进行了n次测

量，得到n个结果（单位：mm）：xi,x2,xn,若用x作为这条线段长度的近

似值，当x=mm时，（X—Xl）2+（x—X2）2+…+（x—Xn）2最小.

8.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已

知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x（单位：m）,占地

面积为y（单位：m2）.

（1）如图1,问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？

（2）如图2,现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积

最大，小敏说：“只要饲养室长比⑴中的长多2m就行了请你通过计算，判

断小敏的说法是否正确.

9.某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销

售量m（件）与每件的销售价格x（元）满足一次函数，其图象如图所示.

⑴每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数解析式是

（2）求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）之

间的函数解析式；

（3）每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提

高而增加？

10.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，

房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空

闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个

房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正

整数倍).

(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取

值范围；

(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

11.用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①②③中的一

种).

设竖档AB=x米，请根据以下图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长

度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD,AB平行)

(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架

ABCD的面积为3平方米？

(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架

ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为

多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

12.如图，在平面直角坐标系中，AABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,

抛物线y=-x?+bx+c经过A,B两点，其中点A,C的坐标分别为(L0),(―

4,0),抛物线的顶点为点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点(不与A,B重合)，过点

E作x轴的垂线，交抛物线于点F,当线段FE的长度最大时，求点E的坐标;

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P,使4PEF是以EF为直角边的

直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，已知抛物线经过A(—2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A,O,D,E为顶

点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

(3)P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,是否

存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

\0

C

14.已知一元二次方程x2—4x+3=0的两根是m,n,且m<n.如图，若抛

物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图象回答,当x取何值时，

抛物线的图象在直线BC的上方？

(3)点P在线段OC上，作PE±x轴与抛物线交于点E,若直线BCWACPE

的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.

第16讲二次函数

第1课时

【基础梳理】

一、y=ax2+bx+cW0二、1.顶点三、抛物线y

【重点突破】

[例1]D[变式1]B[例2]B[变式2]①②④

[例3]D[变式3]D[例4]①②④[变式4]D

【达标检测】

1.A2.A3.D4.C5.D6.D7.D

8.y轴9.(1,2)1O.>ll.m^-4

12.y=-(x+l)2-213.(3,0)

14.(^6,2)或(一遍2)

15.解：⑴把A(2,0),B(0,一6)代入y=-，2+bx+c,

b=4,

得解得

、c=-6.、c=-6.

，这个二次函数的解析式为y=—1x2+4x—6.

(2)该抛物线对称轴为直线x=--”不=4，

.•.点C的坐标为(4,0).

.,.AC=OC-OA=4-2=2.

.，.SAABC=|AC-OB=1X2X6=6.

16.解：⑴由已知条件得A(—2,0),C(0,3),将A(—2,0),C(0,3)代入

y=—^x2+bx+c,得

refl1

c=3,b=k，

〈解得＜2

-2-2b+c=0.,

lc=3.

.,•此二次函数的解析式为y=一32+上+3.

(2)如图，连接AD交对称轴于点P,则P为所求的点，设直线AD解析式为

y=kx+b,

—2k+b=0,

由已知得

2k+b=2.

解得卜当

、b=1.

直线AD解析式为y=1x+l.

对称轴为直线：x=—当*=/寸，y=|,

M，I)

第2课时

【重点突破】

［例1］解：(1)设抛物线的解析式为y=ax?+bx+c.

(a+b+c=3,fa=3,

由题意，得｛a-b+c=L解得<b=l,

lc=—1.lc=-1.

所以抛物线的解析式为y=3x2+x-l.

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+b.

a(3—1)2+b=4>

由抛物线经过点(3,4),(0,1),可得彳

［a(0—1)2+b=l.

解得a=Lb=0.因此，抛物线的解析式为y=(x—1)4

(3)设抛物线的解析式为y=a(x-l)(x+3).

由抛物线经过点(0,6),可得

6=a(0-l)(0+3).解得a=-2.

因此，抛物线的解析式为y=-2(x—l)(x+3).

33

［变式l］y=—铲?+於+3

[例2]D[变式2]A[例3]C[变式3]①④⑤

【达标检测】

1.A2.D3.C4.D5.C6.B7.D8.D

9.y=-x2+4x-310.y=2(x+2)211.10

12.y=x2—4x+313.r|,一9)或6)

c=0,

14.解：⑴由已知条件得黑_

(4)2—4X(—4)+c=0,

a=—1

解得

c=0.

...此二次函数的解析式为y=-x2-4x.

(2)点P的坐标是：(一2,4)或(一2+26，-4)或

(―2—2/，—4).

fa+b+c=0,(a=l,

15.解：(1)由已知得《9a+3b+c=0,解得｛b=—4,

lc=3.lc=3.

/.y=x2—4x+3.

(2)把DQ，m)代入y=x2—4X+3,得m=；,

16.解：(1)把A(—2,-4),0(0,0),B(2,0)代入y=ax°+bx+c,

4a—2b+c=—4,

4a+2b+c=0,解这个方程组,得｝b=l,

｛c=0.

、c=0.

所以解析式为y=—1x2+x.

(2)由y=—；x2+x=-1(x—l)2+*5TM,抛物线的对称轴为x=L并且对称

轴垂直平分线段OB,

.,.OM=BM.

.,.AM+OM=AM+BM.

连接AB交直线x=l于M点，

则此时AM+OM最小.

过点A作AN±x轴于点N,

在RtAABN中，

AB=^AN2+BN2=^42+42=4V2,

因此AM+OM最小值为4市.

17.(1)解：由题意，得到一0=3,

解得b=-6,

;函数yi的图象经过点(a,b),

/•a2—6a+a=—6,解得a=2或a=3・

/.函数yi=x2—6x+2或yi=x2—6x+3.

⑵证明：•・•函数yi的图象经过点(r,0),

Ar2+br+a=0.

•••rWO,两边同除以F,得1+\+§=0,

rr

即a^2+b-1+l=O,

.•［是方程ax2+bx+l=0的一个实数根，

即函数y2的图象经过点Q，0)